淺析“球體積公式”展示的中外數(shù)學(xué)思想的異同

曹 媛

淺析“球體積公式”展示的中外數(shù)學(xué)思想的異同

曹 媛

(天津海運(yùn)職業(yè)學(xué)院,天津市 300457)

文本主要探討劉徽與祖暅對球體積公式的研究以及阿基米德對球體積公式的研究,揭示古代希臘和中國這兩個不同數(shù)學(xué)體系的特征,并就這種差異與各自文化傳統(tǒng)之間的關(guān)系作一比較。

球體積公式;牟合方蓋;平衡法;窮竭法

球體積公式的求解是與微積分早期發(fā)展史相聯(lián)系的一個問題,古希臘和古中國都對這個問題進(jìn)行了研究并取得了近乎完美的結(jié)果,他們方法各異但實(shí)質(zhì)相同,是了解人類早期微積分思想的絕好的案例。三國時期,魏國人劉徽對《九章算術(shù)》進(jìn)行了詳細(xì)的研究,通過注釋對其中的重要數(shù)學(xué)概念給出定義,對其中的數(shù)學(xué)方法、計(jì)算公式及有關(guān)定理都給出符合形式邏輯的論述、推導(dǎo)和證明。球體積公式的研究就是其中的一項(xiàng)。而祖暅原理也是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個重要的成就,它與兆示著微積分萌芽的卡瓦列里(B.Cavalieri,1598—1647)定理媲美。古希臘阿基米德一生致力于對各種不規(guī)則的圖形的體積的研究,其中球體積公式的得出是令他最滿意的一個。以下是筆者對劉祖和阿基米德數(shù)學(xué)思想的異同的淺析。

一、劉徽和祖暅對球體積公式的研究體現(xiàn)了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的思想

(一)劉徽構(gòu)造了“牟合方蓋”模型

在《九章算術(shù)·少廣》24題“開立圓術(shù)”也給出由計(jì)算其直徑d的公式

劉徽在為《九章算術(shù)》作注的時候,發(fā)現(xiàn)“開立圓術(shù)”中所給的球體積是錯誤的,他就想找到推算球體積的方法.在圓柱內(nèi)切于立方體、球內(nèi)切于圓柱體、圓內(nèi)切于正方形時,如果認(rèn)為

但由于(3)式于理不通,所以(1)式也是不對的。因?yàn)楣湃巳?為圓周率,得立方體內(nèi)接圓柱體為立方體體積的 ,又估計(jì)圓柱內(nèi)接球體積為圓柱體積的 ,故為 .由于錯誤假設(shè)(3)而導(dǎo)出一系列的錯誤理論,所以牟合方蓋的發(fā)明即產(chǎn)生于這批判的背景。[1]什么是“牟合方蓋”呢?《九章算術(shù)》開立圓術(shù)中注:取立方棋八枚,皆令立方一寸,積之為立方二寸.規(guī)之為圓囷,徑二寸,高二寸.又復(fù)橫規(guī)之,則其形有似牟合方蓋矣.八棋皆似陽馬,圓然也.按合蓋者,方率也;丸居其中,即圓率也.推此言之,謂夫圓囷為方率,豈不闕哉?用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言解釋:牟合方蓋就是取棱長一寸的正方體模型八枚,拼成棱長為二寸的正方體.然后由橫、縱兩個方向各作內(nèi)切圓柱,兩圓柱體公共部分(如圖1).“牟”:相等的意思;“蓋”:即傘;“牟合方蓋”:外表狀似上下對稱的正方形的傘。[2]

圖1

劉徽當(dāng)時就已經(jīng)具有了截面定積的思想,即:同高的兩個立體,在等高處各作一個與底平行的截面,若截面面積之比為一常數(shù),則此二立體體積之比也等于這一常數(shù).所以對于牟合方蓋,如果用同一水平面去截它,就得到一個圓(球的截面),和它的外切正方形(牟合方蓋的截面).劉徽指出,在每一高度上的水平截面圓與其外切正方形的面積之比都等于,因此球體積與牟合方蓋體積之比也應(yīng)該等于。

