兩種由U(1)主叢構(gòu)成的Kaluza－Klein理論

俞澤辰

(內(nèi)蒙古鐵騎集團(tuán)，呼和浩特 010010)

兩種由U(1)主叢構(gòu)成的Kaluza－Klein理論

俞澤辰

(內(nèi)蒙古鐵騎集團(tuán)，呼和浩特 010010)

比較了兩種由U(1)主叢構(gòu)成的Kaluza－Klein統(tǒng)一理論，它們的區(qū)別主要在于對不同空間維間基底的泊松括號交換關(guān)系的不同處理，決定了電磁場與引力場的不同的統(tǒng)一的方式。從而認(rèn)為深入探究高維空間中自然力的統(tǒng)一的核心在于:從它們關(guān)于不同空間維間基底的交換關(guān)系(作為量子條件的緣起)切入。

Kaluza－Klein理論;U(1)主叢;雙重纖維叢;基底交換關(guān)系

統(tǒng)一描述四種自然力——引力、電磁力、強(qiáng)力、弱力，始終是理論物理學(xué)追求的目標(biāo)。20世紀(jì)20年代，Kaluza－Klein五維理論［1］為增加度規(guī)張量分量的數(shù)目引入了第五維空間，統(tǒng)一了引力與電磁場。在其后的幾十年里，人們用高維時空對統(tǒng)一自然力作了很多努力，諸如11維超引力和10維超弦等［2，3］。而對傳統(tǒng)的Kaluza－Klein理論本身也作了更深入的改進(jìn)，其中特別是兩種以規(guī)范群U(1)為纖維的主叢理論，即第一種U(1)主叢K－K理論——第五維半徑與Planck長度密切相聯(lián)系的五維U(1)主叢K－K理論［4］和第二種U(1)主叢K－K理論——含標(biāo)量場的雙重纖維叢K－K理論［5，6］。本文即對這兩種理論進(jìn)行比較、分析，找出新切入點(diǎn)。

1 U(1)主叢K－K理論——第五維半徑與Planck長度密切相聯(lián)系的五維U(1)主叢K－K理論［4］

近代的主叢表達(dá)較早年的Kaluza－Klein理論有兩點(diǎn)進(jìn)展:

1.1 在主叢表述中，按近代關(guān)于電磁場是與位相規(guī)范群相聯(lián)系的規(guī)范場觀點(diǎn)，第五維是與帶電粒子的位相相聯(lián)系的;

1.2 第五維是閉合的。因?yàn)殡姾傻囊?guī)范變換是緊致的，因而是U(1)群，其流形是閉合的圓。在此基礎(chǔ)上，該理論假定五維空間度規(guī)為

其中第五維坐標(biāo)θ在主叢表述中是電荷規(guī)范群U(1)的位相參數(shù)，γ0為第五維半徑。取五維空間主叢P (M4，U(1))在點(diǎn)(xμ，θ)處的非坐標(biāo)基(活動標(biāo)架)為

由此計(jì)算出這組基的交換關(guān)系(泊松括號)為

其中Fμv=?μAv－?vAμ是電磁場張量。在引入與(2)對偶的基的一次微分形式后，五維度規(guī)(1)變成

由標(biāo)架度規(guī)γAB與活動標(biāo)架下Christoffel聯(lián)絡(luò)和Riemann曲率張量的關(guān)系，求得五維空間中標(biāo)量曲率為

其中R為時空的標(biāo)量曲率。顯然與第五維坐標(biāo)無關(guān)。

最后導(dǎo)至通常的含電磁場的Einstein－Maxwell方程的變分原理

由此可見，與引力統(tǒng)一的電磁場來自前三維基底間的式(4)中的不對易交換關(guān)系

因此與第五維坐標(biāo)θ無關(guān)，所以看不到第五維。而且得到

2 U(1)主叢K－K理論——含標(biāo)量場的雙重纖維叢K－K理論［5，6］

2.1 這種理論(1986)［5］從研究時空流形度規(guī)的空間分布與定域變化都受雙群U(1)2支配入手，首先闡明了U(1)?U(1)2與U(1)2的環(huán)繞數(shù)關(guān)系，以及群U(1)2的局部U(1)的群對度規(guī)規(guī)定的表現(xiàn)與局部U (1)子群元素間的對應(yīng)關(guān)系。從而引出引力相互作用存在U(1)2下的內(nèi)對稱規(guī)范場，與電磁規(guī)范群U (1)關(guān)系下的電磁規(guī)范場有相似之處。從而認(rèn)為，真正的統(tǒng)一理論應(yīng)當(dāng)是引力場與U(1)2的規(guī)范場的統(tǒng)一;進(jìn)一步得到對Kaluza－Klein理論的實(shí)質(zhì)認(rèn)識，即可將Kaluza－Klein理論解釋成把U(1)規(guī)范理論當(dāng)作U(1)2的規(guī)范理論的結(jié)果。而后者形式上包括前者。

