具有階段結(jié)構(gòu)和收獲率的時(shí)滯捕食－食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究*

白玉真，胡宗良，王 霆，張 輝，馬承龍

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東曲阜 273165）

具有階段結(jié)構(gòu)和收獲率的時(shí)滯捕食－食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究*

白玉真，胡宗良，王 霆，張 輝，馬承龍

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東曲阜 273165）

利用微分方程定性理論，研究了具有階段結(jié)構(gòu)和收獲率的時(shí)滯捕食－食餌系統(tǒng)，分析了平衡點(diǎn)的存在性與局部穩(wěn)定性，并且對(duì)系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)保持穩(wěn)定的時(shí)滯范圍進(jìn)行了估計(jì).

捕食－食餌系統(tǒng);階段結(jié)構(gòu);收獲率;時(shí)滯;穩(wěn)定性

1 模型的建立

捕食－食餌系統(tǒng)是種群動(dòng)力學(xué)中一類十分重要的模型.眾所周知，生物資源的開(kāi)發(fā)和種群數(shù)量的收獲在森林和野生動(dòng)物管理中廣泛應(yīng)用.近年來(lái)，在具有收獲的Lotka－Volterra模型的研究應(yīng)用中，人們發(fā)現(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)捕食者所能吃到的食餌數(shù)量除了與食餌的總數(shù)量有關(guān)外，還與捕食者的捕食能力息息相關(guān).所以，人們把模型的研究類型進(jìn)一步擴(kuò)充到功能性反應(yīng)模型［1～4］，一般形式為:

其中φ(x)是功能反應(yīng)函數(shù)，代表捕食者對(duì)食餌的捕獲能力.

為了更接近自然生態(tài)系統(tǒng)，我們考慮捕食者的年齡因素對(duì)生態(tài)系統(tǒng)的影響.這種考慮是合理的，因?yàn)榉N群的存活率、增長(zhǎng)率和繁殖力受年齡和種群發(fā)展階段的影響，并且多數(shù)種群都至少有兩個(gè)階段:幼年和成年.為此，本文研究具有階段結(jié)構(gòu)和收獲率的捕食－食餌系統(tǒng):

其中x(t)，y1(t)，y2(t)分別表示食餌的密度，捕食者幼年和成年種群密度，r為食餌的內(nèi)增長(zhǎng)率，k為食餌的環(huán)境容納量，E為捕獲努力量，D為幼年捕食者向成年捕食者的轉(zhuǎn)化率，c，f為正常數(shù)，a1為對(duì)食餌種群的捕撈系數(shù).V1，V1'分別是未成年和成年捕食者的死亡率.現(xiàn)作變量替換τ=rt，s=，仍用 t，x 來(lái)表示 τ，s，則系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為:

現(xiàn)實(shí)世界許多過(guò)程尤其是那些生物學(xué)現(xiàn)象中，此時(shí)的狀態(tài)變化及動(dòng)力學(xué)行為不僅依賴該過(guò)程目前的動(dòng)力學(xué)行為，而且與它過(guò)去的行為密切相關(guān).因此，人們普遍認(rèn)為，在種群間相互作用中時(shí)滯現(xiàn)象是不可避免的，有時(shí)時(shí)滯會(huì)破壞正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性［5～7，9］.為了更切合實(shí)際，我們引入時(shí)滯參量τ，將系統(tǒng)(1)推廣為如下的兩類模型:

本文主要利用微分方程定性理論［3～6，11，12］研究系統(tǒng)(1)，(2)和(3)的平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，并給出相應(yīng)的生物學(xué)解釋.

2 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為E1=(0，0，0)，E2=(1 －a2E，0，0)，

其中 B 為 n 階常矩陣，我們有下面的引理［3～6，11，12］.

引理11)若矩陣B的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)(5)的零解是漸近穩(wěn)定的;2)若矩陣B的全部特征值中至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則系統(tǒng)(5)的零解是不穩(wěn)定的.

定理1 E1=(0，0，0)是不穩(wěn)定的.

證明 將E1=(0，0，0)代入式(4)得到雅克比矩陣:

對(duì)應(yīng)特征值為

顯然 λ1，λ2，λ3都不是純虛數(shù)，且 λ3＜0.

下面討論λ2的符號(hào):

由于E2不穩(wěn)定更有實(shí)際意義，因此我們下面假設(shè)系統(tǒng)(1)滿足

為了討論E3的穩(wěn)定性，我們需要如下的引理.

引理2 (Hurwitz準(zhǔn)則)實(shí)系數(shù)n次代數(shù)方程

的所有根具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是:

顯然a0=1＞0成立.根據(jù)引理2，f(λ)=0的所有根都具有負(fù)實(shí)部，再由引理1知，E3是漸近穩(wěn)定的.

3 時(shí)滯系統(tǒng)(2)和(3)的正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

通過(guò)計(jì)算可知E3是時(shí)滯系統(tǒng)(2)和(3)的正平衡點(diǎn).接下來(lái)，我們對(duì)E3的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.

假設(shè)系統(tǒng)(2)滿足下列條件:

定理4 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)E3是不穩(wěn)定的.

E3不穩(wěn)定的生態(tài)意義為:捕食者由于懷孕造成的時(shí)滯將破壞系統(tǒng)在該點(diǎn)的穩(wěn)定性.

下面我們討論系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

仍然假設(shè)系統(tǒng)滿足下列條件:

根據(jù)引理2知，當(dāng)0≤τ＜τ0時(shí)，E3是漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ＞τ0時(shí)，E3是不穩(wěn)定的.

E3漸近穩(wěn)定的生態(tài)意義為:食餌由于懷孕造成的時(shí)滯將影響系統(tǒng)在該點(diǎn)的穩(wěn)定性.

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On the Stability of Time－delayed Predator－prey System with Stage Structure and Harvesting

BAI Yu－zhen，HU Zong－liang，WANG Ting，ZHANG Hui，MA Cheng－long

(School of Mathematical Sciences，Qufu Normal University，Qufu Shandong 273165，China)

This paper is concerned with time－delayed predator－prey systems with stage sturcture and harvesting by using qualitative theory of differential equations.The existence and local stability of equilibrium are investigated.Estimations of time–delay range are given when the systems are stable at the positive equilibrium.

predator－prey system;stage sturcture;harvesting;time delay;stability

O 175.1

A

1673－2103(2011)05－0019－06

2011－08－05

山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(ZR2011AQ006);山東省高等學(xué)?？萍加?jì)劃資助項(xiàng)目(J10LA13);曲阜師范大學(xué)本科生科研訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(2010A018)

白玉真(1974－)，女，山東單縣人，副教授，博士，研究方向:動(dòng)力系統(tǒng).