二維連續(xù)型隨機變量相關(guān)計算的積分限確定問題

呂洪升, 張千祥

(巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽巢湖 238000)

二維連續(xù)型隨機變量相關(guān)計算的積分限確定問題

呂洪升, 張千祥

(巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽巢湖 238000)

對二維連續(xù)型隨機變量的積分定限問題進(jìn)行了簡要的歸納和總結(jié),并給出了幾類常見計算的基本方法和技巧,以期對學(xué)生的積分計算有所幫助.

隨機變量;分布函數(shù);密度函數(shù);聯(lián)合分布;邊緣分布

公共概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)中,在一維隨機變量的基礎(chǔ)上,二維隨機變量的概念順理成章,易于理解和掌握.但二維連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)、邊緣分布密度和隨機變量函數(shù)密度的計算所涉及的積分問題卻令人頭痛,尤其是積分區(qū)間的確定更讓人作難,不僅費時費力,還難以準(zhǔn)確求出.而教材或輔導(dǎo)材料上都是針對具體問題給出計算方法和技巧,很少有較系統(tǒng)、全面的方法歸納和總結(jié),若遇到新的問題還是難以下手.本文根據(jù)自己幾十年的概率教學(xué)經(jīng)驗,對這類計算問題作一簡要歸納,供學(xué)生學(xué)習(xí)時參考.

1 已知隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù),求Z=g(X,Y)的分布密度

這類計算由于函數(shù)Z=g(X,Y)(假設(shè)為連續(xù))的結(jié)構(gòu)不同有各種不同方法,但所有方法都源于分布函數(shù)的定義,即先求出隨機變量Z=g(X,Y)的分布函數(shù)FZ(z),再求導(dǎo)獲得密度函數(shù)fZ(z),問題歸結(jié)為如何求出分布函數(shù)FZ(z),現(xiàn)具體討論如下:

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y),則Z=g(X,Y)的分布函數(shù)為

對于這個公式,抽象分析一下,可分為兩步完成計算:

第一步,先求出α=min{g(x,y)},β=max{g(x,y)},(這里可能有α=-∞,β=+∞).當(dāng)z＜α?xí)r, FZ(z)=0;z＞β時,FZ(z)=1.因此fZ(z)=0.

第二步,再求FZ(z)在區(qū)間[α,β]中的值.這一步是問題關(guān)鍵,不論函數(shù)z=g(X,Y)結(jié)構(gòu)如何,其計算方法都是根據(jù)z在[α,β]中的不同值確定積分區(qū)域D={(x,y)|g(x,y)≤z}與f(x,y)＞0的區(qū)域公共部分,這一點明確了,積分計算是輕而易舉的事.密度函數(shù)fZ(z)也只要對函數(shù)FZ(z)求導(dǎo)就能輕松獲得.

函數(shù)Z=g(X,Y)類型很多,但常見的是和差與積商,下面對和函數(shù)Z=X+Y的密度的求法進(jìn)行討論(Z=g(X,Y)其它形式也大同小異,大家可據(jù)此舉一反三).

根據(jù)分布函數(shù)的定義,Z=X+Y的分布函數(shù)為

以

再由X,Y的對稱性,得到Z=X+Y的密度計算公式[1]:

第一步,由于g(x,y)=x+y,所以α=m in{g(x,y)∈(a,b)×(c,d)}=a+c,β=min{g(x,y)∈(a,b)×(c,d)}=b+d(當(dāng)然對這個具體問題,當(dāng)z-c＜a或z-d＞b時,兩個區(qū)間不相交,由此可更清楚地看到結(jié)論),當(dāng)z＜a+c或z＞b+d時,fZ(z)=0.

第二步是關(guān)鍵,又可分以下三步來完成:

這里是對和函數(shù)的一般討論,顯得較煩瑣,具體問題要方便得多.下面看一個實例.

例1 在一簡單電路中,兩電阻R1和R2串聯(lián)連接,設(shè)R1,R2相互獨立,概率密度都為

求總電阻R=R1+R2的概率密度[1].

