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    關(guān)于Φ-壓縮條件下六個(gè)映象的公共不動點(diǎn)定理

    2011-11-23 00:45:58
    關(guān)鍵詞:不動點(diǎn)師范大學(xué)度量

    陸 競

    (杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

    關(guān)于Φ-壓縮條件下六個(gè)映象的公共不動點(diǎn)定理

    陸 競

    (杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

    利用度量空間中自映象對相容和次相容的條件,討論了完備度量空間中一類Φ-壓縮映象的公共不動點(diǎn)的存在性與唯一性,得到了幾個(gè)新的公共不動點(diǎn)定理.

    相容映象對;次相容映象對;Φ-壓縮映象;公共不動點(diǎn)

    1 引言和預(yù)備知識

    眾所周知,不動點(diǎn)理論在數(shù)學(xué)和工程數(shù)學(xué)中有著極其廣泛的應(yīng)用.關(guān)于公共不動點(diǎn)方面,張石生[1]和谷峰[2]在度量空間中利用映象對可交換和相容的條件,分別研究了兩類映象的公共不動點(diǎn)定理問題.此后,很多公共不動點(diǎn)方面的理論成果不斷涌現(xiàn),參見文獻(xiàn)[3-8].該文利用映象對相容[9]和次相容[10]的條件,討論了完備度量空間中6個(gè)映象的一類新的Φ-壓縮映象的公共不動點(diǎn)問題,獲得了一個(gè)新的公共不動點(diǎn)定理.

    定義1 集合X上的自映象對(f,g)稱為是可交換的,如果?x∈X,有fgx=gfx.

    定義2[9]度量空間(X,d)上的自映象對(f,g)稱為相容的,如果?{xn}?X,當(dāng)fxn→x,gxn→x,x∈X時(shí),有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

    定義3[10]集合X上的自映象對(f,g)稱為是次相容的,如果{t∈X:f(t)=g(t)}?{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

    注1 由定義易知,可交換映象對必是相容映象對,而相容映象對也必是次相容映象對, 但反之不真.

    定義4 稱函數(shù)Φ滿足條件(Φ),如果函數(shù)Φ滿足條件(Φ):Φ:[0,∞)→[0,∞)是對t不減的和右連續(xù)的,且Φ(t)0.

    引理1[1]設(shè)函數(shù)Φ滿足條件(Φ),則有

    (i) 對任一實(shí)數(shù)t∈[0,∞),如果t≤Φ(t),則t=0;

    (i)mi>ni+1,ni→∞(i→∞);

    (ii)d(ymi,yni)≥ε0;d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,….

    2 主要結(jié)果

    定理1 設(shè)S,T,A,B,U和V是完備度量空間X上的6個(gè)自映象,且滿足以下條件:

    (i)S(X)?BV(X),T(X)?AU(X);

    (ii)AU=UA,SU=US,BV=VB,TV=VT;

    (iii) ?x,y∈X,

    其中Φ滿足條件(Φ).如果以下條件之一被滿足,則S,T,A,B,U和V有唯一的公共不動點(diǎn):

    1)S,AU之一連續(xù),且(S,AU)相容,(T,BV)次相容;

    2)T,BV之一連續(xù),且(S,AU)次相容,(T,BV)相容;

    3)AU,BV之一為滿射,且(S,AU)和(T,BV)都次相容.

    證明任取x0∈X,因S(X)?BV(X),T(X)?AU(X),故存在X中的序列{xn},{yn},使得

    y2n=Sx2n=BVx2n+1,y2n+1=Tx2n+1=AUx2n+2,n=0,1,2,3,….

    令dn=d(yn,yn+1),下證

    (1)

    事實(shí)上,由條件(iii)可知

    d(y2n-1,y2n)=d(Tx2n-1,Sx2n)=d(Sx2n,Tx2n-1)≤

    (2)

    若d(y2n-1,y2n-2)

    下面證明{yn}是X中的Cauchy列.若不然,由引理2知,必存在某一ε0>0和正整數(shù)列{mi},{ni},使得

    (a)mi>ni+1,ni→∞(i→∞);

    (b)d(ymi,yni)≥ε0;d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,….

    令ei=d(ymi,yni),則有

    ε0≤ei≤d(ymi,ymi-1)+d(ymi-1,yni)<ε0+d(ymi-1,ymi).

    注意到式(1),于上式兩端讓i→∞得

    (3)

    另一方面,因?yàn)?/p>

    ei=d(ymi,yni)≤d(ymi,ymi+1)+d(ymi+1,yni+1)+d(yni+1,yni),

    (4)

    對式(4)右端第2項(xiàng)分4種情形進(jìn)行討論.

