棉紗線中纖維頭端的等效分布研究

嚴(yán)廣松，蘇玉恒

(1.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191；2.河南工程學(xué)院 紡織工程系，河南 鄭州 450007)

紗線的條干不勻是指紗線沿著紗線長度方向上的線密度不勻，它是紗線質(zhì)量的重要指標(biāo).很多年來，從事紡織基礎(chǔ)研究的學(xué)者對紗線條干不勻進(jìn)行了大量的研究，這些研究主要集中在3個方面：一是紗線的極限不勻理論，主要研究纖維的隨機(jī)排列不勻以及短纖紗所能達(dá)到的紗線條干不勻的理論下界問題；二是紗線的長片段不勻，主要研究由紡紗機(jī)械造成的附加不勻及其度量問題；三是生產(chǎn)過程中的工藝技術(shù)問題，主要研究各個工藝過程技術(shù)參數(shù)的優(yōu)化，以生產(chǎn)出均勻的紗線.

紗線不勻的基礎(chǔ)理論起源于Martindale[1]，他在1943年給出了紗線極限不勻的理論下界，被后人廣泛應(yīng)用并稱為Martindale公式.但是，由于Martindale公式?jīng)]有包含纖維長度分布對紗線不勻的影響，后來的許多學(xué)者都試圖改進(jìn)，以期得到更加客觀的紗線極限不勻表達(dá)式[2-4].

近年來，由于紡紗技術(shù)的發(fā)展，紗線的均勻度得到了較大改善.從1997年開始，因?yàn)楦咧Ъ喚€的部分不勻率已經(jīng)超過了紗線均勻度的理論下界，反映世界范圍紗線質(zhì)量指標(biāo)的USTER公報不再使用由Martindale所定義的不勻率指數(shù)[5]，這說明Martindale所給出的紗線極限不勻公式在一定程度上存在著問題.對于紗線理論不勻問題，歷史上不少學(xué)者都進(jìn)行了細(xì)致的探討，謀求問題的最終解決.Brown(1985)利用纖維頭端在紗線中的分布給出了短纖紗線密度的連續(xù)表達(dá)[6]，Zeidman等(1998)把紗線均勻度分解為3個部分[7]，Yan(2010)提出了一種纖維在通道中隨機(jī)排列的模型，得到了紗線截面纖維根數(shù)近似服從正態(tài)分布的結(jié)論[8]，這些研究都為本研究奠定了基礎(chǔ).

按照Martindale所給出的紗線極限不勻公式，紗線的截面面積不勻主要來自于紗線截面纖維根數(shù)和纖維細(xì)度的變異.而對于棉紗線來講，紗線截面纖維根數(shù)不勻是影響紗線不勻的重要因素.要研究紗線截面纖維根數(shù)的變化，一項(xiàng)基礎(chǔ)的工作是要研究纖維在紗線中的隨機(jī)排列.如何使用數(shù)學(xué)方法來細(xì)致地描述這種排列規(guī)律是隨機(jī)排列研究的關(guān)鍵.纖維隨機(jī)排列的特征可以使用纖維頭端在紗線長度方向上的分布來表示.但是，纖維頭端在紗線中的位置極難觀測到，使用試驗(yàn)的方法得到纖維頭端的分布是不現(xiàn)實(shí)的.于是，可以假設(shè)纖維的頭端具有某種分布，而這種分布又取決于一兩個分布參數(shù).然后，變動這個分布參數(shù)，從而使模擬生成的紗線具有與檢測值相等的CV值，稱這種與實(shí)際分布等效的分布為纖維頭端在紗線中的等效分布.這個等效分布顯然區(qū)分了不同紗線中纖維隨機(jī)排列的規(guī)律，可以用來研究紗線的若干性質(zhì).雖然這個分布不是纖維頭端的真實(shí)分布，但它與真實(shí)分布有著同樣的效果.