(二)祖暅繼承了劉徽的思路創(chuàng)建“祖暅原理”

南北朝時期的祖暅繼承了劉徽的思路,但他巧妙地把眼光轉(zhuǎn)向立方體切除“牟合方蓋”之后的那部分體積.取牟合方蓋的八分之一,考慮它與其外切正方體所圍成的立體,并如圖2那樣把它分成三個小立體,同時考慮一個以外切正方體底面為底,以該正方體一邊為垂直棱的倒立方錐.祖暅推證:倒立方錐Ⅴ的體積等于三個小立體的體積之和,因此也等于從外切正方體中挖去牟合方蓋的部分,[3]即立體Ⅰ的體積。即 Ⅴ=Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ=Ⅰ (4)

圖2

對于(4)式的證明,祖暅?zhǔn)沁@樣做的:考察在高h(yuǎn)處的水平截面(如圖3),容易看出三個小立體Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的截面(陰影部分)的面積ASQP,CTQR與BSQT合并在一起應(yīng)等于正方體截面積ABCD與牟合方蓋部分的截面積PQRD之差,即

ASQP+CTQR+BSQT=ABCD-PQRD

設(shè) AS=PQ=x,則有 ABCD-PQRD=r2-x2,由勾股定理可知,r2-x2=h2,故 ASQP+CTQR+BSQT=h2,根據(jù)劉徽截面定積的思想,在高h(yuǎn)處的倒立方錐V的截面積也等于 h2.(因?yàn)榻孛娴倪呴L為h,并且截面是正方形)這就是說,在任意等高處,立體Ⅰ的截面積與倒立方錐的截面積相等,因而,它們的體積相等.而倒立方錐的體積劉徽已解決了,等于(r為小正方體的邊長,即球半徑).這樣整個牟合方蓋的體積就是.再由劉徽先前所得的結(jié)果 V可推得

圖3

二、阿基米德對球體積公式的研究展示了“平衡法”的思想

阿基米德(前287-212)是亞歷山大時期最偉大的一位數(shù)學(xué)家。他的數(shù)學(xué)研究包括用窮竭法求面積和體積,計(jì)算 ,并提出用語言表示過剩近似值的一種新方案。在力學(xué)方面,他算出許多平面形和立體形的中心并給出杠桿原理.他奠定了論述水中浮體平衡問題的流體靜力學(xué)的基礎(chǔ).[4]在天文學(xué)方面,他制作過一臺行星儀,可惜關(guān)于天文學(xué)的著作失傳了,他的光學(xué)著作《鏡面反射》,沒有保存下來.[5]阿基米德用兩種方法來推導(dǎo)球體積公式。在《論球與圓柱》卷中,他以33個命題準(zhǔn)備,然后用反證法在命題34得到結(jié)論:球體積等于以球的大圓為底,球半徑為高的圓錐體積的四倍.在另一著作《方法》中,他再次討論球體積公式,取法簡便,用力學(xué)的方法得到同樣的結(jié)果.有趣的是,阿基米德也曾研究過牟合方蓋。[7]

在《方法》中阿基米德用一種稱為“平衡法”的方法來推算球體積的公式.實(shí)質(zhì)上是一種原始的積分方法。在以O(shè)為圓心,以r為半徑的圓中(如圖4),作兩條互相垂直的直徑AB和 CD.連結(jié)AC并延長使之與過B且垂直于AB的直線相交于 E,連結(jié)AD并延長到與 EB交于F.我們看到 EB=2 r=B F,這是因?yàn)榻荁AE和BAF各為45°.這樣就構(gòu)成了一個以 EF為底,以AB為高的矩形EFGH.PQ是過AB上的一個任意點(diǎn)X所作的一條垂直于AB的直線,它與圓相交于 R和S,與AE交于 T,與AF交于U.我們設(shè) X T=x,XR=y,還有 A X=x,從直角三角形AXR中,可以看出

