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    一道“希望杯”賽題的拓廣及其應用

    2011-11-27 02:28:11
    中學教研(數(shù)學) 2011年9期
    關(guān)鍵詞:傾斜角理科命題

    (漾濞縣第一中學 云南大理 672500)

    一道“希望杯”賽題的拓廣及其應用

    ●范花妹秦慶雄

    (漾濞縣第一中學 云南大理 672500)

    ( )

    (2010年第21屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高二第一試試題)

    這道題設(shè)計新穎、綜合性極強,集中考查了多個知識點,是一道有較好區(qū)分度的好題,值得我們深入研究.若將其推廣為一般問題進行研究,則可獲得如下命題.

    圖1

    證明如圖1,不妨設(shè)點A位于點B的上方,直線l是與焦點F相對應的準線,點A,B在l上的射影分別為C,D,點B在AC上的射影為H.由橢圓定義得

    在Rt△ABH中,有

    |AH|=|AC|-|HC|=|AC|-|BD|=

    (1)

    將式(2)代入式(1),得

    (3)

    |AB|=|AF|+|FB|=λ|BF|+|FB|=

    (λ+1)|FB|,

    (4)

    且λ≠1,由式(3)知|AH|≠0,所以在Rt△ABH中,

    將式(3)和式(4)代入式(5),得

    若將橢圓拓廣到雙曲線或拋物線中進行研究,則可獲得如下命題.

    命題2和命題3的證明與命題1類似,此處從略.根據(jù)相似性,可將上述3個命題統(tǒng)一為:

    上述定理反映了圓錐曲線焦點分弦所得的比和弦所在直線的傾斜角(或斜率)之間的內(nèi)在聯(lián)系.如果掌握了上述定理,那么圓錐曲線焦點分弦所得的比和弦所在直線的傾斜角(或斜率)之間的問題便可迎刃而解.下面以近2年的高考題為例,說明上述定理在解題中的應用.

    先給出例1的解答.

    ( )

    (2010年全國數(shù)學高考理科試題Ⅱ)

    解因為

    所以由定理得

    解得

    因此

    故選B.

    (2010年全國數(shù)學高考理科試題Ⅰ)

    解設(shè)橢圓的中心為O,焦點弦BD所在直線的傾斜角為θ.在Rt△BOF中,有

    又λ=2,由定理得

    解得

    (2010年遼寧省數(shù)學高考理科試題)

    解得

    ( )

    (2009年全國數(shù)學高考理科試題Ⅱ)

    解得

    故選A.

    從上面幾例可以看出,本文給出了圓錐曲線中一個統(tǒng)一的定值,提供的方法可有效地解題,特別是選擇題和填空題.需要注意的是,由于該定理不是課本結(jié)論,在求解解答題時不宜直接作為解題依據(jù),但可以利用證明定理的思路直接求解.

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