一類高階線性變系數(shù)常微分方程的通解

肖建中， 劉佳音

（南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，南京 210044）

一類高階線性變系數(shù)常微分方程的通解

肖建中， 劉佳音

（南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，南京 210044）

利用升階法研究了一類高階線性變系數(shù)常微分方程，給出了齊次方程的通解公式，并討論了非齊次方程待定的特解.

高階線性變系數(shù)常微分方程；升階法；通解；特解

我們知道，對(duì)于常系數(shù)線性微分方程，即使是高階的，可通過特征方程求齊次方程的通解，可用常數(shù)變易法、待定系數(shù)法、算子解法、拉普拉斯變換法等方法求特解.但是對(duì)于變系數(shù)線性微分方程，尤其是高階的，一般沒有確定的解法，求解的基本原則是降階［1-4］.一般來說，低階方程的求解比高階方程的求解要簡單些，但不盡然，有時(shí)通過對(duì)方程求導(dǎo)使方程的階升高（稱為“升階法”），反而使方程求解變得簡單.在非齊次線性微分方程的常系數(shù)情形，文［5-7］介紹了求得特解的升階法，有時(shí)確實(shí)比待定系數(shù)法等方法簡單.在線性微分方程的變系數(shù)情形，文［8］給出了用升階法求解的幾個(gè)例子.下述例子就是文［8］給出的：

求解方程x2y″-2xy′＋2y＝0.對(duì)此方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得x2y?＝0，即y?＝0.由此得y＝c0＋c1x＋c2x2，代入原方程，得c0＝0，故原方程的通解為y＝c1x＋c2x2.

受此例的啟發(fā)，本文探求可用升階法簡便求解的高階線性變系數(shù)微分方程類.分析上述例子的系數(shù)函數(shù)間關(guān)系，一個(gè)自然的問題是：下述一般形式的方程（p（x）≠0）.

用升階法是否可解？

本文給予此問題明確的回答.對(duì)方程（1）給出了求解公式；對(duì)方程（2）相應(yīng)于f（x）的不同情形討論了特解的待定形式.由于方程（2）是線性的，故方程（2）的通解可表示為方程（1）的通解與方程（2）的特解之和，從而方程（2）的通解可求出.本文最后給出了所得結(jié)果的一些應(yīng)用實(shí)例.

以下記L［y］＝p（x）y（n）＋（-1）1p′（x）y（n-1）＋…＋（-1）np（n）（x）y，方程（1）即L［y］＝0，方程（2）即L［y］＝f（x）.

（a）若β＝0，則方程（1）的通解為

這里ci（i＝0，1，…，n）為n＋1個(gè)常數(shù)，其中n個(gè)是任意的.

（a）若αn＋1-（-β）n＋1≠0，則方程（2）有形如y（x）＝Qm（x）eαx＋Cy0（x）的特解，其中Qm（x）為待定的次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式，C為待定的常數(shù).

（b）若α為λn＋1-（-β）n＋1＝0的j重根（j≥1），則方程（2）有形如y（x）＝xjQm（x）eαx＋Cy0（x）的特解，其中Qm（x）為待定的次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式，C為待定的常數(shù).

證對(duì)方程（1）兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得到方程（2）的升階方程為

現(xiàn)考察方程（2）的解與方程（7）的解之間的關(guān)系.顯然方程（2）的具有n＋1階導(dǎo)數(shù)的解必是方程（7）的解.設(shè)y＝h（x）是方程（7）的解，則p（x）h（n＋1）（x）＋（-1）np（n＋1）（x）h（x）＝f′（x），對(duì)此式取從x0到x的積分（x0為p，f，h公共定義域中某固定的點(diǎn)），有

方程（8）為非齊次的常系數(shù)線性微分方程，由特解理論［4］，若αn＋1-（-β）n＋1≠0，則方程（8）有形如y1（x）＝Qm（x）eαx的特解；若α為λn＋1-（-β）n＋1＝0的j重根（j≥1），則方程（8）有形如y1（x）＝xjQm（x）eαx的特解.于是根據(jù)方程（2）的解與方程（7）的解之間的關(guān)系得到（a）與（b）.

實(shí)際求解中，可采用先求方程（2）的升階方程的通解再代入方程（2）確定一個(gè)常數(shù)的方法.

［1］ 丁同仁，李承志.常微分方程教程［M］.北京：高等教育出版社，1998.

［2］ 葉彥謙.常微分方程講義［M］.2版.北京：人民教育出版社，1982.

［3］ 王柔懷，伍卓群.常微分方程講義［M］.北京：人民教育出版社，1963.

［4］ 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.常微分方程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005.

［5］ 朱靈.用升階法求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2002，5（2）：17-19.

［6］ 李青，徐崇志，胡漢濤.用升階法求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解［J］.塔里木農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，15（1）：24-25，57.

［7］ 梅宏.常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一種求法——升階法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2003，6（2）：22-23，47.

［8］ 屈英.一類常微分方程的解法［J］.高等函授學(xué)報(bào)，1999，12（1）：13-14.

The General Solutions of aclass of Higher-Order Linear Ordinary Differential Equations with Variable Coefficients

XIAO Jian-zhong， LIU Jia-yin
（Department of Mathematics，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044，China）

aclass of higher-order linear ordinary differential equations with variable coefficients are studied by means of the order-increasing methods.The general solutions of homogeneous equations are given and the undetermined particular solutions of non-homogeneous equations are discussed.

higher-order linear ordinary differential equations with variable coefficients；order-increasing methods；general solution；particular solution

O175.1

C

1672-1454（2011）04-0182-04

2008-10-08

南京信息工程大學(xué)課程建設(shè)項(xiàng)目（JG032006J01）