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    貌似神離的兩類(lèi)恒成立

    2011-11-27 03:37:27
    關(guān)鍵詞:理科實(shí)數(shù)試題

    (蘇苑中學(xué) 江蘇蘇州 215128)

    貌似神離的兩類(lèi)恒成立

    ●楊品方

    (蘇苑中學(xué) 江蘇蘇州 215128)

    1 提出問(wèn)題

    觀察下面2個(gè)問(wèn)題:

    問(wèn)題1已知f(x)=8x2+16x-a,g(x)=2x3+5x2+4x(a為實(shí)數(shù)),若對(duì)任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    問(wèn)題2已知f(x)=8x2+16x-a,g(x)=2x3+5x2+4x(a為實(shí)數(shù)),若對(duì)任意的x1,x2∈[-3,3]都有f(x1)≤g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    筆者發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)這2個(gè)問(wèn)題的求解很多是靠運(yùn)氣的,這次練習(xí)中做對(duì)了,下次測(cè)試中也許又做錯(cuò)了.究其原因,這2個(gè)問(wèn)題雖然“貌似”但又“神離”,下面讓我們來(lái)好好辨別.

    2 觀察問(wèn)題

    問(wèn)題1中的“f(x)≤g(x)恒成立”,左、右兩邊所取“自變量”是同一個(gè),譬如f(1)≤g(1),f(-2)≤g(-2),但又不包括如f(1)≤g(-2)等.事實(shí)上,f(1)與g(-2)是不能比較大小的,也沒(méi)有必要去比較大小,如圖1所示.

    問(wèn)題2中的“f(x1)≤g(x2)恒成立”,左、右兩邊所取“自變量”可以相同,還可以不相同,譬如f(1)≤g(1),f(1)≤g(-2)等.事實(shí)上,只要是f(x1),總有小于等于g(x2)的部分,如圖2所示(圖中水平虛線僅作分界,不是圖像).

    圖1

    圖2

    問(wèn)題2的條件比問(wèn)題1的條件要“嚴(yán)格”,問(wèn)題2中a的取值集合是問(wèn)題1中a的取值集合的子集.

    3 解答措施

    問(wèn)題1的解答通常是:記函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),求出[-3,3]上h(x)的最大值h(x)max,解不等式h(x)max≤0,從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.此處

    h(x)max=45-a≤0,

    故a≥45.

    問(wèn)題2的解答通常是:分別求出[-3,3]上f(x)的最大值f(x)max,g(x)的最小值g(x)min,解不等式f(x)max≤g(x)min,從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.此處

    f(x)max=120-a,g(x)min=-21,

    從而

    120-a≤-21,

    a≥141.

    4 應(yīng)用舉例

    例1已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (3)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于點(diǎn)A,B,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,證明:f′(x0)<0.

    (2011年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析(1)略;

    (3)略.

    解(1)略;

    g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,

    求導(dǎo)得

    (3)略.

    (1)用a表示出b,c;

    (2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

    (2010年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析(1)略;

    (2)不等式f(x)≥lnx的左、右兩邊是同一個(gè)變量x,應(yīng)歸屬于“問(wèn)題1”類(lèi)型.

    解(1)由題意可得

    (2)由第(1)小題知

    其中x∈[1,+∞),易得g(1)=0.為研究g(x),求導(dǎo)得

    (2011年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題改編)

    分析要證不等式的左、右兩邊是同一個(gè)變量x,應(yīng)該歸屬于“問(wèn)題1”類(lèi)型.

    解由題意可知

    因此

    當(dāng)x>1時(shí),h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,因此

    h(x)

    從而

    (1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;

    分析(1)略;

    簡(jiǎn)解(1)f(x)的最小值為1(過(guò)程略).

    例5已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+2ax-3.

    (1)求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值;

    (2)若f(x),g(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)性相同,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

    (3)求證:對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有

    分析(1),(2)略;

    于是

    圖3

    貌似神離、似是而非的2個(gè)恒成立問(wèn)題,因?yàn)樽蟆⒂覂蛇呑兞康牟煌?,而?dǎo)致答案數(shù)據(jù)相差甚遠(yuǎn).通過(guò)上述實(shí)例的分析可以發(fā)現(xiàn),解決這類(lèi)問(wèn)題之前要先判斷問(wèn)題屬于哪一類(lèi).對(duì)于問(wèn)題1類(lèi)型的,需考慮差函數(shù),研究該差函數(shù)的最大或最小值;對(duì)于問(wèn)題2類(lèi)型的,先分別求出2邊的最大或最小值.尤其要注意的,也是最難的當(dāng)屬例5類(lèi)型的,表面上是問(wèn)題1類(lèi)型(因?yàn)樽笥业淖兞肯嗤?,實(shí)際上是問(wèn)題2類(lèi)型(因?yàn)橐贿叺淖钚∨c另一邊的最大作比較),這也需要我們?cè)诮忸}受阻(像例5的分析)時(shí)能及時(shí)、有效地調(diào)整思路.

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