一類分?jǐn)?shù)階微分方程的廣義擬線性化方法

王培光，侯穎，劉靜

（1.河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，河北 保定 071002；2.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002）

E-mail：pgwang＠hbu.edu.cn

研究報(bào)告

一類分?jǐn)?shù)階微分方程的廣義擬線性化方法

王培光1，侯穎2，劉靜2

（1.河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，河北 保定 071002；2.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002）

采用廣義擬線性方法討論了Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題，給出2個(gè)單調(diào)迭代序列，證明它們一致且平方收斂于方程的解.

分?jǐn)?shù)階微分方程；廣義擬線性化方法；平方收斂

近年來，由于分?jǐn)?shù)階微分方程可描述現(xiàn)實(shí)世界的許多問題，其理論及性質(zhì)已被廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域中，因而引起了人們的廣泛關(guān)注［1-5］.

擬線性化方法［6］是研究微分方程定性問題的方法之一，在特定的條件下，可通過構(gòu)造上、下解逐步逼近微分方程的解，保證了線性方程解的單調(diào)序列的平方收斂.本文通過使用廣義擬線性方法，得到了Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程

解的單調(diào)序列的平方收斂的結(jié)果.其等價(jià)的Volterra分?jǐn)?shù)階積分方程為

其中f∈C［J，R］，J＝ ［t0，T］，0＜q＜1，Γ為 Gamma函數(shù).對于Caputo線性分?jǐn)?shù)階微分方程

其中g(shù)∈Cq［J，R］，且對q為 H?lder連續(xù)，其唯一解

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分別是含1參數(shù)和2參數(shù)的Mittag-Leffler方程.

首先給出如下定義及引理.

定義1 若存在α，β∈Cq［J，R］且滿足

則稱α（t），β（t）分別是式（1）的下解和上解.

引理1［7］令α，β∈Cq［J，R］分別為式（1）的下解和上解，且

當(dāng)α（t0）≤β（t0）時(shí)，有α（t）≤β（t），t∈J.

引理2 令α，β∈Cq［J，R］分別為式（1）的下解和上解，α（t）≤β（t），t∈J，且f∈C［Ω，R］，Ω＝［（t，x）∶α（t）≤x≤β（t），t∈J］，則存在式（1）的解x（t）滿足

證明令P∶J×R→R且P（t，x）＝max［α（t），min（x，β（t））］，則f（t，P（t，x））是f在J×R上的連續(xù)擴(kuò)張.由于f（t，x）在Ω上有界，則f（t，P（t，x））在 Ω上也有界.因此

定理1 假設(shè)

1）α0，β0∈Cq［J，R］為式（1）的下解和上解，α0（t）≤β0（t），t∈J；

2）f∈C［Ω，R］，fx，fxx存在且連續(xù)，且存在φ∈C［Ω，R］，φx，φxx存在且連續(xù)，并滿足φxx＞0，fxx＋φxx≥0，則存在單調(diào)序列｛αn（t）｝和｛βn（t）｝一致且平方收斂于式（1）的解.

證明由2）可知，當(dāng)α0（t）≤x2≤x1≤β0（t）時(shí)，有

其中F（t，x）＝f（t，x）＋φ（t，x），u（t0）＝x0＝v（t0），α0（t0）≤x0≤β0（t0）.由1）與式（6）得

由定義1知，α0，β0分別為式（7）的下解和上解.由式（6）及中值定得知，g（t，u；α0）滿足

因此由引理2知，存在式（7）的解α1（t）使得

同理可得，α0，β0分別為式（8）的下解與上解且存在式（8）的解β1（t），使得

由定義1知，α1，β1分別為式（1）的下解與上解.因此由式（5）及引理1有

由定義1知，α1，β1分別為式（11）的下解與上解.因此，由式（9）及引理2得，存在式（11）的解α2（t）使得

同理，α1，β1分別為式（12）的下解和上解且存在式（12）的解β2（t）使得

其中α1≤σ≤β1.由定義1知，α2，β2分別為式（1）的下解與上解.因此，由式（5）及引理1有

的解.綜上可知序列｛αn（t）｝，｛βn（t）｝單調(diào)且一致收斂于式（1）的解x（t），t∈J.

下證序列｛αn（t）｝，｛βn（t）｝平方收斂于式（1）的解x（t）.假設(shè)

由Caputo線性分?jǐn)?shù)階微分方程（2）的解（3）及（4）的形式可得

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Generalized Quasilinearization for Fractional Differential Equations

WANG Pei-guang1，HOU Ying2，LIU Jing2
（1.College of Electronic and Information Engineering，Hebei University，Baoding 071002，China；2.College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

This paper employs the generalized quasilinearization method for initial value problems of Caputo fractional differential equations，and constructs two monotone sequences，then proofs both of them converge uniformly and quadratically to the solution of the equation.

fractional differential equations；generalized quasilinearization；quadratic convergence

O 175.1

A

1000-1565（2011）05-0449-04

2010-12-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971045）；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（A2009000151）

王培光（1963-），男，黑龍江哈爾濱人，河北大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事微分方程與控制理論方面的研究.

王蘭英）