圖4

從直角三角形ARB(點(diǎn)R上的角為直角,因?yàn)樗c直徑相對)中,我們得到

這是因?yàn)橹苯侨切蔚囊粭l直角邊是它在斜邊上的投影和整條斜邊的比例中項(xiàng).聯(lián)立(5)、(6)式,我們有

將AB向A外延長到W,使得WA=2r.作圖到此結(jié)束。

現(xiàn)在我們把整個圖形繞AB旋轉(zhuǎn),那么該圓就生成一個半徑為的球;三角形 EAF生成一圓錐,此圓錐的底是半徑為B E=2 r的圓,高是 AB=2 r;而矩形 EFGH生成一圓柱,其底半徑為 B E=2 r,高為AB=2 r.在旋轉(zhuǎn)過程中,任一直線PQ掃過一平面,它截該圓柱于半徑為2r的圓;截圓錐于半徑為x的圓C1;截球于半徑為截球于半徑為y的圓C2.

用(2r)2除(7)式的兩邊,可知

現(xiàn)在把WB當(dāng)作支在A點(diǎn)的杠桿,而方程(8)可用下述方法解釋為杠桿的平衡條件:圓C1和C2(分別從圓錐和球中割出)面積之和與半徑為2r的圓(從圓柱中割出)的面積之比等于從A到X的距離與從A到W的距離2r之比.換句話說,如果我們想象圓片的重量與其面積成正比,那么對以A為支點(diǎn)的杠桿來說,在W點(diǎn)懸掛圓C1和C2將與X點(diǎn)懸掛面積為π(2 r)2的圓平衡。

這一平衡條件對于在 HG和EF之間任一位置的PQ都是滿足的.如果我們把圓柱、球和圓錐看成是由PQ掃過的每一個可能平面從實(shí)心體中所切出的圓構(gòu)成,并且對每個PQ,都把C1和C2懸掛于W,那么所有的圓重新組成圓錐和球,并將與圓柱平衡.由于圓柱體的重心位于圓O,故我們可把這表示為:或或2(球+圓錐 EA F)=圓柱。由于圓柱是圓錐的3倍,我們得到2·球=圓錐 EA F.但圓錐 EA F=8圓錐 CA。由于當(dāng)一圖形的線形尺度乘以時,其體積得乘以,因此球=4圓錐.或者說一個球等于以球的大圓為底,以球半徑為高的圓錐的四倍。[6]

由此可見,這種“平衡法”是阿基米德發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的主要方法之一,其要點(diǎn)是,體積是由面積構(gòu)成的,面積是由彼此平行的直線構(gòu)成的,每條直線都有重量,而且與它們的長度成正比,因而可以把問題歸結(jié)于使未知的幾何圖形與已知的幾何圖形相互平衡以及求出重心.[5]但是,在阿基米德愛挑剔的眼光里,使他認(rèn)為力學(xué)方法不能用作證明的原因在于把實(shí)心物體看作是平面截面之和。現(xiàn)今我們對于“積分”的方法已經(jīng)很熟悉了,但阿基米德卻成功的把積分的困難轉(zhuǎn)移到了確定圓柱體的重心上,而后者是十分簡單的事情,只要考慮對稱性就可以了。[6]

三、劉、祖與阿基米德關(guān)于球體積公式研究的異同多角度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的魅力

(一)“構(gòu)建數(shù)學(xué)模型”是中外數(shù)學(xué)家思想的相同之處

所謂數(shù)學(xué)直覺,是指在數(shù)學(xué)活動中,數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)作用于人的感覺器官而在大腦中產(chǎn)生的感覺、知覺、表象等反映,是人腦對數(shù)學(xué)對象的一種迅速而直接的洞察和領(lǐng)悟,它是人類生活中普遍存在的直覺現(xiàn)象在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動中的表現(xiàn),數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)直接影響著創(chuàng)造能力的提高。

