兩兩獨(dú)立序列加權(quán)和的Lr收斂性

李 煒, 柳向東

(1.仲愷農(nóng)業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣州 510225; 2.暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系,廣州 510630)

兩兩獨(dú)立序列加權(quán)和的Lr收斂性

李 煒1, 柳向東2

(1.仲愷農(nóng)業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣州 510225; 2.暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系,廣州 510630)

討論了兩兩獨(dú)立隨機(jī)變量列加權(quán)和在滿(mǎn)足r(1≤r＜2)階Ces‘a(chǎn)ro一致可積條件下的Lr收斂性,獲得了與獨(dú)立情形一致的結(jié)果.用相似的方法,對(duì)于其它相依或混合序列(如兩兩NQD列,φ-混合序列, ρ-混合序列)也有相同的結(jié)果.

兩兩獨(dú)立;Lr收斂性;Ces‘a(chǎn)ro一致可積

1 引 言

Pyke和Root[1]曾經(jīng)證明,對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列{X,Xn,n≥1},如果0＜r＜2,E|X|r＜∞,則有下面的Lr收斂性結(jié)果

其中如果0＜r＜1,則b=0;如果1≤r＜2,則b=EX.這個(gè)結(jié)果已經(jīng)被推廣到了不同的情形,如當(dāng)1≤r＜2時(shí)推廣到獨(dú)立但不一定同布情形以及鞅差序列情形;當(dāng)0＜r＜1時(shí)推廣到任意隨機(jī)變量序列情形,當(dāng)然其中的條件E|X|r＜∞被換成更廣泛的r階Ces‘a(chǎn)ro一致可積的條件(見(jiàn)文[2],等).無(wú)論是在獨(dú)立情形還是鞅差序列情形下,其證明的關(guān)鍵是用到了下面的Marcinkiwicz-Zygmund不等式

其中{Yn,n≥1}是均值為0的獨(dú)立或鞅差隨機(jī)變量序列,1＜p≤2,常數(shù)Cp＞0只與p有關(guān).

但對(duì)于非獨(dú)立情形的隨機(jī)變量序列,如兩兩獨(dú)立序列,兩兩NQD列,φ-混合序列,ρ-混合序列, (1.2)式對(duì)于1＜p＜2是否成立至今仍然沒(méi)有解決,因此要對(duì)這些序列得到同樣的結(jié)果是不能再用獨(dú)立或鞅差情形時(shí)的方法的,而必須尋找新的方法.本文的目的就是用新的方法不但把(1.1)式完全推廣到了這些序列,而且還在更廣泛的條件下,即不一定同分布但在r階Ces‘a(chǎn)ro一致可積條件下及加權(quán)情形下得到與獨(dú)立情形完全一致結(jié)果,當(dāng)然Pyke和Root[1]的結(jié)果作為其推論了.

先來(lái)介紹一些概念.

設(shè){Yn,n≥1}是隨機(jī)變量序列,p＞0,?n≥1,E|Yn|p＜∞.若

則稱(chēng){Yn,n≥1}是p階一致可積的;若

則稱(chēng){Yn,n≥1}是p階Ces‘a(chǎn)ro一致可積的.很明顯一致可積蘊(yùn)含Ces‘a(chǎn)ro一致可積,但文獻(xiàn)[3]指出Ces‘a(chǎn)ro一致可積嚴(yán)格弱于一致可積.

本文總設(shè)C代表正常數(shù),在不同的地方可以代表不同的值.

2 主要結(jié)論及證明

下面就給出本文的主要結(jié)果及其證明.

由定理2.1立即有下面的推論.

推論2.1 設(shè){X,Xn,n≥1}是同分布的兩兩獨(dú)立隨機(jī)變量序列.設(shè)1≤r＜2.若E|X|r＜∞,則(1.1)成立.

注1 定理的證明本質(zhì)上用到了當(dāng)p=2時(shí)的不等式(1.2).對(duì)于兩兩NQD列,φ-混合序列,ρ-混合序列等在適當(dāng)?shù)臈l件下(1.2)對(duì)p=2也是成立的,因此定理2.1及推論2.1亦成立.

注2 萬(wàn)成高[4]也討論了兩兩NQD列的Lr收斂性,但他的結(jié)果是在2階Ces‘a(chǎn)ro一致可積條件下獲得的,因而他的結(jié)果不能完全推廣Pyke和Root[1]結(jié)果.而本文的定理2.1是在與獨(dú)立情形相同的條件下得同樣的結(jié)果(獨(dú)立情形的結(jié)果可見(jiàn)文[2]),從而可以完全推廣Pyke和Root[1]結(jié)果,即得到本文的推論2.1.

[1] Pyke R,Root D.On convergence inr-mean of normalized partial sums[J].Ann Math Statist,1968,32(9)：379-381.

[2] Chen P Y,Liu J J,Gan S X.Convergence forBvalued random fields and the type of abanach space[J].J Wuhan Univ(Natural Science Edition),1998,44(1)：11-14.

[3] Chandra T K.Uniform integrability in the Ces‘a(chǎn)ro sence and the weak law of large number[J].Sankhya：the Indian J of Statist(Sr A),1989,51(2)：309-317.

[4] Wan C G.Law of large numbers and complete convegence for pairwise NQD random sequeces[J].Acta Math Appl Sinica,2005,28(2)：253-261(in Chinese).

LrConvegence for Pairwise Independent Random Variables

L I Wei1, L IU Xiang-dong2
(1.Department of Computation Science,Zhongkai University of Agriculture and Technology,Guangzhou 510225,China; 2.Department of Statistics,Jinan University,Guangzhou 510630,China)

The author discusses theLrconvergence for the weighted sums of pairwise independent random variables underr-th Ces‘a(chǎn)ro uniform integrability,which is the same as that in the independent case.By the similar argument,the result is also ture for the other dependent random variables(such as pairwise NQD,φ-mixing,ρ-mixing).

pairwise independent;Lrconvergence;Ces‘a(chǎn)ro uniform integrability

O211

A

1672-1454(2011)03-0131-03

2008-06-03