2.2接著(1994)［6］具體提出利用雙重纖維叢P2(P1(M，U(1))，U(1))建立引力－電磁場－標(biāo)量場的Kaluza－Klein理論，并給出標(biāo)量場的一種新的解釋。

P2的非坐標(biāo)基為{Di，D5，D6}，

α，β為耦合常數(shù)，θ為第五維位相坐標(biāo)。

.假定Ai和φ都只是時空坐標(biāo)Xi的函數(shù)。由此求得非坐標(biāo)基的交換關(guān)系為

由P2上聯(lián)絡(luò)和曲率張量求得曲率標(biāo)量為

其中RM為四維時空M的曲率標(biāo)量。取為作用量，可得作用量

該作用量由四維時空曲率，電磁場和標(biāo)量場的動能項(xiàng)構(gòu)成，是含標(biāo)量場的K－K理論的作用量。依耦合常數(shù)的不同，有下列三種交換關(guān)系的不同情況:

?=β=0，此時作用量僅由廣義相對論的Riemann曲率構(gòu)成

這是通常用標(biāo)量曲率表示的引力的作用量。?≠0，β=0，此時作用量退化為

這就是統(tǒng)一引力－電磁場的K－K理論的作用量，與引力統(tǒng)一的電磁場來自不對易交換關(guān)系［Di，Dj］=－?Fij?6≠0。

這則是標(biāo)量場φ與廣義相對論耦合的作用量(1957，Bergmann，Leipnik)，由此將標(biāo)量場幾何解釋為它是雙重纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，更來自于不對易交換關(guān)系［Di，D5］=－β?iφ?6≠0。這正是含標(biāo)量場的雙重纖維叢K－K理論。

3 討論

在以上兩種由U(1)主叢構(gòu)成的Kaluza－Klein理論中，都用它們的不同維的基間的不對易交換關(guān)系得到相應(yīng)的電磁場與引力的不同的統(tǒng)一形式:

利用前三維基間的不對易交換關(guān)系統(tǒng)一引力與電磁場。第一種U(1)主叢K－K理論和第二種U(1)主叢K－K理論中耦合常數(shù)?≠0時的情況都是如此。它們的前三維間基的不對易交換關(guān)系分別是

而利用第五維與前三維間基的不對易關(guān)系

得到的便是含標(biāo)量場φ的雙重纖維叢K－K理論。

從Kaluza－Klein理論的五維觀點(diǎn)看，從增加維數(shù)為增加張量數(shù)目，已經(jīng)發(fā)展為用高維研究自然力的統(tǒng)一，將反映微觀量子屬性的不對易引入到主叢的相關(guān)基的交換關(guān)系中，尋求引力與電磁場，以至更多量子場的統(tǒng)一。因此，從主叢的基的交換關(guān)系作為量子條件的緣起切入，是統(tǒng)一自然力的重要途徑。這就是比較兩種主叢U(1)K－K理論帶給我們關(guān)于深入探究五維甚至更高維空間的本質(zhì)與統(tǒng)一屬性的重要啟示。

［1］P.G.柏格曼.相對論引論［M］.北京:人民教育出版社，1979

［2］李新洲.現(xiàn)代卡盧扎——克萊因理論［J］.自然雜志1985，(8):771

［3］Paul Davies.11維時空的世界［J］.世界科學(xué)，1985，(5):26

［4］吳詠時.Planck長度和統(tǒng)一引力——電磁的五維從理論［J］.物理學(xué)報(bào)，1980，(3):395

［5］卲常貴，內(nèi)對稱引力規(guī)范理論［J］.1986，(2):72

［6］侯喜文，馮笙琴，邵常貴.含標(biāo)量場的kaluza－klein理論［J］.黃淮學(xué)刊，1994，(2):48

O572.2

A

1009－5462(2011)03－0039－03

2011－07－16

俞澤辰，男，天津人，內(nèi)蒙古鐵騎集團(tuán)高級工程師。

［責(zé)任編校:張彩紅］