柱面的由一些重要曲線刻畫的特征

汪志賓, 張 量

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖 241003)

柱面的由一些重要曲線刻畫的特征

汪志賓, 張 量

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖 241003)

通過對(duì)曲線副法線曲面的研究,得到了柱面的由一些重要曲線刻畫的特征.

柱面;副法線曲面;測(cè)地線;曲率線

1 引 言

測(cè)地線在微分幾何的研究中占有重要地位.根據(jù)測(cè)地線的定義,容易知道正則曲線α必是其副法線面Σ上的一條測(cè)地線.注意到α是直母線的一條正交軌線,自然要問:如果除α外還存在直母線的另一條正交軌線也是Σ的測(cè)地線,此時(shí)Σ有何性質(zhì).我們將證明此時(shí)Σ必為柱面.事實(shí)上,我們得到了更一般的結(jié)果.

定理1 設(shè)Σ為α的副法線面.若存在一條非直母線的測(cè)地線(C),且其上每點(diǎn)均沿α上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的副法向量方向平移常數(shù)c個(gè)單位,得到的另一曲線(C＊)也為測(cè)地線,則Σ為柱面.

由定理1可直接得到如下推論.

推論設(shè)Σ為α的副法線面.若除α外還存在直母線的一條正交軌線為測(cè)地線,則Σ為柱面.

受上述結(jié)果的啟發(fā),我們考慮對(duì)于曲率線和漸近線是否也有類似的結(jié)論.對(duì)此我們證明了下面的兩個(gè)定理.

定理2 設(shè)Σ為α的副法線面,若存在直母線的一條正交軌線為Σ的曲率線,則Σ為柱面.

定理3 設(shè)α(u)為一般螺線,即α(u)的撓率和曲率之比=c(常數(shù)),又設(shè)Σ:r(u,v)=α(u)+vB(u)為α的副法線面.若存在直母線的一條正交軌線v=b為Σ的漸近線,則或者Σ為柱面,或者α(u)的參數(shù)方程為(當(dāng)τ取初值τ(0)=1時(shí))

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)α是一條以弧長為參數(shù)的正則曲線,曲率和撓率分別為κ和τ,曲率κ恒不為零.又設(shè)T,N,B分別為α的切向量,主法向量和副法向量.考慮以α為準(zhǔn)線,B為直母線方向向量的直紋面Σ,該直紋面稱為α的副法線曲面.其參數(shù)表示為

根據(jù)曲線的Frenet-Serret公式[1],

3 主要定理的證明

定理1的證明 設(shè)β(s)=r(u(s),v(s))=α(u(s))+v(s)B(u(s))為Σ上的測(cè)地線,則由測(cè)地線的微分方程(引理2),有

又設(shè)Σ上另一條測(cè)地線(C＊)方程為

因?yàn)棣?s)不為直母線,則u不為常數(shù),即u′≠0.由(3.3)的第二個(gè)方程,有τ=0,此時(shí)(3.3)的第一個(gè)方程也成立.所以α為平面曲線,則Σ為柱面.

定理2的證明 設(shè)ā(s)=r(u(s),v(s))=α(u)+v(s)B(u(s))為Σ上的曲率線,由副法線面的基本公式以及引理3得曲率線的方程為

定理3的證明 因?yàn)橹蹦妇€正交軌線β(u)=α(u)+bB(u)為副法線面Σ的漸近線,滿足漸近線方程(2.4),根據(jù)副法線面基本公式,有

[1] Do Carmo M.Differential geometry of curves and surfaces[M].New Jersey：Prentice-Hall,Inc.,1976：15-185.

[2] 彭家貴,陳卿.微分幾何[M].北京：高等教育出版社,2002：78-117.

[3] 梅向明,黃敬之.微分幾何[M].北京：高等教育出版社,1988：98.

[4] 沈純理,黃宣國.微分幾何[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,1997：37-38.

Some Characterizations of Cylinders Described by Some Important Curves

WA N G Zhi-bin
(College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241003,China)

Based on the study of the binormal surface of acurve,this paper obtains some characterizations of cylinders described by some important curves.

cylinder;binormal surface;geodesic;lines of curvature

O186.11

A

1672-1454(2011)03-0153-04

2008-06-23