探究例題內(nèi)涵 彰顯數(shù)學魅力
——對一道課本習題的變式教學

● (溫嶺市實驗學校 浙江溫嶺 317500)

探究例題內(nèi)涵彰顯數(shù)學魅力
——對一道課本習題的變式教學

●童鵬(溫嶺市實驗學校 浙江溫嶺 317500)

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學生受到實益，還要靠教師的善于運用”．教材是教學的重要資源,課本中的每一個例題和習題都是經(jīng)過“千錘百煉”的，有很高的教育價值．教師在現(xiàn)實教學中，如何就有限的教學資源，充分加以利用，并時常保持數(shù)學獨特的魅力，變題是一種好方法．下面筆者以一道具體的課本習題為例談一談教學資源的整合和對其教育價值的挖掘,供參考．

原題如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點O，∠AOF=90°，求證：BF=AE.

本題源于人教版《數(shù)學》八年級下冊.學生基本上能利用互余找到2組相等的角，從而證明△ABE≌△BCF，再利用全等可得BF=AE．

圖1 圖2

1 探究例題,用變題開拓思維

教材提供的僅僅是一種方向，一條線索，教師在面對教材時，完全可以根據(jù)實際需要對其進行增添、刪減、調(diào)整、變換、延伸等“藝術(shù)”加工，賦予它新的生命，從而達到真正意義上的利用教材．

1．1 探究刪減條件的變題

在完成原題的解答后，出示下面的演變1.

演變1如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，EF，GH交于點O，∠FOH=90°，求證：EF=GH.

師：當這2條線段的端點分別在正方形的邊上時，線段還會相等嗎？

生：會．

師：怎么得到相等呢？

生：構(gòu)造一對全等的三角形．過點A作AM∥GH交BC于點M，過點B作BN∥EF交CD于點N，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，那么圖形就和圖1一樣了，證明方法也一樣．

師：不錯，該同學把圖2轉(zhuǎn)化到熟悉的圖1，問題自然解決了．

生：也可以過點G作GM⊥BC于點M，過點F作FN⊥AB于點N(如圖3)，則△FNE≌△GMH，可得EF=GH．

師：這2個三角形全等的條件充分嗎？

生：充分.因為GM∥AB，F(xiàn)N∥AD，所以FN⊥GM，∠FQH+∠QFO=90°，∠QGP+∠GQP=90°.又因為∠FQH=∠GQP，所以∠QFO=∠QGP，從而△FNE≌△GMH．

圖3 圖4

師：點在邊上移動著，能否移到邊所在的直線外呢？當這些點分別在它們所在的直線上運動時，是否只要保持GH與EF垂直，GH與EF就相等呢？

生：都可以證明.如圖4，過點A作AM∥GH交BC于點M，過點C作CN∥EF交AB于點N，則四邊形AMHG和四邊形CNFE均為平行四邊形，利用圖1的方法可證明△ABM≌△BCN，得GH=EF．

師：思路非常好，把后面的2個圖形都轉(zhuǎn)化成圖1來解決.雖然點在變，但是基本圖形不變，因此結(jié)論也不變．

適當刪減條件，可把題目從特殊轉(zhuǎn)化為一般.本例從點移到邊，再移到直線上，完成了從靜到動的演繹，使學生經(jīng)歷了一個變化、靈動的過程.這種融知識性、趣味性、開放性、挑戰(zhàn)性于一體的習題，學生不會覺得是一種負擔，而是一種樂趣，真正體現(xiàn)了在數(shù)學活動中理解和掌握數(shù)學知識的理念．

1．2 探究增加條件的變題

演變2(在圖2的基礎(chǔ)上改題)如圖5，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，EF，GH交于點O，且∠FOH=90°.若點O剛好是正方形的中心，求證：DF=AG=BE=CH.

學生思考一段時間后.

生：連結(jié)GF，F(xiàn)H，HE，GE，可證得△DFG，△CFH，△BHE，△AEG全等.

