關(guān)于2個(gè)互質(zhì)整數(shù)平方和的研究及其應(yīng)用

李永，顧志華

（1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002；2.河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河北 保定 071001）

關(guān)于2個(gè)互質(zhì)整數(shù)平方和的研究及其應(yīng)用

李永1，顧志華2

（1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002；2.河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河北 保定 071001）

利用無(wú)窮下降法和同余式理論，證明了2個(gè)互質(zhì)的整數(shù)平方和的任意因數(shù)必然也可以表示成為2個(gè)整數(shù)的平方和，并利用這個(gè)結(jié)論推論出了Fermat平方定理.

整除；互質(zhì)；同余式；Fermat平方定理

MSC 2010：11Y11

數(shù)論是一門(mén)古老，然而又是常新的學(xué)科，是數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)學(xué)科的一個(gè)重要分支.數(shù)論問(wèn)題解決過(guò)程所應(yīng)用的方法和思想，是所有數(shù)學(xué)方法和思想的一個(gè)重要理論源泉.

無(wú)窮下降法是數(shù)論中一個(gè)重要的解題方法，首先是由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家Pierre發(fā)明，并使用這種方法證明了邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形其面積不可能是一個(gè)整數(shù)的平方，它在解決許多數(shù)論問(wèn)題中都起到了重要作用.法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Lagrange使用無(wú)窮下降法證明了四平方定理，瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家Leonhard也曾使用無(wú)窮下降法對(duì)Fermat大定理做出分析.

1 整數(shù)的整除性及同余

定義1m，n是整數(shù)，如果n是m的整數(shù)倍，則稱(chēng)m整除n，表示為m│n.

定義2對(duì)于整數(shù)m，n及r如果r│m，r│n則稱(chēng)r是m，n的公約數(shù).m，n的最大公約數(shù)表示為（m，n）.如果（m，n）＝1則稱(chēng)m和n是互質(zhì)的.

定理1 （m，n）＝1的充分必要條件是存在整數(shù)x，y使得xm＋yn＝1.

定理2 如果整數(shù)m，n，r滿足（m，r）＝1，并且r│mn，則r│n.

定理3 如果（a，b）＝1，則（a2，b2）＝1.

以上3個(gè)定理的證明參看文獻(xiàn)［3］.

定義3a，b，m是整數(shù)，如果m│（a-b）則稱(chēng)a，b對(duì)模m同余，表示為a≡b（modm）.同余式顯然具有如下性質(zhì)

性質(zhì)1a≡a（modm）（反身性）.

性質(zhì)2 如果a≡b（modm），則b≡a（modm）（對(duì)稱(chēng)性）.

性質(zhì)3a≡b（modm），b≡c（modm），則a≡c（modm）（傳遞性）.

性質(zhì)4 如果a≡b（modm），a1≡b1（modm）.則a＋a1≡b＋b1（modm）.

性質(zhì)5 如果a≡b（modm），c為任意整數(shù)，則ac≡bc（modm）.

2 互質(zhì)整數(shù)平方和的性質(zhì)

定理4 （a，b）＝1，并且p是a2＋b2的一個(gè)質(zhì)因數(shù)，那么p也可以表示為2個(gè)整數(shù)的平方和.

證明a2＋b2是一個(gè)質(zhì)數(shù)，則定理成立.

如果a2＋b2不是質(zhì)數(shù)，任意取它的一個(gè)質(zhì)因數(shù)p，并且假設(shè)kp＝a2＋b2（k＞1），必然存在整數(shù)a1，b1，使得0≤a1＜p，0≤b1＜p，a≡a1（modp），b≡b1（modp），并且a1≠0，b1≠0.否則，如果a1＝0，那么a是p的倍數(shù)，b2＝kp-a2也是p的倍數(shù)，由于p是質(zhì)數(shù)，所以b也是p的倍數(shù)，與（a，b）＝1矛盾，所以0＜a1＜p，0＜b1＜p.

如果k2＝1，則定理成立，否則如果k2＞1，分2種情況討論.

1）如果k2是偶數(shù)，則

定理5 如果（a，b）＝1，并且m是a2＋b2的一個(gè)因數(shù)，那么m也可以表示為2個(gè)整數(shù)的平方和.

證明如果m1＝ （a12＋b12），m2＝ （a22＋b22），則m1m2＝ （a1a2＋b1b2）2＋（a1b2-b1a2）2，所以m1和m2都可以表示為2個(gè)整數(shù)平方和，那么m1m2也可以表示為2個(gè)整數(shù)平方和.根據(jù)定理4知道a2＋b2的任何一個(gè)質(zhì)因數(shù)必然可以表示為2個(gè)整數(shù)的平方和，那么它的任何一個(gè)因數(shù)m必然是a2＋b2的一些質(zhì)因數(shù)的乘積（整數(shù)的唯一分解性質(zhì)），所以m也可以表示為2個(gè)整數(shù)的平方和.定理5證畢.