本研究首先定義并討論了一種滿足上述要求的概率分布，稱為廣義均勻分布.這種廣義均勻分布具有一個分布參數(shù)，在這個參數(shù)等于零時,該分布變成通常的均勻分布.根據(jù)一個紗線隨機(jī)生成的模型，在紗線中纖維長度分布已知且給定紗線的檢測不勻條件下，通過變化廣義均勻分布參數(shù)，模擬出與給定紗線不勻率相等的紗線.這樣，所得到的廣義分布參數(shù)就是紗線中纖維頭端的等效分布.

纖維頭端等效分布的給出，為定量研究紗線中纖維的隨機(jī)排列奠定了基礎(chǔ).

1 廣義均勻分布

圖1 在長度為T的區(qū)間上纖維頭端分布示意Fig.1 Distribution of fiber ends within [0, T]

假如能夠在紗線的一個區(qū)段上觀測到纖維在紗線中頭端的分布，則一定是一個不規(guī)則的點(diǎn)的集合，這個點(diǎn)的集合一般不滿足均勻分布特征.但是，這種不規(guī)則的結(jié)構(gòu)也不會出現(xiàn)極為不平緩的現(xiàn)象，而是呈現(xiàn)總體平穩(wěn)、局部上有變化的狀態(tài)，要使用數(shù)學(xué)方法嚴(yán)格地表示這種分布是比較困難的.實(shí)際的纖維頭端在紗線長度方向上的分布應(yīng)該具有圖1的形態(tài).

為了描述上述纖維頭端的分布狀況，定義下列概率密度函數(shù)：

這種分布密度的分布參數(shù)k表示在小區(qū)間上的斜率，當(dāng)k從0增大時，密度函數(shù)的圖像會逐漸波動；當(dāng)k=0時，這個密度函數(shù)就變成了通常定義在[0,T]上的普通的均勻分布，稱這種密度函數(shù)為區(qū)間[0,T]上的具有參數(shù)k的廣義均勻分布.

廣義均勻分布還取決于參數(shù)n.實(shí)際上，廣義均勻分布可以看成是從普通的均勻分布生成的，也就是將普通的均勻分布在其定義區(qū)間上等分為2n部分，然后將區(qū)間上每一等分部分的函數(shù)直線按照統(tǒng)一的斜率k轉(zhuǎn)動一個角度，就生成了廣義均勻分布.通常，n是一個事先確定的數(shù)，而參數(shù)k是一個變數(shù).

廣義均勻分布具有期望和方差.

廣義均勻分布密度函數(shù)的圖像見圖2，分布函數(shù)的圖像見圖3.

圖2 廣義均勻分布密度函數(shù)Fig.2 Density function of generalized uniform distribution

圖3 廣義均勻分布的分布函數(shù)Fig.3 Distribution function of generalized uniform distribution

2 紗線不勻的模擬模型

紗線的均勻度可以通過隨機(jī)模擬的方法得到.需要指出的是，紗線的均勻度在實(shí)際中都是采用檢測的紗線不勻率來表示.按照電容式紗線條干儀的原理，檢測的不勻率是使用8 mm電容板上纖維量的變異來表示的，所以在對紗線不勻率進(jìn)行模擬時，可以采用計(jì)算機(jī)程序來計(jì)算8 mm上纖維量的變異.

圖4 紗線模擬方法Fig.4 Simulation of the yarn

在區(qū)間[0,a]中按照廣義均勻分布持續(xù)生成纖維的左頭端點(diǎn)及其纖維長度，就可以通過程序來計(jì)算平面C-C′和平面D-D′之間的纖維量，而這個纖維量就是紗線條干儀在8 mm上檢測的模擬值.反復(fù)進(jìn)行這樣的生成和計(jì)數(shù)，就可以得到8 mm上纖維量的CV值.

對于一個給定的紗線，如果已經(jīng)測出紗線中纖維的長度根數(shù)分布，又測出紗線的不勻率，那么，就可以按照上述的模擬方法，不斷改變廣義均勻分布的分布參數(shù)k，直到平面C-C′和平面D-D′之間的纖維量的CV值與檢測的紗線CV值相當(dāng)，便得到了廣義均勻分布參數(shù)k0.

