新課程背景下高考統(tǒng)計與概率試題的新視角

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(南安市第一中學 福建南安 362300)

新課程背景下高考統(tǒng)計與概率試題的新視角

●林少安

(南安市第一中學 福建南安 362300)

統(tǒng)計與概率是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，由于它和實際生活聯(lián)系緊密，同時又是大學概率論與統(tǒng)計學的基礎(chǔ)，因此起到了承上啟下的作用．新課程強調(diào)數(shù)學的基礎(chǔ)性、現(xiàn)實性，重視素質(zhì)教育與高考的兼容性，統(tǒng)計與概率的教學內(nèi)容又恰好是一個很好的載體，因此統(tǒng)計與概率已成為高考的熱點之一，并且常考常新，每年都有精彩考題出現(xiàn)，近幾年統(tǒng)計與概率試題呈現(xiàn)以下新視角．

1 關(guān)注數(shù)據(jù)處理能力的考查

數(shù)據(jù)處理能力：會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷．數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，并解決給定的實際問題．在復習中，應注意培養(yǎng)學生養(yǎng)成會用數(shù)據(jù)“說事”，收集、整理、分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中提取信息，并利用這些信息說明問題，養(yǎng)成會用數(shù)據(jù)“說事”的習慣．

例1某地區(qū)為了解70～80歲老人的日平均睡眠時間(單位：h)，隨機地選擇了50位老人進行調(diào)查，表1是50位老人日睡眠時間頻率分布表.

表1 50位老人日睡眠時間頻率分布表

圖1

在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中，一部分計算見算法流程圖(如圖1)，則輸出的S的值是________．

分析本題借助對頻率分布表的分析，考查數(shù)據(jù)處理的能力．根據(jù)頻率分布表所提供的數(shù)據(jù)，利用算法流程圖進行處理，計算出加權(quán)平均數(shù)為4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42．

本題以老人的日平均睡眠時間為背景，考查了頻率分布表，將算法流程圖知識融入其中是本題的“閃光”之處，使呆板、平淡的數(shù)學題充滿活力和魅力！

2 關(guān)注數(shù)學思想的考查

統(tǒng)計與概率中隱含著多種數(shù)學思想，必然與偶然最具代表性．統(tǒng)計與概率是揭示必然與偶然(規(guī)律性與隨機性)之間的一對特殊矛盾．事物或現(xiàn)象可以是確定的，也可以是模糊的或隨機的．為了了解隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，便產(chǎn)生了概率論這個數(shù)學分支．隨機現(xiàn)象有2個最基本的特征:一是結(jié)果的隨機性;二是頻率的穩(wěn)定性．研究一個隨機現(xiàn)象就是要研究這個隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果與每個結(jié)果出現(xiàn)的概率，是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這就是所謂或然與必然思想．

例2已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員3次投籃恰有2次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每3個隨機數(shù)為一組，代表3次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):

907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,

431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.

據(jù)此估計，該運動員3次投籃恰有2次命中的概率為

( )

A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

(2009年福建省數(shù)學高考試題)

分析本題是以隨機事件的概率為載體，主要考查必然與或然思想．由于某運動員每次投籃命中的概率都為40%，因此可運用模擬方法估計概率.由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每3個隨機數(shù)為一組，代表3次投籃的結(jié)果是合理的.這里的隨機數(shù)是偶然的，而40%的概率是必然的，從而利用這隨機的20組數(shù)來估計該運動員3次投籃恰有2次命中的概率是合理的．其中,表示3次投籃恰有2次命中的數(shù)有191,271,932,812,393共5組，因此運動員3次投籃恰有2次命中的概率為25%．

3 關(guān)注“過程性”知識的考查

新課程倡導要重視知識的形成、發(fā)展的過程，關(guān)注對知識形成過程中所隱含的思想、方法與能力的揭示與訓練，重視讓學生體會知識的形成、發(fā)展及問題的解決過程，體會蘊涵在其中的思想方法．在復習教學中必須很好地落實過程教學，要求做到：展示概念、公理的提出過程；展示性質(zhì)、法則的發(fā)現(xiàn)過程；展示公式、定理的推導過程；展示問題、結(jié)論的探索過程；展示思想、方法的深化過程．特別是相關(guān)定理、法則和公式的復習，切忌讓學生盲目套用，應引導他們經(jīng)歷相關(guān)過程，理解數(shù)學本質(zhì)．

(2010年全國數(shù)學高考試題)

本題考查幾何概型、積分的定義等基礎(chǔ)知識，考生在解決問題時，再次經(jīng)歷對積分定義的學習這一過程，只有對積分等知識的理解達到一定的層次，才能順利地解決這一問題．

4 關(guān)注“開放性”知識的考查

例4甲、乙2位學生參加數(shù)學競賽培訓．現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：

甲:82,81,79,78,95,88,93,84

乙:92,95,80,75,83,80,90,85.

