交通擁堵現(xiàn)象的進化博弈分析

羅群，黎玉琴

（1.肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 肇慶 526061；2.肇慶學(xué)院 政法學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

交通擁堵現(xiàn)象的進化博弈分析

羅群1，黎玉琴2

（1.肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 肇慶 526061；2.肇慶學(xué)院 政法學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

利用生物進化的復(fù)制動力學(xué)，建立了一個公共交通與私家車博弈模型，得到選擇公共交通的博弈方的比例隨時間的變化率的復(fù)制動態(tài)方程，并用此方程從滿意度的角度來討論、分析這種普遍存在的交通擁堵現(xiàn)象.

進化博弈；復(fù)制動態(tài)方程；滿意度；均衡點；漸近穩(wěn)定均衡

MSC 2010：91A22；91A80

隨著我國經(jīng)濟發(fā)展水平的不斷提升，交通需求的高速發(fā)展，作為推動經(jīng)濟發(fā)展動力系統(tǒng)中的大動脈的交通問題，在城市化進程不斷推進的過程中集中表現(xiàn)為交通擁堵，尤其是在大中城市，交通擁堵已經(jīng)演變成為人們出行時最頭痛的問題之一，最糟糕的時候甚至堵塞多達三、五個小時仍難以移動半步.于是，如何解決這類問題自然成為人們不斷思考并力圖有效解決的重要課題.有學(xué)者從國外大城市的經(jīng)驗角度將解決思路概括為：優(yōu)化交通設(shè)施設(shè)計，建設(shè)發(fā)達的公共交通；限制公車使用；控制私人小汽車增加速度；提高環(huán)保節(jié)能型交通工具使用率以及減少出租車空載率［1］.有學(xué)者從最新國際研究進展和案例梳理中強調(diào)指出，利用交通擁擠收費為一個關(guān)鍵要素的綜合交通政策，發(fā)揮公共性、稀缺性交通設(shè)施的最大經(jīng)濟效益，讓私人化的機動出行所獲取的收益和其所帶來的全部社會成本相適應(yīng)，將是解決城市交通問題、實現(xiàn)有關(guān)子目標(biāo)的關(guān)鍵［2］.也有學(xué)者進一步明確主張強化政府作為，提出政府應(yīng)該從市場經(jīng)濟的角度經(jīng)營管理城市道路這一公共產(chǎn)品，并采用相應(yīng)的經(jīng)濟手段使其部分商品化，在征收高峰期擁堵費用的基礎(chǔ)上，加征車輛牌照費、汽車燃油稅、差別停車費等稅費，使每個汽車使用者都承擔(dān)相應(yīng)的公共物品的動態(tài)成本，確保出行者按照效用最大化原則來選擇出行方式、出行時間和出行費用，從而緩解汽車擁有量激增和道路資源稀缺之間的供求矛盾［3］.還有學(xué)者從經(jīng)濟上量化交通擁堵所產(chǎn)生的成本，提出了擁堵的臨界速度，分析了擁堵的各子成本，建立時間、能耗、尾氣3大子項成本的計算模型［4］.

無論是立足于從解決城市交通的硬件設(shè)施、制度建設(shè)和政府行為等導(dǎo)致交通擁堵的客觀方面進行研究，還是從增加出行成本的角度來治理擁堵，最終的目的都是讓出行者得到最大的滿意.也就是說，在導(dǎo)致交通擁堵現(xiàn)象的眾多因素中，公共交通的相對滯后和私家車的迅速發(fā)展所導(dǎo)致的相關(guān)人群在選擇交通方式的滿意度，是其中不可忽略的主觀因素，它在一定程度上會直接或間接地影響到實際的交通運行狀態(tài).進化博弈論在經(jīng)濟、管理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如文獻［5-6］利用進化博弈分析了客運問題、新農(nóng)村建設(shè)中農(nóng)民合作問題等.

因此，本文利用生物進化的復(fù)制動態(tài)機制，建立公共交通與私家車博弈模型，得到選擇公共交通（或策略1）的博弈方的比例隨時間的變化率的復(fù)制動態(tài)方程，并用此方程，從滿意度的角度來討論、分析現(xiàn)實社會生活中大量存在的交通擁堵現(xiàn)象.

1 復(fù)制動態(tài)方程

盡管博弈分析研究的是人們在特定問題中的行為和決策，而且人們在具體問題中也可以是完全理性的，但是這仍然不能改變理性局限的普遍性.在一個具體的博弈中，若博弈方不是完全理性（完全理性是指理性意識、分析推理能力、識別判斷能力、記憶能力和準(zhǔn)確行為能力等多方面的完美性要求）的，稱為有限理性博弈方，由有限理性博弈方參與的博弈稱為有限理性博弈.在有限理性博弈中，具有真正穩(wěn)定性和較強預(yù)測能力的均衡，必須是通過博弈方模仿、學(xué)習(xí)的調(diào)整過程來實現(xiàn)的，具有能經(jīng)受錯誤偏離的干擾，在受到少量干擾后仍能“恢復(fù)”的均衡，這種均衡稱為漸近穩(wěn)定均衡（或進化穩(wěn)定策略）ESS.通常把研究有限理性博弈的理論稱為“進化博弈論”.