分析 由于R1,R2相互獨立,(R1,R2)的聯(lián)合密度容易求出,R=R1+R2的分布密度有多種求法,如果選擇得當(dāng),可以大大減輕計算量.下面以多種方法求之.

方法一[1].用卷積公式直接求R的密度fR(z).

方法二.也用卷積公式,先利用不含參數(shù)z的函數(shù)fR1(x)確定積分限,再根據(jù)參數(shù)z的值討論被積函數(shù)的表達(dá)式.

②α≤z≤β即0≤z≤20時,(X,Y)聯(lián)合密度的正值區(qū)域D與積分區(qū)域M={(x,y)|x+y≤z}的公共部分為G(圖1,圖2中的陰影部分).

當(dāng)0≤z≤10時(圖1),

圖1

圖2

當(dāng)10＜z≤20時,(X,Y)的聯(lián)合密度正值區(qū)域D與積分區(qū)域M={(x,y)|x+y≤z}的公共區(qū)域分為G1和G2兩個部分(圖2),且

綜合即得(1)式.

圖3

2 已知(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y),求兩個邊緣分布密度

其公式是

就前一個公式而言,這類計算是視x為參數(shù),對參數(shù)x不同值,確定正密度區(qū)間再直接積分就能求出,看下面的例子.

例2 設(shè)區(qū)域D由直線y=x+1,x=0,y=0圍成,隨機變量(X,Y)服從D上的均勻分布,求兩個邊緣分布密度fX(x),fY(y).

圖4

圖5

解 (X,Y)服從D上的均勻分布,聯(lián)合密度為

當(dāng)且僅當(dāng)-1＜x＜0時,被積函數(shù)f(x,y)＞0的區(qū)間為(0,x+1)(圖4的黑粗線部分),所以當(dāng)-1＜x＜0時,

3 已知(X,Y)的聯(lián)合密度,求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)

其公式是[2]

從公式我們看到,這類計算只要能夠根據(jù)聯(lián)合密度的正值區(qū)域D與廣義矩形(-∞,x]×(-∞,y]的交集情況確定聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表達(dá)式的區(qū)域劃分,余下的積分計算將是水到渠成的事.盡管如此,上述交集情況復(fù)雜,且沒有通用的區(qū)域劃分方法,只能具體問題具體對待.下面的例子給出了分布函數(shù)F(x,y)的一般求法.

解 根據(jù)聯(lián)合密度的正值區(qū)域特點,(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)可分為三個表達(dá)式,相應(yīng)平面劃分為三個區(qū)域D={(x,y)|0≤y≤x},G1={(x,y)|x＜0或y＜0}和G2={(x,y)|0≤x＜y},其中區(qū)域D為聯(lián)合密度函數(shù)的正值區(qū)域(如圖6).

圖8

圖7

圖6

當(dāng)(x,y)∈G1時,廣義矩形(-∞,x]×(-∞,y]與聯(lián)合密度函數(shù)的正值區(qū)域D不相交(圖6),所以F(x,y)=0.

當(dāng)(x,y)∈G2時,廣義矩形(-∞,x]×(-∞,y]與聯(lián)合密度函數(shù)的正值區(qū)域D交集設(shè)為D1(圖7中的黑粗線內(nèi)區(qū)域),所以

[1] 盛驟,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社,2001.

[2] 魏宗舒,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社,1983.

On Calculating the In tegration Problem for Two Dimensional Continuous Random Variables

LV Hong-sheng, ZHANGQian-xiang
(Department of Mathematics,Chaohu College,Chaohu,Anhui 238000,China)

This paper summarizes the two dimensional definite integration p roblem of random variables,and p rovides several commonly used meethods and technology to solve those p roblems in o rder to help the students in calculation.

random variables;distribution function;density function;marginal distribution;definite

O211.1

C

1672-1454(2011)03-0194-06

2009-08-17;[修改日期]2009-12-28

安徽省教育廳質(zhì)量工程教研項目(20100967)