師：怎樣證明？條件分別是什么？

圖5 圖6

生：因為EF⊥GH，且點O是正方形的中心，所以EF與GH相互垂直平分，再利用圖2的證明，可知EF=GH，于是四邊形EHFG是正方形，得

GF=FH=EH=GE．

再利用角度的互余關(guān)系得

∠DFG=∠CHF=∠BEH=∠AGE,

利用直角的條件，即可證得三角形全等．

師：正方形ABCD被EF和GH分成的4個部分有何關(guān)系呢？

生：這4個部分是全等的．

師：(在圖5的基礎(chǔ)上增加條件的變題)如圖6,如果延長EF，HG分別交AD和BA的延長線于點N，M，那么AM和DN會相等嗎？

生：會．可證得△BHM≌△AEN.

師：運用哪些條件證明全等呢？

生：由圖5得

AE=BH，∠AEF=∠BHG.

又由∠ABC=∠DAB=90°，可得三角形全等，于是AM=DN．

適當增添條件，可以得到更多的結(jié)論，從而考驗學生對知識掌握的全面性，因此對學生掌握知識的要求較高，往往要把所學知識貫穿起來.圖4的變形是一個一般的圖形，在證明線段相等時，學生自然地想到了用三角形全等的方法.圖5是一個圖形的拓展延伸，基本結(jié)論更加清晰、明了．因此在課堂教學中，要注意把所遇到的問題與基本問題相聯(lián)系，并作一定的拓展，對提高學生思維的廣闊性很有幫助．

1．3 探究變換圖形的變題

圖7

演變3(1)如圖7，若將原題中的條件“正方形”改為“正三角形”，“2條線段的交角為直角”改為“交角為60°”，即“AE⊥BF”改為“∠COF=60°”，其他條件不變，則原題的結(jié)論還成立嗎？如果成立,請給出正面證明;如果不成立,請給出反例．

師：這一題進行了圖形的改變，把正方形換成了正三角形，AE⊥BF改為∠COF=60°，這時AF與CE是否還會相等？

生：只要能夠證明△ACE≌△BAF即可.

師：能找到三角形全等的條件嗎？

(經(jīng)過一段時間的討論.)

生：條件足夠．有一對角一組邊相等，只要再得一對角相等就可以了．因為

∠CAO+∠ACO=60°,∠CAO+∠OAB=60°,

所以

∠ACO=∠OAB，

于是

△ACE≌△BAF.

師：進一步如果將原題中的條件“正方形”改為“正五邊形”，那么請你模仿原題寫出一個真命題，并在圖8中畫出相應的圖形．

(學生能夠很自然地得出此題的答案.)

圖8 圖9

生：在AB上取一點F，連結(jié)EF，過點A作AG，且使得∠EOG=108°，那么EF=AG．證明方法與上一題一樣，只是角度發(fā)生變化了．

師：是否還有其他的延伸呢？

(學生立刻進行探討，并且很快得到了問題的答案.)

生：正六邊形也是可以的，只要把夾角改為120°就可以了．

圖形雖然在變，但萬變不離其宗，解題的方法沒變．正方形是特殊的正多邊形，本題從正方形具有的一般性結(jié)論自然地類比到了其他的正多邊形，再進行相似探索、思考、研究相應的結(jié)論.這種推廣過程可使學生理解特殊與一般的辨證關(guān)系，從而培養(yǎng)學生類比、推理、分析的綜合能力，讓學生的思路豁然開朗．

1．4 探究圖形延伸的變題

圖10

演變4已知點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DM上，EF，GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4.

(1)如圖10，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長;

(2)如圖11，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GH的長(用n的代數(shù)式表示).

圖11

師：請同學們觀察，2個正方形拼接在一起，但仍然保持∠FOH=90°不變，這時EF與GH會相等嗎？如果不相等，那么它們會有怎樣的關(guān)系？

(學生經(jīng)過一段時間思索后)

生：圖4與圖2非常相似，能不能把圖10轉(zhuǎn)化為與圖2相似的圖形呢？

生：可以先用其中一個正方形，設(shè)GH交正方形的一邊為點P，則GP=EF．

師：在另一個正方形中的部分怎么辦呢？

生：可以構(gòu)造如圖1的圖形．在邊上任意找一點M，再過點M作MN∥EF，得到EFMN，于是EF=MN，MN⊥PH，再利用圖1的結(jié)論可得MN=PQ=EF=GP，從而GH=2MN．

