兩種索單元解析解對比

摘要：目前索單元有兩種形式為拋物線索單元和懸鏈線索單元，兩者均假定索為理想柔索，小應(yīng)變假定。拋物線索單元在推導(dǎo)協(xié)調(diào)方程過程中，引入小垂度假定，簡化了協(xié)調(diào)方程，但其應(yīng)用受局限，僅應(yīng)用于小垂度或兩端高差較小的情況；懸鏈線索單元荷載沿索長均布，曲線形狀為懸鏈線，其協(xié)調(diào)方程及曲線方程復(fù)雜，卻是沿索長均布受荷索元形狀的精確解。

關(guān)鍵字：拋物線索單元；懸鏈線索單元；解析法；

根據(jù)索單元所受荷載及垂度的不同，可將其分為拋物線索單元和懸鏈線索單元。利用兩種單元進(jìn)行分析時，均采用如下相同的基本假定：

（1）索為理想柔索，只能承受拉力，不能承受壓且無彎曲剛度；

（2）索材料符合虎克定律，且滿足小應(yīng)變假定。

兩種單元對索的基本假定一致，但兩種單元在求解的推導(dǎo)過程中對索所受力的假定、索形狀的假定卻不同，導(dǎo)致兩種索單元解析解的不同。

1 拋物線索單元

拋物線索單元其平衡形狀認(rèn)為成拋物線形狀，拋物線索單元除了基本假定外，還假定：索為小垂度；索段上承受的分布荷載近似認(rèn)為沿弦長均布。

圖1為拋物線索單元，定義其局部坐標(biāo)o?-x???z?，其中x???軸平行于索段在整體坐標(biāo)系o-xy平面上的投影線，z?軸和z軸與索上均布荷載同向。根據(jù)懸索理論，曲線方程為：

（1.1）

式中：l為懸索兩端節(jié)點的水平距離，c為懸索兩端節(jié)點的豎向高度差，r為懸索兩端節(jié)點的弦向距離，t為懸索張力，h為索力水平分量，為常數(shù)。

圖 1拋物線索單元

根據(jù)曲線方程，索兩端節(jié)點的切線與x???（水平面）的夾角，可以得到下式：

（1.2）

引入小變形假定，索由于張力t引起的變形伸長量Δs可由下式近似求得：

（1.3）

引入小垂度假定，變形后索長s近似按如下求得：

（1.4）

根據(jù)s0+Δs=s的變形協(xié)調(diào)條件，可以得到拋物線索單元的變形協(xié)調(diào)方程式為：

（1.5）

式（1.5）為給定原長為s0的索在其自重作用下的變形協(xié)調(diào)方程，索張力水平分量（h）、形狀參數(shù)（l，c）、索上均布荷載 以及索的材料特性（E，A）之間的關(guān)系。

2 懸鏈線索單元

與拋物線索單元不同，懸鏈線索單元認(rèn)為索的平衡曲線為懸鏈線，并假定索上的荷載（包括自重）沿索長均布時，并考慮索的大垂度。圖2為懸鏈線索單元，定義其局部坐標(biāo)系o?-x???z?，其中x??軸平行于索段在整體坐標(biāo)系o-xy平面上的投影線，z?軸和z軸與索上均布荷載同向。其曲線方程為：

(2.1)

式中：L是懸索兩端節(jié)點的水平距離；C是懸索兩端節(jié)點的豎向高差；q為沿索長的均布荷載；H是懸索張力的水平分量，為常數(shù)。

圖 2懸鏈線索單元

將式(2.1)對x???進(jìn)行求導(dǎo)，可得懸鏈線斜率方程為：

(2.2)

當(dāng) ＝0時，有 。索端張力Ti, Tj與z?(x?),H的關(guān)系式為:

(2.3)

在局部坐標(biāo)系o?-x???z?下，索端張力在各坐標(biāo)軸上的分量為:

(2.4)

在整體坐標(biāo)系下，索端張力對索兩端i,j節(jié)點產(chǎn)生的節(jié)點力分別為:

(2.5)

(2.6)

以上兩式中：(xi,yi,zi)分別是單元兩端節(jié)點在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

根據(jù)幾何條件，變形后索長s可按下式計算：

(2.7)

引入小應(yīng)變的假定，索由于張力引起的變形伸長量Δs可由下式求得：

(2.8)

根據(jù)s0+Δs=s的變形協(xié)調(diào)條件，可以得到懸鏈線索單元的變形協(xié)調(diào)方程式為：

(2.9)

式(2.9)反映了索單元原長（s0）、索張力水平分量（H）、形狀參數(shù)（L，c）、索上均布荷載q以及索的材料特性（E，A）之間的關(guān)系。

3拋物線索單元與懸鏈線索單元比較

拋物線索單元在推導(dǎo)協(xié)調(diào)方程過程中，引入小垂度假定，而懸鏈線索單元無此假定。拋物線索單元的曲線方程和協(xié)調(diào)方程都較懸鏈線索單元的簡單。兩者索單元曲線方程與協(xié)調(diào)方程對比如下：

拋物線索單元曲線方程為：

(3.1)

協(xié)調(diào)方程為：

(3.2)

懸鏈線索單元曲線方程為：

(3.3)

協(xié)調(diào)方程為：

(3.4)

(3.5)

拋物線方程比懸鏈線方程明顯簡單，而且小垂度假定的引入使得拋物線索單元的協(xié)調(diào)方程較懸鏈線的協(xié)調(diào)方程更加簡單。兩者的應(yīng)用性，運用以下算例進(jìn)行對比。

算例 索的彈性模量E=1.13×1011N/m2，索截面面積為A=5.48×10-4m2，均布荷載q=46N/m2（對于拋物線索使得r=l，均布荷載沿即x?軸分布；懸鏈線索沿索長均勻分布）。給定原長情況下，各自的索中拉力h：

（1）

（2）

（3）

（4）

利用matlab計算結(jié)果如下表所示：

表1 拋物線與懸鏈線索單元拉力值

編號 拋物線索單元h（kN） 懸鏈線索單元H（kN）

（1） 1.7902×104 3.5495×105

（2） 7.1744×103 9.6251×104

（3） 2.9637×103 5.3952×104

（4） —— 3.5445×104

第四種情況時，用拋物線索單元計算出的結(jié)果為負(fù)值，由此也可看出拋物線索單元只針對于小垂度問題。比較拋物線索單元和懸鏈線索單元，可知在確定索原長，和其它條件相同時，懸鏈索單元計算出的索拉力的水平分量較大。

4結(jié)論

兩種索單元均認(rèn)為索為理想柔索，不受壓且無彎曲剛度，只能承受拉力作用。在其變形過程中，位移為大位移，假定其應(yīng)變?yōu)樾?yīng)變，服從胡克定理。拋物線索單元在推導(dǎo)協(xié)調(diào)方程過程中，引入小垂度假定，而懸鏈線索單元無此假定。拋物線索單元的曲線方程和協(xié)調(diào)方程都較懸鏈線索單元的簡單，但是有局限性，只能應(yīng)用于小垂度或兩端高差較小的情況，而懸鏈線索單元是沿索長均布受荷索元形狀的精確解。

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作者簡介:周雨斌(1983-),男,湖南株洲人,工學(xué)碩士,浙江大學(xué)建筑設(shè)計研究院,助理工程師

注：文章內(nèi)所有公式及圖表請以PDF形式查看。