隱性路徑 顯性分析

●周禮寅 (東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán) 江蘇東臺(tái) 224200)

運(yùn)動(dòng)型問題是近年來中考的一個(gè)熱點(diǎn).這類試題能全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，考查學(xué)生通過數(shù)學(xué)思考解決問題的綜合應(yīng)用能力，因而倍受各地中考命題者的青睞.探索在運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是運(yùn)動(dòng)型問題新呈現(xiàn)的考查方向.這類問題由于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑不明晰，因此對(duì)學(xué)生分析問題的能力要求更高.為此，本文嘗試對(duì)這類隱性路徑問題進(jìn)行顯性分析，供參考.

1 動(dòng)點(diǎn)路徑問題的幾種類型

1.1 單動(dòng)點(diǎn)路徑

例1 如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連結(jié)EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.

(1)設(shè)AE=x，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(2)P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).(2010年江蘇省南京市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)略;

(2)要求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)，必須先探索點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡.由動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)為A，B，可知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P1(如圖2);當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P2(如圖3)，因此點(diǎn)P在P1與P2之間運(yùn)動(dòng).

圖1

圖2

圖3

在由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，再選取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，作出相應(yīng)的點(diǎn) P(如圖4)，從點(diǎn) P1，P，P2可大致猜測(cè)出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)為線段P1P2.

為什么點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段P1P2呢?如圖5，設(shè) MG交 P1P2于點(diǎn) P'.由 P1P2為△MG1G2的中位線，得 P1P2∥G1G2，即 P1P'∥G1G2，因此即點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合.這表明MG的中點(diǎn)P始終落在線段P1P2上，因此點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑為P1P2，通過計(jì)算可求得P1P2的長(zhǎng)為2.

圖4

圖5

評(píng)析 本題由于動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，使得△EFG及點(diǎn)P均受點(diǎn)E的牽制而運(yùn)動(dòng).在探索動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑時(shí)，其分析思路為：特殊位置找界點(diǎn)，中間位置尋軌跡，一般位置探成因.這種分析方法適用于一般的運(yùn)動(dòng)路徑探索問題.

該試題是全卷的壓軸題，給學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生創(chuàng)造了展示自我的空間，通過動(dòng)態(tài)探究問題來考查學(xué)生的邏輯推理能力、探究發(fā)現(xiàn)能力、靈活利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，是考查學(xué)生綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一道關(guān)鍵題目，同時(shí)兼顧高一級(jí)學(xué)校選拔新生的需要.

1.2 雙動(dòng)點(diǎn)路徑

例2 如圖6所示，已知AB=10，點(diǎn)C，D在線段AB上且AC=DB=2.P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為G.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)G 移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是_______.

(2010年廣西省桂林市數(shù)學(xué)中考試題)

圖6

圖7

圖8

分析由于點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，其運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)為C，D.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)G1(如圖7);當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)G2(如圖8).因此點(diǎn)G在G1與G2之間運(yùn)動(dòng).

為了探明動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，在由點(diǎn)C至點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，再選取點(diǎn)P的某一位置作出相應(yīng)的點(diǎn)G(如圖9)，由點(diǎn)G，G1，G2可大致判斷點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)為線段G1G2.

為說明點(diǎn)G總在線段G1G2上運(yùn)動(dòng)，如圖10，延長(zhǎng)AE，BF交于點(diǎn)H，則 PE∥FH且 PF∥EH，得四邊形PEHF為平行四邊形.由點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，得點(diǎn)G為?PEHF對(duì)角線的交點(diǎn)，因此點(diǎn)G一定為HP的中點(diǎn).隨著點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，由例1第(2)小題的分析可知，中點(diǎn)G在線段G1G2上運(yùn)動(dòng).而線段G1G2為△HCD的中位線，其長(zhǎng)度為3.

圖9

圖10

評(píng)析 本題打破過去單純從動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線的角度切入的常規(guī)方法，而是借助雙動(dòng)點(diǎn)使兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)牽制形成另一動(dòng)點(diǎn)的構(gòu)思新穎的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，嘗試從不同角度考查學(xué)生采集“數(shù)”與“形”的信息，尋求解決問題方法的能力.試題還考查了等邊三角形、平行四邊形和相似形的性質(zhì);考查了運(yùn)動(dòng)變化思想和數(shù)形結(jié)合思想，以及特殊與一般、運(yùn)動(dòng)與變化等數(shù)學(xué)觀念，確保了試題在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求范圍內(nèi)具有較高的區(qū)分性和較好的效度.

1.3 動(dòng)圖形路徑

例3 已知：如圖11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14.E 為AB上一點(diǎn)，BE=2，點(diǎn)F在邊BC上運(yùn)動(dòng)，以FE為一邊作菱形FEHG，使點(diǎn)H落在邊AD上，點(diǎn)G落在梯形ABCD內(nèi)或其邊上.若BF=x，△FCG的面積為y.

(1)當(dāng)x = _______時(shí)，四邊形FEHG為正方形;

(2)求x與y的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);

(3)在備用圖中分別畫出△FCG的面積取得最大值和最小值時(shí)相應(yīng)的圖形(不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法)，并求△FCG面積的最大值和最小值(計(jì)算過程可簡(jiǎn)要書寫);

(4)△FCG的面積由最大值變到最小值時(shí)，點(diǎn)G 運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為_______.

