一種導航衛(wèi)星中長期軌道預報方法

周建華,楊 龍,徐 波,謝廷峰

1.北京環(huán)球信息應用開發(fā)中心,北京100094;2.南京航空航天大學,江蘇南京210016

一種導航衛(wèi)星中長期軌道預報方法

周建華1,楊 龍1,徐 波2,謝廷峰1

1.北京環(huán)球信息應用開發(fā)中心,北京100094;2.南京航空航天大學,江蘇南京210016

基于神經網絡混合建模的思想提出一種針對導航衛(wèi)星的中長期軌道預報方法,在原動力學模型的基礎上引入神經網絡模型作為補償,從而獲得新的預報模型。在訓練過程中神經網絡通過學習動力學模型軌道預報誤差來掌握其變化規(guī)律,并在預報過程中為動力學模型預報提供補償,以提高預報精度。對 GPS衛(wèi)星動力學模型中長期預報誤差的特點進行分析,然后根據所得結論提出混合模型的中長期(15 d以上)預報方案,最后通過對 GPS衛(wèi)星的仿真試驗證明混合模型的改進效果,結果表明新方法在15～40 d的預報上表現出很好的改進效果。

軌道預報;神經網絡;動力學模型;混合建模

1 引 言

導航衛(wèi)星的自主導航是提高衛(wèi)星系統生存能力的一個重要手段,而軌道精度是衡量其性能優(yōu)劣的重要指標。在解決導航星座自主定軌中涉及高精度的星歷預報,提高預報精度對導航精度有著重要的意義。傳統的動力學模型軌道預報方法通過考慮衛(wèi)星空間運動中的各種動力學因素,外推出衛(wèi)星的運動狀態(tài)。動力學模型的精度直接影響預報精度,然而由于空間動力學環(huán)境的高度復雜性及衛(wèi)星本身各種參數的不確定性,動力學模型的精度受到限制,預報精度提高比較困難。

通過在動力學模型中加入經驗力的方法可以在短期內提高軌道預報精度。然而由于動力學模型的時變性和復雜性,經驗力模型將在長期預報中逐漸失去精度優(yōu)勢,甚至發(fā)生錯誤。如文獻[1]建立了針對 GPS衛(wèi)星的光壓模型,提高了 GPS衛(wèi)星的定軌精度,然而隨著預報弧段的增加,預報誤差將劇烈地發(fā)散,不能用于中長期預報。同時這種光壓模型的建立工作量大,結構參數不適用于其他衛(wèi)星,因此導航星中長期預報的改進需要一種新的方法。

為減少動力學模型的不足對預報結果的影響,文獻[2]通過采用切比雪夫多項式擬合CHAMP衛(wèi)星軌道然后進行外推的方法,完成在GPS衛(wèi)星失鎖狀態(tài)下保持定軌精度的目的,然而該方法外推時間只有50 s,應用范圍有限。近年來,神經網絡在時間序列預報領域的應用得到廣泛關注,作為一種新興的建模工具,其建模是一種自適應映射的過程,不作假設,理論比較合理,能避開未知因素的影響,并且在建模過程中對系統本身的結構、參數等信息沒有特別要求,有較好的適用性?；谝陨蟽牲c,在軌道預報中引入神經網絡,以改進預報方法。

關于神經網絡在軌道預報中應用的研究較少,文獻[3]根據 GPS衛(wèi)星星歷的相關周期特性,以時間序列預報作為基礎,利用神經網絡建立預報模型,在沒有任何動力學模型的情況下得到精度為一個星期數百米的預報結果。然而由于將衛(wèi)星位置量直接作為神經網絡的輸出,神經網絡的狀態(tài)量動態(tài)范圍大,限制了預報精度的提高。

將神經網絡與動力學模型相結合組成混合預報模型,旨在改進導航衛(wèi)星的中長期預報結果,其中神經網絡通過學習衛(wèi)星狀態(tài)量與力模型軌道預報的誤差之間的函數關系來掌握已知動力學模型的不足,在預報過程中為力模型預報進行補償,在不改變原有力模型的基礎上,充分利用已有信息提高預報精度。鑒于導航星軌道預報改進算法的現實需求以及 GPS衛(wèi)星的星歷精密已知,本文以GPS衛(wèi)星為研究對象探討混合模型對衛(wèi)星軌道預報方法的改進。

