一類(lèi)高階混合中立型微分方程的振動(dòng)性*

韓忠月

(德州學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東德州 253023）

一類(lèi)高階混合中立型微分方程的振動(dòng)性*

韓忠月

(德州學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東德州 253023）

研究了一類(lèi)高階混合中立型微分方程，得到方程若干新的振動(dòng)準(zhǔn)則，改進(jìn)和推廣了已有的一些結(jié)果.

微分方程;高階;混合中立型;振動(dòng)性

引言

考慮高階混合中立型微分方程:

其中 a，b，τ，σ，g，h 為正常數(shù)，p，q∈C(R+，R+)，m≥1 為整數(shù).

最近，文獻(xiàn)［1］研究了奇數(shù)階混合中立型微分方程

解的振動(dòng)性，其中 c，c*，p，q，g，g*，h，h*是實(shí)常數(shù).

中立型泛函微分方程解的漸近性和振動(dòng)性問(wèn)題在理論和應(yīng)用兩方面均有重要意義.近三十年來(lái)，在這一領(lǐng)域已取得了豐碩成果.在理論方面，最近的研究可參閱文獻(xiàn)［1～5］及其引文.當(dāng)n=1時(shí)，方程出現(xiàn)在高速計(jì)算機(jī)無(wú)損傳輸線(xiàn)路的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中［6，7］.當(dāng)n=2時(shí)，方程出現(xiàn)在與彈性棒相連接的振動(dòng)物體的研究中［8］.本文的目的是建立當(dāng)m為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，方程(1)新的振動(dòng)準(zhǔn)則，它不僅適用于奇數(shù)，而且也能應(yīng)用于偶數(shù)階.其結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)［1］中的若干結(jié)果.

定義1 函數(shù)x(t)∈C［t0，∞)是方程(1)的振動(dòng)解，如果對(duì)每一個(gè)正數(shù)r皆存在正數(shù)t1∈［r，∞)，使得x(t1)=0.

1 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)h＞σ，g＞τ，且m≥3為奇數(shù)，如果滿(mǎn)足:

(H1)p(t)=p(t－τ)=p(t+σ)，q(t)=q(t－τ)=q(t+σ)，t∈［t0，∞);

則方程(1)的每一個(gè)解是振動(dòng)的.

證明 假設(shè)方程(1)存在非振動(dòng)解，不是一般性，我們可以假設(shè)存在t1∈［t0，∞)，使得x(t)＞0，x(t－ τ)＞ 0，x(t－ g)＞ 0，t ＞ t1.令

顯然z(i)(t)，i=0，1，2，…，m －1最終同號(hào)，因此只有兩種可能的情況:

首先考慮情況(a)成立，即z(t)＜0，t≥t2≥t1.令

結(jié)合式(2)和式(4)可得

聯(lián)立式(3)，式(4)和式(5)可以得到

由于z(i)(t)，i=0，1，2，…，m －1最終同號(hào)，再應(yīng)用文獻(xiàn)［7］引理5.2.2，總有y(t)＞ 0，y'(t)＞ 0，y(m)(t)＞ 0最終成立，且只能有以下兩種可能:

(ⅰ)y(t)＞ 0，y'(t)＞ 0，y(m－1)(t)＞ 0，y(m)(t)＞ 0， t≥ t4≥ t3;

(ⅱ)y(t)＞ 0，y'(t)＞ 0，y(m－1)(t)＜ 0，y(m)(t)＞ 0， t≥ t4≥ t3.

如果(ⅰ)成立，應(yīng)用文獻(xiàn)［7］引理5.2.2，則有 y(i)(t)＞ 0，i=0，1，…，m，t≥ t4.結(jié)合等式:

很容易得到

在式(7)中令u=s+h－σ，v=t+h－σ，t4＜t＜s＜t+h－σ，則有

在［t，t+h －σ］上對(duì)式(6)積分，并應(yīng)用式(8)會(huì)得到

應(yīng)用條件(H2)，式(9)成立只能是y(m－1)(t)為非正的變量，與假設(shè)(ⅰ)矛盾.

如果(ⅱ)成立，應(yīng)用文獻(xiàn)［7］引理5.2.2，則有y(m－2)(t)＞ 0，y(m－2)(t)y(m－1)(t)＜ 0，t≥t4.聯(lián)立式(2)，式(3)，式(4)和式(5)可以得到

有正解w(t)=y(m－2)(t).根據(jù)文獻(xiàn)［9］定理2.2.6，結(jié)合條件(H3)，不等式(11)沒(méi)有滿(mǎn)足w'(t)w(t)＜0的最終正解，因此假設(shè)的(ⅱ)不成立.總上z(t)＜0不成立.

