奇異兩點邊值問題的四次樣條解

尹麗蓉，余愛暉

（1.杭州師范大學(xué)錢江學(xué)院，浙江 杭州310012；2.浙江省淳安中學(xué)，浙江 淳安 311700）

奇異兩點邊值問題的四次樣條解

尹麗蓉1，余愛暉2

（1.杭州師范大學(xué)錢江學(xué)院，浙江 杭州310012；2.浙江省淳安中學(xué)，浙江 淳安 311700）

用四次樣條方法獲得一類奇異兩點邊值問題的數(shù)值解.證明這種方法是一階收斂的.最后用數(shù)值例子證明這種方法.

四次樣條方法；函數(shù)；奇異兩點邊值問題；收斂階；導(dǎo)數(shù)

1 介 紹

考慮如下一類奇異兩點邊值問題：

這樣的問題產(chǎn)生于物理中的一些軸對稱問題，文[1-3]用有限差分方法獲得了奇異兩點邊值問題（1）的離散數(shù)值解.有限差分方法的精確度到目前為止最多只有二階.Manoj Kumar[4]用二階樣條差分方法解決了問題（1）.A.S.V.Ravi Kanth等[5]用三次樣條方法獲得了奇異兩點邊值問題（1）的近似數(shù)值解.J.Rashidinia等[6]用帶參數(shù)的三次樣條方法獲得了奇異兩點邊值問題（1）的近似數(shù)值解.

受文獻[6]的啟發(fā)，用四次樣條方法獲得的奇異兩點邊值問題（1）的近似數(shù)值解具有較好的精確度.最后用數(shù)值例子證明了這種方法的優(yōu)越性.

2 四次樣條方法

設(shè)S（x）是u（x）的四次樣條近似解，把區(qū)間[a，b]用等區(qū)間結(jié)點

離散化，其中N 是正整數(shù)，函數(shù)S（x）∈C3[a，b]，四次樣條函數(shù)S（x）在區(qū)間[xi，xi＋1]上通過滿足如下形

式的Qi（x）表示出來：

首先用ui，ui＋1，mi，Mi，Mi＋1來描述上式中的5個系數(shù).通過以下假設(shè)表示出來：

由此可以得到

在區(qū)間[xi－1，xi]上，四次樣條函數(shù)~Qi（x）的形式如下：

3 收斂性分析

上述方法可以寫成如下矩陣形式：

4 數(shù)值例子

表1 例1的數(shù)值結(jié)果

表2 例2的數(shù)值結(jié)果

數(shù)值結(jié)果證明這種方法是穩(wěn)健的且樣條在區(qū)間點具有好的近似.

[1]Chawla M M，Katti C P.Finite difference methods and their convergence for a class of singular two-point boundary value problems[J].Numer Math，1982，39：341-350.

[2]Chawla M M，Katti C P.A uniform mesh finite difference methods for a class of singular two-point boundary value problems[J].SIAM J Numer Anal，1985，22：561-565.

[3]Chawla M M，ShivKumar P N.An efficient finite difference method for two-point boundary value problems[J].Neural Parallel Sci Comp，1996，4（3）：387-395.

[4]Manoj Kumar.A second order spline finite difference method for singular two-point boundary value problems[J].J Comput Appl Math，2003，142：283-290.

[5]Ravi Kanth A S V，Reddy Y N.Cubic spline for a class of singular two-point boundary value problems[J].J Comput Appl Math，2005，170：733-740.

[6]Rashidinia J，Mahmoodi Z，Ghasemi M.Parametric spline method for a class of singular two-point boundary value problems[J].Applied Mathematics and Computation，2007，188（1）：58-63.

Quartic Splines Solutions for a System of Singular Two-Point Boundary Value Problems

YIN Li-rong1，YU Ai-hui2
（1.Qianjiang College，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310012，China；2.Chun'an High School Zhenjiang Province，Chun'an 311700，China）

This paper obtained the numerical solution for a system of two-point boundary value problems by quartic splines method，proved the present method is a fifth order convergent method，and demonstrated the method with some numerical evidence.

quartic splines method；function；singular two-point boundary value problems；the convergent order；derivable

O241.1 MSC2010：34B16；33F05

A

1674-232X（2011）04-0325-04

2011-01-11

尹麗蓉（1982—），山西忻州人，講師，碩士，主要從事數(shù)論及其應(yīng)用研究.E-mail：ylr2005＠163.com

10.3969／j.issn.1674-232X.2011.04.008