2 基于動力學模型軌道預報誤差的特點

神經網絡的引入是要建立針對力模型的補償模型,在混合模型中提供對力模型的預報誤差的補償。力模型軌道預報的誤差形態(tài)影響神經網絡的類型、結構、訓練集選取以及混合模型的結構,因此這里有必要先對它進行分析。

(1)首先給出PRN號為31的衛(wèi)星在2001-01-04日0時的衛(wèi)星的軌道預報誤差曲線,如圖1所示,這里給出在 X軸方向的誤差隨時間變化,另外兩個坐標分量上的誤差與之類似。

圖1 31號衛(wèi)星在2001-01-04日的軌道預報誤差Fig.1 Prediction error of PRN31 on 2001-01-04

由上圖可知,在40 d的預報弧段內,前5～6 d的軌道預報誤差保持在較小的范圍以內,而在6 d以后預報誤差發(fā)散嚴重。預報誤差形態(tài)呈擴散態(tài)并且具有周期性,周期接近于衛(wèi)星的繞行周期。

(2)力模型軌道預報的效果受多種因素的影響。而不同初始歷元(軌道預報的開始時間)下的軌道預報誤差大小有時往往會有很大的差別,為了更好地認識初始歷元對預報誤差的影響,這里以2001-01-04—2001-05-04每天的00:00:00時作為初始時刻,在此120個不同的初始時刻下分別進行40 d的軌道預報,圖2中按照時間順序分別給出此120個初始時刻下的位置預報誤差。為了便于分析,這里將各個時刻的數值按時間順序連成線,得到如圖2的結果。

圖2 31號星不同初始歷元下預報40 d的誤差大小Fig.2 40 d prediction error of PRN31 for deferent initial epoch

由上圖可知,對于31號星在同一力模型下預報同樣長度的弧段預報誤差有很大的差異,40 d的預報最大值從幾十米到上千米不等,120次試驗的平均值為350 m。同時預報誤差跟初始歷元之間存在著一定的規(guī)律:變化隨初始歷元的選取具有周期性、連續(xù)性,觀察可得相隔14 d的預報結果相近。

(3)對于特定的力模型而言,預報誤差隨不同的衛(wèi)星而有所差異,下面給出 PRN3的衛(wèi)星預報40 d的結果,如圖3所示。

由上面的圖形可知,對于不同的衛(wèi)星軌道預報的誤差變化及分布有所不同,但變化規(guī)律均可以總結為以下幾點:①預報誤差發(fā)散趨勢會隨著預報時間的延長而加劇;②預報誤差變化跟衛(wèi)星繞行周期有一定的關系;③預報誤差的大小隨著初始歷元的不同而有很大的差異,同時又與初始歷元之間有一種連續(xù)性、周期性的關系。

圖3 3號星在不同初始歷元下預報40 d的誤差大小Fig.3 40 d prediction error of PRN3 for deferent initial epoch

3 混合模型的建立

在神經網絡的實際應用中,其逼近模型的精度是有限的。如引言中所述,為減少神經網絡所需逼近的范圍,采用混合建模的方法,神經網絡僅充當對動力學模型中不確定部分的補償。基于這一思想構造了如圖4和圖5所示的混合模型。

圖4 基于神經網絡的混合模型結構圖(訓練階段)Fig.4 The hybrid model structure based on neural network(training phase)

圖5 基于神經網絡的混合模型的結構圖(預報階段)Fig.5 The hybrid model structure based on neural network(predicting phase)

在圖4中,IGS星歷為 GPS衛(wèi)星的精密星歷,用作衛(wèi)星實際位置信息以衡量動力學模型及混合模型的預報精度。動力學模型的預報星歷X、V、T與其誤差ΔX作為神經網絡的訓練樣本,其中預報星歷 X、V、T作為神經網絡的輸入,預報誤差ΔX作為神經網絡的理想輸出。