3 Fermat平方定理的證明

定理6 設(shè)p是一個(gè)大于2的質(zhì)數(shù)，k是一個(gè)小于p的整數(shù)，那么對(duì)于任意的整數(shù)i，j，1≤i＜j≤（p-1），ik與jk除以p的余數(shù)必然不等.

證明如果ik與jk除以p的余數(shù)相等，則ik≡jk（modp），jk-ik≡0（modp），p│（j-i）k.而（p，k）＝1，（p，j-i）＝1，與定理2結(jié)論顯然矛盾，所以ik與jk除以p的余數(shù)必然不等.定理6證畢.

定理7 設(shè)p是一個(gè)大于3的質(zhì)數(shù)，對(duì)于整數(shù)k，如果2≤k≤（p-2），必然存在整數(shù)i滿足：i≠k，2≤i≤ （p-2），并且ik≡1（modp）.

證明首先k2≡1（modp）不能成立，否則由于（p-1）2≡1（modp），所以（p-1）2-k2≡0（modp）.即（p-1-k）（p-1＋k）≡0（modp），得p│（p-1-k）（p-1＋k）.顯然（p，p-1-k）＝1，（p，p-1＋k）＝1與定理2結(jié)論矛盾，所以k2≡1（modp）不能成立.

由定理6的結(jié)論知：k，2k，3k，…，（p-1）k除以p的余數(shù)必然都不相等，因而必然存在一個(gè)i滿足：1≤i≤（p-1），ik≡1（modp）.i＝1或i＝p-1，ik≡1（modp）顯然不成立，所以必然存在整數(shù)i滿足：i≠k，2≤i≤ （p-2），并且ik≡1（modp）.定理7證畢.

定理8p是一個(gè)質(zhì)數(shù)的充分必要條件是：（p-1）！≡p-1（modp）.

證明必要性：

P是一個(gè)質(zhì)數(shù)，當(dāng)p＝2，p＝3時(shí)必要性顯然成立.

對(duì)于p＞3，根據(jù)定理7的結(jié)論可以知（p-2）！≡1（modp），所以（p-1）！≡p-1（modp）.

充分性：

P為一個(gè)和數(shù)時(shí)，設(shè)p＝ab，其中1＜a＜p，1＜b＜p.當(dāng)a≠b時(shí)，（p-1）！必然是ab的整數(shù)倍，所以（p-1）！≡0（modp）充分性成立.當(dāng)a＝b時(shí)，則p＝a2，分2種情況討論：

1）a＝2時(shí)，則p＝4，（p-1）！＝3?。?≡2（mod 4）說(shuō)明充分性成立.

2）a＞2時(shí)，（p-1）＝a2-1＞2a，（p-1）?。?×2×…×a×（a＋1）×…×2a×…×（p-1），所以（p-1）！必然是a2＝p的整數(shù)倍，所以（p-1）！≡0（modp）充分性成立.

綜上可知此定理的充分必要性都成立.定理8證畢.

定理9 （Fermat平方定理）對(duì)于正整數(shù)x，如果4x＋1是質(zhì)數(shù)，那么4x＋1必然可以表示為2個(gè)互質(zhì)整數(shù)的平方和.

證明設(shè)p＝4x＋1是質(zhì)數(shù)，根據(jù)同余式的性質(zhì)可得

故p是［（2x）?。?＋1的一個(gè)因數(shù)，根據(jù)定理5知道p也必然可以表示為2個(gè)整數(shù)的平方和.根據(jù)定理4的證明過(guò)程知道，這2個(gè)整數(shù)必然是互質(zhì)的.定理9證畢.

［1］楊倩麗.關(guān)于Euler數(shù)的一個(gè)同余式［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，36（3）：351-352.

［2］LI Hailong.On the general Kloosterman sum and its sixth power mean［J］.JP Journal of Algebra Number Theory and Applications，2006（1）：25-27.

［3］華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引［M］.北京：科學(xué)出版社，1979.

［4］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2008.

［5］ALBERT H B.數(shù)論妙趣［M］.上海：上海出版社，2000.

［6］李文林.數(shù)學(xué)史教程［M］.北京：高等教育出版社，2000.

About Two Co-prime Integer Square Research and Its Application

LI Yong1，GU Zhi-hua2
（1.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China；2.College of Science，Agriculture University of Hebei，Baoding 071001，China）

By using infinite descent method and congruent theory，this paper proves that the arbitrary factor of a integer which is a sum of two co-prime integer squares will be necessarily expressed a sum of two co-prime integer squares.This conclusion can deduced the Fermat square theorem.

division；co-prime；congruent；Fermat square theorem

O 156.1

A

1000-1565（2011）06-0586-04

2011-06-20

河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（F2011201063）；保定市社科基金資助項(xiàng)目（20110363）

李永（1970-），男，河北安平人，河北大學(xué)講師，主要從事數(shù)論方向研究.

E-mail：li-yi-fei＠sina.com

王蘭英）