在球體積的問題上,劉徽想到構(gòu)造一個圖形——牟合方蓋,而后再通過截面定積的思想得出 。并且他還注意到,不管是球內(nèi)切、外接于立方,或是立方內(nèi)接、外切于球,只要幾何關(guān)系不變,則二渾或二質(zhì)比例關(guān)系不變,這反映了他注重通過特定條件研究不變比例關(guān)系的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。[1]劉徽的積分思想包含了以下幾層含義:劉徽極限的觀念與割圓術(shù)聯(lián)系緊密,并且是他對割補(bǔ)法、分割法深入研究的結(jié)果;劉徽“不失本率”原理的進(jìn)一步發(fā)展,為了“不失本率”,必須“所失彌少”,因而在做法上必須“割之彌細(xì)”;劉徽對“化曲為直”和“化直為曲”這種樸素思想方法進(jìn)行精確考究的結(jié)果.他以圓內(nèi)接正多邊形的面積逼近圓面積,要做到“與圓合體而無所失”,顯然要“割之又割,以至于不可割”;劉徽把“無限可分”“,無限變化”“,存在極限”等觀念,在理論上、方法上加以整理,并把它拿到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中加以運(yùn)用了擴(kuò)充.他把極限觀念與數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)合起來進(jìn)行考察,因而為中國古代數(shù)學(xué)理論研究開辟了一條新的路徑,即把極限思想也作為重要的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。[10]但唯一的遺憾是他沒有得到牟合方蓋的體積,因此并沒有求出球體積的公式。但是劉徽構(gòu)造出的牟合方蓋從理論上提出了推算球體積的正確途徑,祖暅則在此基礎(chǔ)上正確推導(dǎo)出球體積公式。

阿基米德也曾研究過這一立體,在阿基米德的《方法》前言中說他新發(fā)現(xiàn)兩個立體體積公式,其中一個就是劉徽稱為牟合方蓋的立體?！耙粓A柱內(nèi)切于立方體,其上下底在立方體兩相對面內(nèi),側(cè)面則切于另外四面,在同一立方體內(nèi),又內(nèi)切另一圓柱體,以另外兩相對面為上下底,圓柱體側(cè)面切于其余四面,這兩個圓柱體公共部分的體積是立方體體積的三分之二?！盵7]阿基米德的數(shù)學(xué)積分思想主要體現(xiàn)在平衡法和窮竭法上,由于阿基米德本身是個物理學(xué)家,所以他更擅長用物理的定義去構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。他利用力學(xué)原理,也就是杠桿原理求出了不規(guī)則圖形的面積,再由面積擴(kuò)展為體積,借助于這種數(shù)學(xué)模型大膽嘗試,最后應(yīng)用“窮竭法”的數(shù)學(xué)思想將體積公式完美論證。