    10當(dāng)mi為偶,ni為奇的情形.此時(shí)由條件(iii)有

    d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Sxni+1)=d(Sxni+1,Txmi+1)≤

    (5)

    應(yīng)用式(1)和式(3),并注意到Φ(t)的右連續(xù)性假設(shè),于式(5)中讓i→∞取極限得

    (6)

    利用式(1)和式(6),在式(4)中讓i→∞取極限得ε0≤ei≤0+Φ(ε0)+0=Φ(ε0),從而ε0≤Φ(ε0)<ε0,此為矛盾.

    20當(dāng)mi為偶,ni為偶的情形.此時(shí)由條件(iii)有

    d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Txni+1)≤d(Sxni,Txmi+1)+d(Sxni,Txni+1),

    (7)

    d(Sxni,Txmi+1)≤

    (8)

    應(yīng)用式(1)和(3),并注意到Φ(t)的右連續(xù)性假設(shè),于式(8)中讓i→∞取極限得

    (9)

    另由式(1)可得

    (10)

    利用式(9)和(10),于式(7)中讓i→∞取極限得

    (11)

    應(yīng)用式(1)和(11),于式(4)中讓i→∞取極限得ε0≤ei≤0+Φ(ε0)+0=Φ(ε0),從而ε0≤Φ(ε0)<ε0,這就得出矛盾.

    同理可證mi,ni同為奇;mi為奇,ni為偶的情形也產(chǎn)生同樣的矛盾.這些矛盾說明{yn}是X中的Cauchy列.因X完備,設(shè)yn→y*∈X,則{y2n-1}和{y2n}也都收斂于y*,即

    AUx2n=y2n-1→y*,Sx2n=y2n→y*(n→∞).

    (12)

    1)設(shè)S,AU之一連續(xù)且(S,AU)相容,(T,BV)次相容.

    如果AU連續(xù),則{(AU)2x2n}和{(AU)Sx2n}都收斂于AUy*,又由式(12)以及(S,AU)相容得d(S(AU)x2n,(AU)Sx2n)→0(n→∞),從而S(AU)x2n=AUy*(n→∞).由條件(iii)有

    d(S(AU)x2n,Tx2n+1)≤

    令n→∞得

    d(AUy*,y*)≤

    Φ(d(AUy*,y*)).

    由此及引理1(i)可知d(AUy*,y*)=0,進(jìn)而有AUy*=y*.

    再由條件(ii)得

    d(Sy*,Tx2n+1)≤

    令n→∞,并注意到AUy*=y*可得

    Φ(0)≤Φ(d(Sy*,y*))(因?yàn)棣?t)對t不減).

    由此及引理1(i)可知d(Sy*,y*)=0,進(jìn)而可得Sy*=y*.

    由Sy*=y*及S(X)?BV(X)知,?u∈X,使y*=AUy*=Sy*=BVu.利用條件(iii)得

    d(BVu,Tu)=d(Sy*,Tu)≤

    Φ(0)≤Φ(d(BVu,Tu))(因?yàn)棣?t)對t不減).

    由此及引理1(i)可知d(BVu,Tu)=0,進(jìn)而可得BVu=Tu.因(T,BV)次相容,故Ty*=T(BV)u=(BV)Tu=BVy*.

    下證Ty*=y*.事實(shí)上,由條件(iii)可得

    d(y*,Ty*)=d(Sy*,Ty*)≤

    Φ(d(y*,Ty*)).

    從而由引理1(i)可知d(y*,Ty*)=0,即Ty*=y*.于是y*=BVy*=Ty*=Sy*=AUy*,即y*是S,T,AU,BV的公共不動點(diǎn).

    如果S連續(xù),則{S2x2n}和{S(AU)x2n}都收斂于Sy*,由式(12)以及(S,AU)的相容性得d(S(AU)x2n,(AU)Sx2n)→0(n→∞),從而 (AU)Sx2n→Sy*(n→∞).由條件(iii)有

    d(S2x2n,Tx2n+1)≤

    令n→∞得

    由此及引理1(i)可知,有d(Sy*,y*)=0,進(jìn)而可得Sy*=y*.由于y*=Sy*∈S(X)?BV(X),故?v∈X,使y*=Sy*=BVv.再由條件(iii)可得

    d(S2x2n,Tv)≤

    令n→∞,并注意到Sy*=BVv得

    d(Sy*,Tv)≤

    Φ(0)≤Φ(d(Sy*,Tv)).