其次考慮情況(b)成立，即z(t)＞0，t≥t2≥t1.類(lèi)似(a)的證明，我們也是采用否定z'(t)＞0與z'(t)＜0都最終成立的方法來(lái)完成情況(b)的證明.令

則有

應(yīng)用文獻(xiàn)［7］引理 5.2.1，可得 z(i)(t)，i=0，1，2，…，m －1 最終同號(hào)，并類(lèi)似以上證明可以得出 w(t)＞0，w(m－1)(t)＞0最終成立.

即不等式

有正解 W=w(m－1)(t).應(yīng)用文獻(xiàn)［9］引理1.4.1，結(jié)合條件(H4)，不等式(16)不存在最終正解，矛盾.

有正解W=w(m－1)(t).應(yīng)用文獻(xiàn)［9］引理1.4.1，結(jié)合條件(H4)，不等式(18)不存在最終正解，矛盾.定理1證畢.

根據(jù)文獻(xiàn)［9］定理2.2.6，不難得到方程(1)振動(dòng)的另一個(gè)判據(jù):

當(dāng)m=1時(shí)，作為奇數(shù)階高階微分方程的特殊情況，有下列結(jié)論:

定理3 當(dāng)m=1時(shí)，若h＞σ，g＞τ，且定理1的條件(H1)及下列條件成立:

則方程(1)的每一個(gè)解是振動(dòng)的.

作為方程(1)的特殊情況，當(dāng)p，q∈C(R+，R+)皆為常數(shù)序列時(shí)，即考慮方程:

其中m為奇數(shù).有如下結(jié)論:

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，可類(lèi)似得到如下結(jié)論:

定理6 假設(shè)h＞σ，m為偶數(shù)且:

(H7)p(t)=p(t－ τ)=p(t+ σ)，q(t)=q(t－ τ)=q(t+ σ)，t∈［t0，∞);

則方程(1)是振動(dòng)的.

作為方程(1)的特殊情況，當(dāng)p，q∈C(R+，R+)皆為常數(shù)序列時(shí)，即考慮方程:

其中m為偶數(shù)，有如下結(jié)論:

［1］程金發(fā).高階混合中立型微分方程解的振動(dòng)性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2001，21:287－291.

［2］Agarwal R P，Grace S R.Oscillation for certain neutral functional differential equations［J］.Comput Math Appl，1999，38:1 －11.

［3］Grace S R.Oscillation criteria for n th －order neutral functional differential equations［J］.J Math Anal Appl，1991，184:44 －55.

［4］Tanaka S.Existence of positive solutions of higher order nonlinear neutral differential equations［J］.Rocky Mount J Math ，2000，30:1139－1149.

［5］Zafer A.Oscillation criteria for even order neutral differential equations［J］.Appl Math Lett，1998，11:21 －25.

［6］Slemrod M，Infante E F.Asymptotic stabilitycriteria for linear systems of difference －differential equations of neutral type and their discrete analogues［J］.J Math Anal Appl，1972，38:399 －415.

［7］Ladde G S，Lakshmikantham V，ZHANG Bing－gen.Oscillation theory of differential equations with deviating arguments［M］.New York:Marcel Dekker，1987.

［8］Agarwal R P，Bohner M，LI Wan－tong.Nonoscillation and oscillation Theory for Functional Differential Equations［M］.New Work:Marcel Dekker，2004.

［9］Agarwal R P，Grace S R，O＇regan D.Oscillation theory for second order dynamic equations［M］.New York:Taylor Francis，2003.

Oscillatory Behavior for a Class of Higher Order Mixed Neutral Differential Equations

HAN Zhong－yue

(Department of Mathematics，Dezhou University，Dezhou Shandong 253023，China)

In this paper，a class of higher order mixed neutral differential equations is considered.Some new oscillations criteria of the solutions are obtained.The results extend and improve some known results.

differential equations;the higher order;mixed neutral type;oscillation

O 175.1

A

1673－2103(2011)05－0015－04

2011－08－22

德州學(xué)院科技類(lèi)項(xiàng)目(310819)

韓忠月(1963－)，女，河北唐山人，教授，研究方向:方程定性理論.