在實(shí)際模擬過程中，還需要根據(jù)紗線截面的纖維根數(shù)來確定纖維頭端點(diǎn)的生成個數(shù).在給定紗線截面的平均根數(shù)以后，通過對平面C-C′上的觀測程序，可以得到模擬次數(shù)和截面平均纖維根數(shù)的關(guān)系.紗線模擬模型具有一定的隨機(jī)性，符合紗線中纖維排列的一般規(guī)律.

3 纖維頭端等效分布的計(jì)算

按照上述紗線模擬模型及其方法，在給定紗線支數(shù)和纖維長度分布以后，就可以計(jì)算出紗線中纖維頭端的等效分布.選定2種紗線，其組成纖維的長度分布如圖5所示.2種紗線的實(shí)測和模擬值見表1.

圖5 纖維長度分布直方圖Fig.5 Rectangle of fiber length distribution

表1 模擬與實(shí)測不勻表Tab.1 Simulated and tested unevenness

表1的模擬結(jié)果表明，給定的紗線具有不同的CV值，而通過反演得到的廣義均勻分布參數(shù)極小，分別是1/1 680和1/3 030，纖維頭端的分布接近普通的均勻分布.而且，k值越小，相應(yīng)模擬得到的紗線CV值也越小，這說明普通的均勻分布是紗線達(dá)到最小CV值時的纖維頭端分布.在紡紗時，無論纖維長度的分布如何，都應(yīng)該使纖維頭端在紗線長度方向上呈均勻分布，才能使紗線的均勻度提高.

圖6 2種纖維長度分布斷面纖維平均根數(shù)與總根數(shù)關(guān)系Fig.6 Average simulated number of fibers and the number of fibers in yarn cross section for two length distributions

圖7 紗線支數(shù)與模擬的CV值Fig.7 Simulated yarn CV versus yarn counts

圖6是在2種不同的纖維長度分布下，80 mm紗條片段內(nèi)纖維斷面平均根數(shù)與總根數(shù)關(guān)系的模擬結(jié)果及其最小二乘線性擬合直線.模擬表明，在一定的紗條片段長度上，紗條有效截面(即不包括紗條尾部無纖維右頭端延伸部分)內(nèi)平均纖維根數(shù)與片段內(nèi)纖維的總根數(shù)為明顯線性關(guān)系，纖維長度不同時，其斜率不同，這說明了不同的纖維長度分布對生成紗線均勻度的影響.

圖7是在纖維頭端為廣義均勻分布下對紗線不勻率的模擬，纖維的有效長度選擇為30.25 mm.模擬表明，隨著紗線英制支數(shù)的增大，也就是紗線變細(xì)時，紗線的不勻率會隨之上升.這顯然是符合實(shí)測結(jié)論的，也從另一個側(cè)面說明了廣義均勻分布具有較好的擬合纖維頭端實(shí)際分布的特性.

4 結(jié)論

根據(jù)纖維頭端分布的特征，對于紗線中纖維頭端分布的不可觀測性，定義了一種新的、可變動的廣義均勻分布.按照紗線隨機(jī)生成的原理，使用反演的方法，在已知紗線中纖維長度分布和紗線不勻率的條件下，得到了纖維頭端的廣義均勻分布參數(shù)估計(jì).模擬表明，當(dāng)纖維頭端分布接近普通均勻分布時，紗線的均勻度提高；反之，紗線的均勻度下降.結(jié)果還表明，使用廣義均勻分布作為纖維頭端分布還可以模擬生成一定范圍均勻度的紗線，對于研究紗線不勻的原因和結(jié)構(gòu)具有一定意義.

但是，纖維頭端在紗線中的分布具有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜性和隨機(jī)性，對于紗線檢測中的粗節(jié)和細(xì)節(jié)等問題，如何使用上述方法進(jìn)行分析，尚需要進(jìn)一步的研究.

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