    由此及引理1(i)可知,有d(Sy*,Tv)=0,進(jìn)而可得Sy*=Tv,于是y*=Sy*=BVv=Tv.考慮到(T,BV)的次相容性,有Ty*=T(BV)v=(BV)Tv=BVy*.再次利用條件(iii),有

    d(Sx2n,Ty*)≤

    令n→∞,并注意到BVy*=Ty*得

    d(y*,Ty*)≤

    Φ(d(y*,Ty*)).

    由此及引理1(i)可知d(y*,Ty*)=0,進(jìn)而可得y*=Ty*.由于y*=Ty*∈T(X)?AU(X),故?w∈X,使y*=Ty*=AUw.利用條件(iii),并注意到BVy*=Ty*=AUw可得

    d(Sw,y*)=d(Sw,Ty*)≤

    Φ(0)≤Φ(d(Sw,y*)),

    由此及引理1(i)可知d(Sw,y*)=0,進(jìn)而可得y*=Sw,于是y*=AUw=Sw.又由(S,AU)的相容性易得Sy*=S(AU)w=(AU)Sw=AUy*,因此就有y*=Sy*=AUy*=Ty*=BVy*.

    下面證明Uy*=y*,Ay*=y*.事實(shí)上,利用條件(iii)得

    d(SUy*,Tx2n+1)≤

    因?yàn)閁S=SU,AU=UA,所以USy*=SUy*=Uy*,(AU)Uy*=U(AU)y*=Uy*.于上式中令n→∞,并注意到AUy*=y*可得

    d(Uy*,y*)≤

    Φ(d(Uy*,y*)).

    從而由引理1(i)可知,d(Uy*,y*)=0,即Uy*=y*.進(jìn)而由AUy*=y*可得Ay*=y*.

    下面證明Vy*=y*,By*=y*.事實(shí)上,利用條件(iii)得

    d(Sx2n,TVy*)≤

    因?yàn)锽V=VB,TV=VT,BVy*=y*,所以TVy*=VTy*=Vy*,(BV)Vy*=V(BV)y*=Vy*.于上式中令n→∞,并注意到Ty*=y*,BVy*=Ty*以及Φ(t)的不減性可得

    d(y*,Vy*)≤

    Φ(d(y*,Vy*)).

    從而由引理1(i)可知,d(y*,Vy*)=0,即Vy*=y*.進(jìn)而由BVy*=y*可得By*=y*.

    綜上,有y*=Sy*=Ty*=Ay*=By*=Uy*=Vy*,即y*是S,T,A,B,U和V的公共不動點(diǎn).

    下證公共不動點(diǎn)的唯一性.設(shè)z也是S,T,A,B,U和V的一個(gè)公共不動點(diǎn),則由條件(iii)有

    d(y*,z)=d(Sy*,Tz)≤

    Φ(d(y*,z)).

    由此及引理1(i)可知d(y*,z)=0,即y*=z,因此y*是S,T,A,B,U和V的唯一公共不動點(diǎn).

    2) 當(dāng)T,BV之一連續(xù),且(S,AU)次相容,(T,BV) 相容時(shí),類似1)可證.

    3) 設(shè)AU,BV之一為滿射,且(S,AU)和(T,BV)都次相容.

    如果AU是滿射,則對y*∈X,?u∈X,使AUu=y*.由條件(iii)得

    d(Su,Tx2n+1)≤

    (13)

    令n→∞得d2(Su,y*)≤Φ(0)≤Φ(d(Su,y*)),由此及引理1(i)可知,d(Su,y*)=0,即Su=y*,因而Su=AUu=y*.又(S,AU)是次相容的,故有AUy*=(AU)Su=S(AU)u=Sy*.以y*代替式(13)中的u可得Sy*=y*,于是AUy*=Sy*=y*.類似1)可證y*是S,T,A,B,U和V的唯一公共不動點(diǎn).

    當(dāng)B是滿射時(shí)同理可證y*是S,T,A,B,U和V的唯一公共不動點(diǎn).至此定理1獲證.

    注2 即使在定理1中分別取①S=T;②A=B;③U=V;④S=T,A=B且U=V;⑤S=T且A=B=I(I表恒等映象);⑥S=T,A=B且U=V=I這幾種特殊情況,所對應(yīng)的結(jié)果也是全新的.