(二)中外數(shù)學(xué)家不同的生活背景、歷史環(huán)境影響了他們數(shù)學(xué)思想的形成

中國古代數(shù)學(xué)家關(guān)心的主要是得到實(shí)用的結(jié)果。并且古中國哲學(xué)不排斥歸納、類比和經(jīng)驗(yàn)手段,這就給科學(xué)理論帶來了直觀和思辯的特點(diǎn)。劉徽利用“出入相補(bǔ)”的原理來解決平面幾何的有關(guān)問題,是我國古代數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)特色。劉徽成功地應(yīng)用“出入相補(bǔ)”的原理和“有限割補(bǔ)”法,以長方形面積法為基礎(chǔ),建立一系列平面直線形的求積理論。并以此為基礎(chǔ),把他所要研究的直線形,運(yùn)用“出入相補(bǔ)”的原理,把它分割成為與之等積的長方形,然后按照長方形求面積的算法來推算其他圖形的面積。若是復(fù)雜的直線形,則是先化為若干基本直線形,再化為長方形。同樣由長方形的求積算法推證之。對于曲線形面積,劉徽用極限思想采用“割圓術(shù)”證明圓面積公式,然后以圓面積理論為基礎(chǔ)再作推算。在“割圓術(shù)”中劉徽認(rèn)為圓內(nèi)接正多邊形,“割之彌細(xì),所失彌少。割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣?！边@是很明確的極限思想。而對于立體圖形體積算法的推導(dǎo),劉徽以體積概念和長方體體積算法為基本單位,同樣根據(jù)“出入相補(bǔ)”原理進(jìn)行推導(dǎo)。但是,“出入相補(bǔ)”原理較適用于簡單幾何圖形,對于較復(fù)雜的圖形(曲邊形)求積,就顯得有局限性了。因?yàn)椤俺鋈胂嘌a(bǔ)”局限于有限次的分割,而對于曲邊圖形,通過有限分割是達(dá)不到對其精確求積的。[9]所以劉徽沒有得到球體積的公式,而祖暅在劉徽“出入相補(bǔ)”原理的基礎(chǔ)上,運(yùn)用了“體積之比等于對應(yīng)截面面積之比”的思想,成功的推算出球體積的公式。而祖暅提出來的思想,相當(dāng)于17世紀(jì)意大利學(xué)者卡瓦列里提出的“卡瓦列里原理”:如果兩個立體圖形夾在兩個平行平面之間,并且為任何平行于這兩個平行平面的平面所截得平面片的面積都相等,那么這兩個立體圖形的體積相等;如果截得兩個立體所得的兩組截面中,每個給定平面所截得的兩個不同組的截面面積都有相同的比例,則這兩個立體的體積也成相同的比。[9]

古希臘是崇尚哲學(xué)的,所以數(shù)學(xué)的發(fā)展就受到了兩個因素的制約:一是演繹推理被賦予唯一合法的地位,二是數(shù)學(xué)被視為建立統(tǒng)一的宇宙圖景的工具。由于前者的刺激,形式邏輯和幾何學(xué)得到充分發(fā)展,后者則不容忍數(shù)學(xué)出現(xiàn)任何可笑的紕漏,否則就可能導(dǎo)致全部哲學(xué)信念的崩潰。阿基米德對球體積公式求解過程中,主要應(yīng)用了“平衡法”,他認(rèn)為立體是由面積元素構(gòu)成的。而“平衡法”在數(shù)學(xué)上就是認(rèn)為圖形是由許多微小量組成的,立體圖形是由許多彼此平行的截面組成的。把含有未知量的圖形分解為組成它們的微小量,然后再用另一種微小量來與它們比較,比較時利用力學(xué)的原理,賦予所有微小量以理想的重量,于是幾何圖形就可以看作是具有理想重量的重物,再建立一個杠桿,找到合適的支點(diǎn),使前后兩組微小量的總體,通過比較求出各未知量來。因此,平衡法體現(xiàn)了近代積分法的基本思想。當(dāng)然,阿基米德意識到平衡法嚴(yán)密性上的不足,所以當(dāng)他用平衡法求出一個面積或體積后,必再用窮竭法給以嚴(yán)格的證明。這種發(fā)現(xiàn)與求證的雙重方法,是阿基米德獨(dú)特的思維方式,這也是他不同于中國兩位數(shù)學(xué)家思維的地方。[8]

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The Comparison Between Chinese and Foreign Mathematics Thinking by Demonstrating the Formula of Sp here Volume

CAO Yuan

(Tianjin Maritime Vocational Institute,Tianjin 300457 China)

The article mainly explores the different researches on the f ormula of sp here volume by Liu Hui,Zu Geng and Archimedes,reveals the different characteristics of Chinese mathematics system and that of Ancient Greece and compares the relationships between the differences and their cultural tra2 ditions.

f ormula of sphere volume;balanced law;method of exhaustion

G712

A

1673-582X(2011)06-0092-06

2010-06-17

曹媛(1983-),女,天津市人,天津海運(yùn)職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)課部助教,主要從事高職數(shù)學(xué)工作。