在訓練過程中神經網絡逼近如式(1)所示的函數關系,經過訓練的神經網絡將在圖5所示的預報過程中為動力學模型預報提供補償,混合模型的預報星歷、T的表達式為式(2)。

式中,預報初值 X0、V0、T0由 GAMIT軟件計算獲得,對兩天觀測資料的擬合精度優(yōu)于0.05 m,接近IGS星歷本身的精度,本文中可不考慮初值精度對預報誤差的影響。動力學模型參考GAMIT軟件,由于在仿真過程中發(fā)現Bernese光壓模型在長期預報中的表現較差,因此這里選用長期預報較穩(wěn)定的SRDYZ模型,其模型表達式參考文獻[4]。

4 混合模型的預報方案

在正確的訓練條件下,完成訓練的神經網絡具備一定的外推能力,可保證一定時間內輸出的準確性。

由前面的討論可知,對于 GPS衛(wèi)星的動力學模型預報結果,10 d后的預報誤差數值變化范圍大,發(fā)散趨勢難以精確把握,因此對于中長期預報(預報弧段大于15 d)無法采用直接外推的方法完成預報。盡管如此,根據第2節(jié)得到的特點(2)和特點(3),給出如下的預報方案:

(1)某初始時刻下的預報誤差作為訓練樣本完成對神經網絡的訓練;

(2)利用訓練完的神經網絡在其他初始時刻下的預報結果提供補償。

第2節(jié)中對 GPS衛(wèi)星在不同時刻下的預報誤差進行分析,得出相隔14 d時預報誤差大小和相位均較接近,因此選擇14 d(或其整數倍)之前的預報結果作為訓練樣本,得到的神經網絡可對當前時刻下的預報星歷進行補償。

上述預報方案的具體實現如表1所示,其中由于 T1＜T0,因此訓練弧段的長度最大為14 d,相應地能夠在預報過程中提供的補償弧段長度為14 d左右。如需延長補償弧段,則要增長訓練樣本的時間跨度,具體方法是以 T0-28、T0-42作為訓練的初始時刻。

其中

為方便表達,定義表達式 Z(a:b,c)model來表示某弧段內的相關信息,其中 Z為狀態(tài)量的符號,model為計算該量所用的模型,a為初始歷元時刻,b為弧段的開始時刻,c為該弧段的結束時刻;X、V分別為星歷的位置、速度信息;ΔX是星歷的位置誤差量;T0為某一歷元時刻;T0-14是離 T0距離14 d時的時刻;T1為訓練弧段的截止時刻;T2為預報弧段的截至時刻。各量右上標中,DM為動力學模型;ANN為神經網絡模型;HM為混合模型。

表1 中長期預報方案Tab.1 The middle and long duration prediction scheme

5 神經網絡設計

在神經網絡應用中為保證網絡性能以完成預定任務,需要認真考慮訓練集預處理、網絡結構設定及訓練算法等。這里網絡的性能主要表現在訓練效率及泛化能力,泛化能力是指辨識訓練樣本中所隱藏的規(guī)律,并且當被輸入樣本以外數據時,網絡能正確地反映這種規(guī)律的能力。關于網絡泛化能力的相關討論及改進措施,文獻[5]進行了翔實的總結,這里介紹本文中涉及的幾種方法。

有時訓練完的神經網絡會對輸入有較高的敏感性,即輸入中的細小偏差會導致輸出的極大不同,從而表現出很差的泛化能力。這時在訓練樣本中適當加入噪聲可以使網絡輸出對網絡的輸入變化的敏感性逐漸減少[6]。

神經網絡結構對網絡的性能影響尤為重要,如何確定合適的結構是神經網絡設計中的難點,結構太簡單會導致網絡“欠適配”,結構過于復雜則會導致網絡“過適配”,一般的共識是在滿足一定訓練精度的基礎上,網絡結構越簡單泛化能力越好。在實際應用中,可以根據先驗信息在訓練開始前確定,也可利用自裁剪算法在訓練過程中動態(tài)確定,文獻[7]介紹了一種較為可行的自裁剪算法,其基本思想是在訓練過程中使對目標函數貢獻較小的權值自動地衰減到零,從而達到精簡網絡結構的目的。根據 Kolmogorov定律確定初始隱層節(jié)點數,并在試驗過程中根據結果不斷調整,其準則為在滿足一定訓練精度的情況下,網絡結構盡量簡單。