    推論1 設(shè)(X,d)是完備度量空間,{Ti}i∈I(I是指標(biāo)集,I的勢不小于2)是X上的自映象族,A,B,U,V是X上的自映象,若{Ti}i∈I,A,B,U,V滿足以下條件:

    (i)Ti(X)?BV(X),Ti(X)?AU(X)(?i∈I);

    (ii)TiV=VTi,AU=UA,BV=VB;

    (iii) ?x,y∈X,i,j∈I(i≠j) ,有

    其中函數(shù)Φ滿足條件(Φ).如果以下條件之一被滿足,則A,B,{Ti}i∈I在X中有唯一的公共不動點(diǎn):

    1)Ti(?i∈I),A之一連續(xù)且(Ti,AU)相容,(Ti,BV)次相容;

    2)Ti(?i∈I),B之一連續(xù)且(Ti,AU)次相容,(Ti,BV)相容;

    3)A,B之一為滿射且(Ti,AU)和(Ti,BV)(?i∈I)都次相容.

    證明對任意的i,j,m∈I,i≠j,i≠m,由定理1知A,B,U,V,Ti,Tj存在唯一的公共不動點(diǎn)xij,A,B,U,V,Ti,Tm存在唯一的公共不動點(diǎn)xim,但由條件(iii)可得

    d(xij,xim)=d(Tixij,Tmxim)≤

    Φ(d(xij,xim)),

    因此由引理1(i)可知d(xij,xim)=0,進(jìn)而xij=xim.由i,j,m的任意性即得A,B,U,V,{Ti}i∈I在X中存在唯一的公共不動點(diǎn).

    定理2 設(shè)(X,d)是完備度量空間,A,B,U,V,{Ti}i∈I(I是指標(biāo)集,勢不小于2)分別是X上的自映象和自映象族,且滿足?i∈I,有Ti(X)?BV(X),Ti(X)?AU(X),(Ti,AU)和(Ti,BV)均是可交換映象.若存在正整數(shù)n,使得A,B,U,V,{Ti}i∈I滿足以下條件:

    (i)A,B,U,V,{Ti}i∈I之一連續(xù);

    (ii) ?x,y∈X,i,j∈I,i≠j,有

    其中函數(shù)Φ滿足條件(Φ),則A,B,U,V,{Ti}i∈I在X中存在唯一的公共不動點(diǎn).

    Φ(d(Tiz,z)).

    由引理1(i)可知d(Tiz,z)=0,進(jìn)而Tiz=z.故z是A,B,U,V,{Ti}i∈I的公共不動點(diǎn),其唯一性由條件(iii)易證.證畢.

    注3 本文結(jié)果也是文獻(xiàn)[11-12]中相應(yīng)結(jié)果的進(jìn)一步改進(jìn)和發(fā)展.

    [1] 張石生.不動點(diǎn)理論及其應(yīng)用[M].重慶:重慶出版社,1984.

    [2] 谷峰.關(guān)于Φ擴(kuò)張相容映象的公共不動點(diǎn)定理[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,21(3):176-179.

    [3] Li Yaqiong, Gu Feng.Common fixed point theorem of Altman integral type mappings[J].J Nonlinear Sci Appl,2009,2(4):214-218.

    [4] 李付成,谷峰.對稱空間中的重合點(diǎn)和公共不動點(diǎn)定理[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,9(2):102-106.

    [5] 張軍賀,陸競,谷峰.涉及到四個(gè)映象的一個(gè)新的公共不動點(diǎn)定理[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,9(6):413-417.

    [6] 李亞瓊,谷峰.關(guān)于(Ag)型φ-弱交換映象的公共不動點(diǎn)[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,31(8):138-140.

    [7] 李亞瓊,谷峰.兩對相容映象的一個(gè)新的公共不動點(diǎn)定理[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,8(4):257-260.

    [8] 陳軍民,谷峰.滿足積分型壓縮條件的一個(gè)公共不動點(diǎn)定理[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,7(5):338-344.

    [9] Jungck G.Compatible mappings and common fixed points[J].Internat J Math﹠Math Sci,1986,9(4):771-779.

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    [11] 李鳳友,劉斌.關(guān)于幾類壓縮映象的不動點(diǎn)定理[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1996,16(1):1-7.

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    TheCommonFixedPointTheoremsofSixMappingswithΦ-ContractionConditions

    LU Jing

    (College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

    Using the compatible and subcompatible conditions of self-mapping pair in metric spaces, the paper discussed the existence and uniqueness of common fixed point for a class ofΦ-contractive mappings in complete metric spaces, and obtained some new common fixed theorem.

    compatible mapping pair; subcompatible mapping pair;Φ-contractive type mapping; common fixed point

    2011-01-11

    陸 競(1958—),男,浙江杭州人,副教授,主要從事函數(shù)理論研究.E-mail: wllujing@sina.com

    10.3969/j.issn.1674-232X.2011.04.002

    O177MSC2010: 47H10;54H25;58C30

    A

    1674-232X(2011)04-0298-07

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