(2010年北京市西城區(qū)八年級(jí)期末測(cè)試卷)

分析(1)，(2)略.

(3)如圖11，過點(diǎn)G作GM⊥AD于點(diǎn)M，并反向延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，連結(jié)HF，可證得

在△FCG中，邊FC上的高GN不變，要使其面積最大(小)，只需底邊FC的值最大(小).當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到使菱形FEHG的頂點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)(如圖12)，F(xiàn)C取得最大值.在Rt△BEF中，求得

圖11

(4)由第(3)小題知，點(diǎn)G在G1與G2間運(yùn)動(dòng).如圖12，無論點(diǎn) F如何運(yùn)動(dòng)變化，它到邊BC的距離始終不變，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為與直線BC平行，且到直線BC的距離為4的平行線段G1G2，通過計(jì)算可求得G1G2的長(zhǎng)為 1 2-2.

評(píng)析 該試題通過點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)帶來菱形與三角形的運(yùn)動(dòng)，把觀察、操作、探究、計(jì)算融合在一起，將全等三角形、菱形、勾股定理等初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)融為一體.作為壓軸題，本題設(shè)計(jì)新穎、不落俗套、自然流暢、梯度合理、入口寬、出口窄，需綜合運(yùn)用核心知識(shí)去靈活地解決問題.在探究圖形變化過程中，考查了函數(shù)思想、方程思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法以及基本軌跡的識(shí)別與應(yīng)用.

圖12

1.4 坐標(biāo)系路徑

例4 如圖14，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，4)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P 從點(diǎn)B 出發(fā)沿BO 向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒.

(1)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( _____，______)(用含x的代數(shù)式表示);

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△APQ是一個(gè)以AP為腰的等腰三角形?

(3)記PQ的中點(diǎn)為G，請(qǐng)你探求點(diǎn)G隨點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)所形成的圖形，并說明理由.

(2006年江蘇省蘇州市數(shù)學(xué)中考試題)

分析(1)，(2)略.

圖14

圖15

(3)由于P，Q的運(yùn)動(dòng)速度相同，且AB=OB，因此點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)O的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)G2;當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)G為OB的中點(diǎn)G1.再在OB上選一點(diǎn)P，作出相應(yīng)的點(diǎn)Q及PQ的中點(diǎn)G.由點(diǎn)G1，G，G2觀察可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G隨點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是線段G1G2(如圖15).下面進(jìn)一步說明點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段G1G2.

滿足y=2x-5，因此點(diǎn)G在線段G1G2上.

思路2 如圖15，設(shè)G1G2與PQ交于點(diǎn)G'，過點(diǎn)P作 PK∥AO交 AB于點(diǎn) K.由 PK∥AO，得△AOB∽△KPB.又由△AOB∽△G2G1B，AB=OB，

即 KG2=QG2.由 G2G'∥PK，得△QG2G'∽△QKP，因此PG'=QG'，即G'是PQ的中點(diǎn)，故點(diǎn)G'與點(diǎn)G重合，點(diǎn)G在線段G1G2上.

評(píng)析 思路1是在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)點(diǎn)G的坐標(biāo)滿足線段G1G2的直線方程，說明點(diǎn)G在線段G1G2上;思路2通過證明PQ與G1G2的交點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段G1G2.試題以坐標(biāo)系、三角形、函數(shù)解析式等數(shù)學(xué)知識(shí)為立足點(diǎn)，加大了對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)了初、高中教學(xué)內(nèi)容的銜接.通過問題的解決還有效地考查了學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中所表現(xiàn)出的思維方式、思維水平，對(duì)教學(xué)起到了導(dǎo)向作用.

2 動(dòng)點(diǎn)路徑的特征及解題思路

以上幾例的共同特點(diǎn)是：在幾何圖形中或函數(shù)圖像上，有1或2個(gè)動(dòng)點(diǎn)沿線段、折線、射線或圓弧等曲線運(yùn)動(dòng)，研究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中牽制形成另一相關(guān)聯(lián)的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑形狀或路徑的長(zhǎng).

對(duì)這類問題要善于借助動(dòng)態(tài)思維的觀點(diǎn)來分析，不為“動(dòng)”所迷惑.從特殊情形入手，變中求不變，動(dòng)中求靜，抓住靜的瞬間，以靜制動(dòng)，把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來解決，從而找到問題的突破口.動(dòng)與靜是相對(duì)的，抓住運(yùn)動(dòng)中的不變量(譬如圖形全等、距離不變等)，對(duì)比運(yùn)動(dòng)前后2種狀態(tài)的區(qū)別，用心體會(huì)，尋找規(guī)律.解答時(shí)往往需要綜合運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程函數(shù)思想及分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法.

圖16

3 實(shí)戰(zhàn)演練

A.直線 B.拋物線 C.圓 D.雙曲線

(2007年浙江省慈溪市慈溪中學(xué)初中保送生招生考試數(shù)學(xué)試題)

提示延長(zhǎng)BF，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)OF，則

［1］ 張曉林.中考典型問題備考系列——?jiǎng)討B(tài)幾何型［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009(1-2)：100-104.

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