(1)用莖葉圖表示這2組數(shù)據(jù)；

(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由；

(3)若將頻率視為概率，對同學甲在今后的3次數(shù)學競賽成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數(shù)為ζ，求ζ的分布列及數(shù)學期望Eζ．

(2009年福建省數(shù)學高考質(zhì)檢試題)

分析本題以概率、統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識為載體，著重考查數(shù)據(jù)處理能力．第(1)小題作出莖葉圖．第(2)小題是結(jié)論開放性問題，結(jié)論不唯一，只要能從統(tǒng)計學角度合理分析均可．以下提供2種解答方法：

第(3)小題記“甲同學在一次數(shù)學競賽中成績高于80分”為事件A，則

因此隨機變量ζ的可能取值為0,1,2,3，且

于是變量ζ的分布列如表2所示.

表2 變量ζ的分布列

利用莖葉圖表示題中給出的數(shù)據(jù)，并提取有價值的信息，依據(jù)統(tǒng)計學中的方法對數(shù)據(jù)進行分析，作出合理的決策，考查了數(shù)據(jù)處理的能力．設(shè)問的開放性、答題的多樣性以及根據(jù)統(tǒng)計量的意義作決策是本題的亮點，體現(xiàn)了新課程理念．

5 關(guān)注決策原理運用

統(tǒng)計推斷的依據(jù)是一些統(tǒng)計原理．例如，統(tǒng)計估計時依據(jù)極大似然原理、假設(shè)檢驗時依據(jù)小概率原理、回歸分析依據(jù)最小二乘法原理等．它們都是人們在長期的社會實踐中歸納出來的一般原理．

例5某柑桔基地因冰雪災害，使得果林嚴重受損，為此有關(guān)專家提出2種拯救果林的方案，每種方案都需分2年實施.若實施方案1，預計當年可以使柑桔產(chǎn)量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3,0.3,0.4；第2年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5,0.5．若實施方案2，預計當年可以使柑桔產(chǎn)量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2,0.3,0.5；第2年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4,0.6．實施每種方案，第2年與第1年相互獨立．令ζi(i=1,2)表示方案i實施2年后柑桔產(chǎn)量達到災前產(chǎn)量的倍數(shù)．

(1)寫出ζ1,ζ2的分布列.

(2)問實施哪種方案，2年后柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量的概率更大？

(3)不管哪種方案，如果實施2年后柑桔產(chǎn)量達不到災前產(chǎn)量，預計可帶來效益10萬元；2年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災前產(chǎn)量，預計可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量，預計可帶來效益20萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？

(2008年江西省數(shù)學高考試題)

分析(1)ζ1的所有取值為0.8,0.9,1.0,1.125,1.25，ζ2的所有取值為0.8,0.96,1.0,1.2,1.44.于是ζ1,ζ2的分布列如表3,表4所示.

表3 變量ζ1的分布列

表4 變量ζ2的分布列

(2)令A,B分別表示方案1、方案2在2年后柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量這一事件，則

P(A)=0.15+0.15=0.3,

P(B)=0.24+0.08=0.32.

可見，方案2在2年后柑桔產(chǎn)量超過災前產(chǎn)量的概率更大．

(3)令ηi表示方案i所帶來的效益，則η1,η2的分布列如表5,表6所示.

表5 變量η1的分布列

表6 變量η2的分布列

因此

Eη1=14.75,Eη2=14.1.

可見，方案1所帶來的平均效益更大．

“決策”與人們的生活休戚相關(guān)．隨著社會的不斷進步，人們對許多實際問題會有多種解決方案，但哪種方案最有利于解決問題，需要進行科學決策．而通過概率的計算并進行大小比較，就是其中的一種科學決策的手段．因此從這個意義上說，這道題不但考查了概率分布列，而且潛移默化地教給了考生一種決策的方法，值得稱道．這也充分反映了考試大綱中“精心設(shè)計考查數(shù)學主體的內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學素質(zhì)的試題”的要求，凸現(xiàn)出數(shù)學學科的育人功能，真可謂是平淡之中見神奇．

6 關(guān)注統(tǒng)計與案例的考查

在統(tǒng)計案例的教學中，讓學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對數(shù)據(jù)的直觀感覺，認識統(tǒng)計方法的特點(如統(tǒng)計推斷可能犯錯誤，估計結(jié)果的隨機性)，體會統(tǒng)計方法應用的廣泛性.因此統(tǒng)計與案例的考查將是高考試題的一個生長點．

例6為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表7所示.

表7 是否需要志愿者提供幫助人數(shù)

(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？

(3)根據(jù)第(2)小題的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人中需要志愿者幫助的老年人的比例？說明理由.

(2010年海南、寧夏數(shù)學高考試題)

附表8:

P(K2≥k)0．0500．0100．001k3．8416．63510．828

9.967.

因為9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)．

(3)由第(2)小題的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異.因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好．

試題以圖表為背景，通過讀表，提取相關(guān)的信息，突出考查數(shù)據(jù)處理能力與應用意識．本題的實際背景也是學生非常熟悉的老人是否需要幫助問題，對學生來說非常親切．因此學生只要多關(guān)心身邊的問題，善于用數(shù)學的眼光看待生活，培養(yǎng)應用意識，就能輕松解決問題．