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    三項式xn-bx+a的二次不可約因式

    2011-11-20 09:08:52吳華明
    關鍵詞:三項式因式本原

    吳華明

    (湛江師范學院數(shù)學與計算科學學院,廣東湛江 524048)

    三項式xn-bx+a的二次不可約因式

    吳華明*

    (湛江師范學院數(shù)學與計算科學學院,廣東湛江 524048)

    三項式; 二次不可約因式; Lucas數(shù); 本原素因數(shù)

    設n是大于1的正整數(shù),f(x)=xn-bx+a,其中a,b是非零整數(shù).三項式f(x)在有理數(shù)域的可約性和因式分解在代數(shù)學及其應用領域有著重要的意義[1].根據(jù)Gauss引理可知:如果f(x)在有理數(shù)域上可約,則f(x)可表成2個次數(shù)都小于n且首項系數(shù)等于1的整系數(shù)多項式的乘積(參見文獻[2]的定理1.13.2).本文主要討論f(x)的首項系數(shù)等于1的二次整系數(shù)不可約因式(以下簡稱二次因式)的存在性.對此,陳宏基[3]證明了:當b=1且n>512 880時,如果f(x)有二次因式,則必有

    n≡2(mod 6),a=1,b=1,g(x)=x2-x+1.

    (1)

    (2)

    上述結(jié)果的證明要用到有關代數(shù)數(shù)對數(shù)線性型的下界估計.這里應該指出:當a=1,b=-1,n≡5(mod 6)時,因為x3≡-1(modx2-x+1),故有f(x)≡-x2+x-1≡0(modx2-x+1),由此可知文獻[5]遺漏了以下情況

    n≡5(mod 6),a=-1,b=-1,g(x)=x2-x+1.

    (3)

    本文將運用有關Lucas數(shù)本原素因數(shù)的存在性方面的結(jié)果,修正并改進文獻[5]得到的下界,即證明了:

    1 若干引理

    設g(x)=x2-sx+t是整系數(shù)二次多項式,又設r=s2-4t.已知g(x)在有理數(shù)域上不可約的充要條件是r為非平方整數(shù).此時,g(x)有2個不同的根

    (4)

    對于非負整數(shù)k,設

    (5)

    引理1[6]設m是正整數(shù),u和v是任意復數(shù).此時

    對此,教師在平時的教學中可以讓學生在閱讀時養(yǎng)成積累寫作素材的好習慣,調(diào)動學生寫作的積極性,讓學生能夠在寫作的過程中大膽進行創(chuàng)新,展示自我,另外,教師也要對學生的寫作進行適當?shù)墓膭睿寣W生逐漸喜歡上寫作,培養(yǎng)其寫作的積極性,增加寫作和閱讀的熱情。

    其中[m/2]表示m/2的整數(shù)部分,

    都是正整數(shù).

    引理2 設d=gcd(s,t).當k是正整數(shù)時,Lk(α,β)是適合

    Lk(α,β)≡0(modd[k/2])

    (6)

    的非零整數(shù).

    證明因為α≠β,所以當k是正整數(shù)時,Lk(α,β)≠0.由于d=gcd(s,t),故有

    r=dr1,s=ds1,t=dt1,

    (7)

    其中r1,s1,t1都是非零整數(shù).當k是奇數(shù)時,根據(jù)引理1,從式(4)可知

    (8)

    從式(7)和式(8)可知此時式(6)成立.當k是偶數(shù)時,k可表成k=2lk1,其中l(wèi)是正整數(shù),k1是正奇數(shù).此時,因為

    (9)

    所以根據(jù)引理1也可推出式(6).證畢.

    引理3f(x)有二次因式g(x)的充要條件是b=Ln(α,β).

    引理3的證明可參見文獻[5]的引理3,在此略.

    當gcd(s,t)=1且α/β不是單位根時,(α,β)稱為一個Lucas對.此時,Lk(α,β)稱為與Lucas對應的Lucas數(shù).當k是大于1的正整數(shù)時,如果Lk(α,β)的素因數(shù)p不能整除tL1(α,β)…Lk-1(α,β),則稱p是Lk(α,β)的本原素因數(shù).

    引理4 當k>30時,Lucas數(shù)Lk(α,β)必有本原素因數(shù).

    引理5 如果p是Lucas數(shù)Lk(α,β)的本原素因數(shù),則必有p≡±1(mod 2k).

    引理4和引理5的證明可分別參見文獻[7]、文獻[8],在此略.

    2 定理的證明

    設g(x)是f(x)的二次因式.根據(jù)文獻[5]中定理的證明過程以及本文的分析可知:當α/β是單位根時,n,a,b必定滿足式(1)、(2)或(3).因此,以下僅需考慮α/β不是單位根的情況.

    設n是適合

    (10)

    的正整數(shù),又設d=gcd(s,t).當d>1時,根據(jù)引理2可知

    (11)

    同時,從引理3可知

    (12)

    結(jié)合式(11)和(12)立得

    (13)

    與式(10)矛盾,故不可能.

    當d=1時,(α,β)是Lucas對,Ln(α,β)是相應的Lucas數(shù).因為n>30,所以從引理4可知Ln(α,β)必有本原素因數(shù)p,故有

    (14)

    又從引理5可知p≥2n-1,故從式(14)立得

    (15)

    [1] 劉木蘭.數(shù)學在密碼中的某些應用[J].數(shù)學的實踐與認識,1986,16(3):47-55.

    [2] 華羅庚.數(shù)論導引[M].北京:科學出版社,1979:19-20.

    [3] 陳宏基.關于三項式xn-x-a的二次因式[J].數(shù)學雜志,2002,22(3):319-322.

    CHEN Hongji.On the quadratic factorization ofxn-x-a[J].Journal of Mathematics,2002,22(3):319-322.

    [4] 樂茂華.三項式xn-x-a的二次不可約因式[J].數(shù)學雜志,2004,24(6):635-637.

    LE Maohua.The irreducible quadratic factor of the trinomialxn-x-a[J].Journal of Mathematics,2004,24(6):635-637.

    [5] 楊仕椿.關于三項式xn-bx-a的二次整系數(shù)因式[J].南京大學學報:數(shù)學半年刊,2004,21(1):178-183.

    YANG Shichun.On the intergral coefficient quadratic factorization ofxn-bx-a[J].Journal of Nanjing University:Mathematical Biquarterly,2004,21(1):178-183.

    [6] LIDI R,NIEDERREITER H.Finite fields[M].Massachusetts: Addison-Wesley,1983:176-178.

    [7] BILU Y,HANROT G,VOUTIER P M.Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers[J].J Reine Angew Math,2001,539:75-122.

    [8] LEHMER D H.An extended theory of Lucas’ functions[J].Ann Math,1930,31:419-448.

    Keywords: trinomial; irreducible quadratic factor; Lucas number; primitive divisor

    【責任編輯 莊曉瓊】

    THEIRREDUCIBLEQUADRATICFACTORSOFTHETRINOMIALxn-bx+a

    WU Huaming

    (School of Mathematics and Computation, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang, Guangdong 524048, China)

    2010-06-01

    國家自然科學基金項目(10771186,10971184)

    *通訊作者,wuhuam3329@126.com

    1000-5463(2011)02-0046-03

    O156.7

    A

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