有限理性博弈分析的關(guān)鍵是確定博弈方學(xué)習(xí)和策略調(diào)整的模式（或機制），當(dāng)博弈方的理性程度較低或涉及到集體決策時（也可以說是學(xué)習(xí)速度很慢的成員組成大群體隨機配對的反復(fù)博弈），可用生物進化的“復(fù)制動態(tài)”機制模擬博弈方的學(xué)習(xí)和調(diào)整過程.

一般地，考慮以下形式的n維歐氏空間Rn中的微分方程

其中x是Rn中的一點，F(xiàn)（x）是Rn中的一個向量.對方程（3），若F的各分量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程（3）的解存在且唯一［8］.設(shè)φ（t；x0）是流，即

其中x0是初始值.

定義1［8］若x＊滿足F（x＊）＝0，則稱x＊是微分方程（3）的不動點或均衡點或穩(wěn)定狀態(tài)，且對所有t都有φ（t；x＊）＝x＊.

定義2［8］若對任意ε＞0，存在δ＞0，使當(dāng) ‖x0-x＊‖ ＜δ時，對任意t≥0有 ‖φ（t；x0）-x＊‖ ＜ε，則稱不動點x＊是李雅普諾夫穩(wěn)定的或L-穩(wěn)定的.

定義3［8］若存在δ1＞0使對所有滿足 ‖x0-x＊‖ ＜δ1的x0有 ‖φ（t；x0）-x＊‖ →0（t→ ∞），則稱不動點x＊是弱漸近穩(wěn)定的；若不動點x＊既是L-穩(wěn)定的又是弱漸近穩(wěn)定的，則稱該不動點是漸近穩(wěn)定的或吸引的.

由文獻［8］知，對一維的微分方程

其中g(shù)（x）與g′（x）是連續(xù)，且x＊是微分方程（4）的不動點或者均衡點（即g（x＊）＝0）時，若g′（x＊）＜0，則均衡x＊是吸引的，即是漸近穩(wěn)定的，也就是能經(jīng)受錯誤偏離的干擾，在受到少量干擾后仍能“恢復(fù)”的均衡；若g′（x＊）＞0，則均衡（或不動點）x＊是排斥的.

2 公共交通與私家車博弈模型

在此博弈中，假設(shè)每位博弈方（出行者）出行時可選擇2類交通工具：公共交通（指軌道交通，大（中）巴公共汽車等有固定線路或有首末班時間限制的交通工具）和私家車（家用（單位）小車，出租車，摩托車，自行車等不受固定線路和固定時間限制的交通工具）.由于（長距離的）步行者人數(shù)相對較少，可將此類人群歸入選擇私家車人群中或忽略不計.因此博弈雙方的策略集合均為｛公共交通（策略1），私家車（策略2）｝，用表1的2×2對稱博弈表示支付（贏得）矩陣，其中p，q，r，s表示各博弈方的滿意度.

表1 公共交通與私家車博弈Tab.1 Game of mass transit and private car

3 Nash均衡與進化穩(wěn)定分析

點∈Sn為具有支付矩陣G的對策的Nash均衡，如果

對所有x∈Sn成立.

點∈Sn為具有支付矩陣G的對策的進化穩(wěn)定狀態(tài)，如果

對的某個鄰域中所有x≠成立.

由文獻［7］的定理知，若點∈Sn為具有支付矩陣G的對策的Nash均衡，則為方程（5）的駐點；若為L-穩(wěn)定的，則為Nash均衡；若∈Sn為具有支付矩陣G的對策的進化穩(wěn)定狀態(tài)，則必為方程（5）的漸近穩(wěn)定駐點.

在大中城市中，每天出行的人數(shù)多達幾十萬乃至上百萬人次，由于博弈方（出行者）的數(shù)量足夠大，可以理解出行問題是一個大群體的成員間隨機配對反復(fù)進行該博弈，因此可用復(fù)制動態(tài)模型來分析這種現(xiàn)象.大群體成員隨機配對博弈暗指所有博弈方都是相似的，也可以認為進行的博弈是博弈位置無差異的2人對稱博弈.

假設(shè)在出行人群中，選擇策略1（即公共交通）出行的博弈方E1的比例為x∈［0，1］，選擇策略2（即私家車）出行的博弈方E2比例為1-x.則選擇2種策略的博弈方的期望得益和群體平均期望得益分別為

由于每天選擇不同交通工具的人數(shù)是變化的，所以x與時間t有關(guān).由式（5），選擇策略1（即公共交通）的博弈方E1的比例x隨時間的變化率dx／dt的復(fù)制動態(tài)方程是

將式（6），（7），（8）代入式（9）得下面的復(fù)制動態(tài)方程

根據(jù)p，q，r，s與x的函數(shù)關(guān)系，利用式（10）可以確定本博弈的漸近穩(wěn)定均衡.