師：非常好!若能想到把這個圖形看成是2個圖1的組合，則轉(zhuǎn)化的思想顯而易見了．

師：如果矩形ABCD由n個全等的正方形組成(如圖11)，那么GH與EF又有怎樣的關(guān)系呢？

生：GH=nEF.由前面的探討可得每個正方形內(nèi)的一部分等于EF，總共有n個正方形，因此GH是EF的n倍．

這便是從部分到整體的變通，是一種質(zhì)的飛躍，起到了“畫龍點睛”的作用！讓學生全面、深刻地看到課本習題的全貌和問題的本質(zhì),通過合理整合教學資源，巧用問題串使問題輕松解決．

對教材資源的變題是對教材資源的再創(chuàng)新.在保留部分原題的前提下，將問題逐步引申、挖掘，深化了題目的內(nèi)涵，對學生思維的廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性都起到了很大的作用.

2 反思例題，用變題激發(fā)潛能

以上對一道習題進行了4次深入的探究，從不同的角度進行了變題，縱橫發(fā)散、溝通，層層深入，將問題合理演化、凝題成鏈、織題成網(wǎng)，使學生在傾聽中產(chǎn)生靈性，在思考中展現(xiàn)智慧，在體驗中生成情感，在相互尊重中綻放燦爛的生命之花．

2．1 妙用例題，讓學生討論變題

在教學過程中，教師可以充分利用學生資源，營造自然、生動的教學氛圍，以激發(fā)學生的學習興趣，為其創(chuàng)造真實運用數(shù)學的外部條件.在這次的例題教學中讓學生討論變題，應學生而動、應情境而變，使課堂煥發(fā)了生命的活力.

例如演變1的教學過程：先由線段EF和GH的端點在正方形的頂點上，結(jié)論EF=GH成立，然后逐步地使2條線段的端點從頂點移到邊上，再進一步地移到邊的延長線上，使學生的思維不斷地被激發(fā)，也讓他們非常迫切地想知道結(jié)論是否還成立.這就引起了學生的興趣.學生通過對知識的需求，演繹討論的過程，從而獲得正確的結(jié)論.這無疑展示了一種活躍的思維過程，培養(yǎng)了學生思維的發(fā)散性.

2．2 妙用例題，讓學生參與變題

通過對例題的潛心挖掘和學生的參與變題，使題目由一道題變成了一類題，大大地提高了雙基的容量和靈活性，從而鍛煉了學生思維的廣泛性，提高了舉一反三、觸類旁通的能力，而這正是思維靈活性得到培養(yǎng)和發(fā)展的最好體現(xiàn).

例如演變3的教學過程：先由圖形是正方形，得結(jié)論AE=BF成立.再考慮:當正方形演變成正三角形，2條線段夾角為多少度時，結(jié)論仍然成立？到此，學生就會進一步地自己參與變題，聯(lián)想到其他的正多邊形是否也有類似的結(jié)論.通過一題多變，讓學生積極地參與到變題中，深刻地挖掘了例題的內(nèi)涵，從而達到培養(yǎng)學生良好思維方式和創(chuàng)新意識的目的.

新課標強調(diào)，學生是學習的主人，教師要鼓勵學生質(zhì)疑、探究，在思考的過程中感受和體驗數(shù)學知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程．數(shù)學問題的探究往往是無窮盡的.通過變題，既能使學生高瞻遠矚，又能有效地學習，從而提高學習效率．若教師在課前充分挖掘教材資源,在課堂中利用變題引導學生探索，則能激發(fā)他們的興趣，甚至讓學生學會變題．這樣不僅能鞏固知識，挖掘不同知識點間的聯(lián)系，而且能開拓學生的思維和視野，有事半功倍之效．

總之，在例、習題教學中，教學資源無處不在、無時不生、取之不盡、用之不竭．教師要不斷地探索、實踐、反思，探究教學資源，妙用課堂資源．要貫徹新課程的教學理念，發(fā)揮例、習題應有的教學價值，實施例、習題教學的有效性，深入探究例、習題蘊涵的寶藏，彰顯數(shù)學獨特的魅力．

[1] 王麗君.例題教學的四重探究[J].中學數(shù)學教學參考，2010(5):37.

[2] 吳莉霞，劉斌.變式教學要把握三個“度”[J].數(shù)學通報，2006(4):26.

[3] 王峰.莫讓浮云遮望眼 撩開霧紗見真顏[J].中學數(shù)學教學參考，2010(6):51.