4 算例分析

在現(xiàn)實城市生活中，選擇同一交通工具的滿意度隨出行的時段、出行的地點的不同是有一定差異的，在下面的算例中忽略這種差異，認為選擇同一交通工具（策略）的博弈方的滿意度是相同的，因此p＝q，r＝s.若選擇公共交通的人數(shù)增多，這類博弈方E1的滿意度降低，而選擇私家車的博弈方E2的滿意度則增加.因此，p是x的減函數(shù)，r是x的增函數(shù).p，r與x的函數(shù)關(guān)系，是要通過長時間的調(diào)查統(tǒng)計、曲線擬合等大量工作才能得到一種近似函數(shù)關(guān)系.因此，本文就一種較簡單的線性函數(shù)的情形進行討論.

由文獻［8，10］中相位圖的方法，得到復(fù)制動態(tài)方程（12）的相位圖如圖1所示，從圖1中可看出x3＝1／2是該博弈的漸近穩(wěn)定均衡ESS，而x1＝0和x2＝1則不是本博弈的漸近穩(wěn)定均衡.

圖1 公共交通與私家車博弈復(fù)制動態(tài)方程相位Fig.1 Phase diagram of replicator dynamic equation in the game of mass transit and private car

從此結(jié)果看出：當(dāng)選擇公共交通與私家車的人數(shù)相當(dāng)時，博弈雙方的滿意度一樣；當(dāng)選擇公共交通的人數(shù)比例大于1／2時，這類人群的滿意度低于選擇私家車的人群的滿意度；當(dāng)選擇公共交通的人數(shù)比例小于1／2時，這類人群的滿意度高于選擇私家車的人群滿意度.比如某人今天選擇私家車出行時堵塞嚴重，而公共交通則順暢，此人明天就可能會選擇公共交通，如果明天選擇公共交通后發(fā)現(xiàn)公共交通比私家車堵塞嚴重，后天就可能選擇私家車，這就是博弈方模仿、學(xué)習(xí)的調(diào)整過程，通過長期的模仿、學(xué)習(xí)的調(diào)整過程，會“恢復(fù)”到比例為1／2的狀態(tài).這種模仿、學(xué)習(xí)而導(dǎo)致的選擇過程，會促使選擇公共交通和私家車的相關(guān)群體的比例達到大致的平衡，在這種平衡狀態(tài)下，博弈各方的滿意度達到最大，若這種平衡被打破，博弈方的滿意度就會降低.這種分析結(jié)果與現(xiàn)實比較接近.因此，要解決交通擁堵問題，不僅是讓出行的人們大都選擇公共交通，而是相關(guān)部門就從百姓的角度思考，找出解決實際問題的辦法.本文的分析不是絕對的，因為滿意度p，q，r，s的函數(shù)表達式不同，結(jié)果會不同.另外，人們因經(jīng)濟、面子、低碳、環(huán)保、偏好等因素也會導(dǎo)致不完全考慮滿意度.

5 結(jié) 論

利用復(fù)制動態(tài)方程建立的公共交通與私家車博弈模型得出：博弈各方究竟選擇何種交通工具，一般取決于這種交通工具給博弈各方帶來的滿意度，并且這種選擇也不是一成不變的，而是博弈各方在長期模仿、學(xué)習(xí)及調(diào)整過程中，逐漸形成一個選擇公共交通與私家車的人數(shù)之間的適當(dāng)比例（ESS），最終這個比例會使博弈各方的滿意度達到最大化.

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Evolutionary Game Analysis of Traffic Jam

LUO Qun1，LI Yu-qin2
（1.School of Mathematics and Information Sciences，Zhaoqing University，Zhaoqing 526061，China；2.School of Politics and Law，Zhaoqing University，Zhaoqing 526061，China）

By means of the replicator dynamics of biological evaluation，the paper constructs a game model of mass transit and private cars，obtains a replicator dynamic equation which describs the change rate of the proportion of players for the chose of mass transit with time，and analyzes the commonly existed traffic jam by the satisfied degree of the equation.

evolutionary game；replicator dynamics equation；satisfied degree；equilibrium point；evolutionary stable strategy

O 225

A

1000-1565（2011）06-0573-05

2011-07-02

廣東省自然科學(xué)基金資助項目（9251064101000015）；廣東省肇慶市科技項目 （2010F003）

羅群（1963-），女，重慶巴縣人，肇慶學(xué)院教授，博士，主要從事非線性泛函分析、博弈論及其應(yīng)用研究.

E-mail：liluoqun＠yahoo.com.cn