在神經網絡的訓練過程中,目標函數正則化的方法是通過限制權值的范圍來提高泛化能力的,此時目標函數的形式為

式中,Ed為神經網絡輸出量相對于理想輸出誤差的平方和;Ew為所有權值的平方和。

如式(6)和式(7)所示。式中,d為網絡的理想輸出;a為網絡實際輸出;β、α為正則化的權值。確定β、α的大小是求解正則化問題的關鍵,常規(guī)的正則化方法難以確定它們的大小,而貝葉斯正則化的方法可以在網絡訓練過程中自適應地對它們進行調整,使其達到最優(yōu)。David Mackay在貝葉斯框架下,認為神經網絡參數和訓練集的先驗概率服從正態(tài)分布,由后驗概率最大化求解出β、α[8]

式中,M是樣本中輸出維數與樣本數的乘積;γ用來表示訓練樣本中網絡參數的有效個數,γ=n-2αtr(H)-1,n是網絡中所有權值的個數,H是目標函數的 Hessian矩陣,其計算量很大,文獻[9]中采用了 Gauss-Newton法來近似計算 Hessian矩陣,提高了運算效率。在MATLAB的神經網絡工具箱中,訓練函數trainbr()采用基于Levenberg-Marquardt的貝葉斯正則化方法,在訓練過程中兼顧泛化能力。本文神經網絡模型的訓練過程由trainbr()函數完成。

6 仿真試驗及結果

為了驗證混合模型的改進效果,以 UTC 2001-01-05 T23:59:47.00時作為訓練初始時刻 ,對 PRN31、PRN7、PRN6、PRN3、PRN27、PRN19分別進行中長期預報和長期預報試驗,其中中長期預報的預報弧段為15 d,長期預報為30 d、40 d,長期預報的預報方案與中長期時的相似,只是在訓練樣本中注入了適當的隨機誤差。通過與IGS星歷的比對得出混合模型的預報精度和動力學模型的預報精度,得到如下的仿真結果。

6.1 中長期預報仿真結果

根據中長期預報方案,以14 d前的預報信息作為訓練樣本,在下新初始時刻下進行預報,預報弧段為15 d,訓練樣本按30 min的間隔進行采樣。對PRN31衛(wèi)星,訓練完成后 SS E=29,SSW=24,訓量過程用時為20 s,混合模型及相應的動力學模型的預報誤差如圖6所示。由圖6可以看出,雖然混合模型在前幾天內的預報精度不高,但其誤差發(fā)散趨勢明顯比動力學模型的緩慢,15 d的預報誤差為45 m,而動力學模型預報誤差為130 m,可見混合模型控制誤差了發(fā)散趨勢,改進效果明顯。

圖6 PRN31中長期預報中混合模型和動力學模型誤差曲線(J2000地心慣性系下)Fig.6 The long duration prediction error curve of PRN31 when hybrid model and dynamic model used(J2000 inertial reference frame)

表2是混合模型和動力學模型的預報15 d的誤差,通過對比可知混合模型在預報4 d時的改進效果不是很明顯,對于 PRN31、PRN7、PRN6、PRN3 4顆衛(wèi)星,其誤差大小與動力學模型相近,然而在8 d時,混合模型的預報誤差改進效果比較明顯,對6顆衛(wèi)星均有50%左右的改進效果,并且保持到了15 d。表2列出在中長期預報中混合模型對動力學模型的改進程度。

由表2可知,混合模型對6顆衛(wèi)星都有一定的改進效果,除了PRN27衛(wèi)星外其他5顆衛(wèi)星的改進均優(yōu)于60%,并且除“星蝕”衛(wèi)星以外的其他5顆衛(wèi)星預報誤差均在 50 m以內。對于PRN19,由于發(fā)生了“星蝕”,動力學模型預報誤差較大,達到了近400 m,因此在改進66%的情況下混合模型預報誤差依然比其他衛(wèi)星要大。

表2 混合模型和動力學模型對6顆衛(wèi)星的中長期預報誤差對比Tab.2 The comparison of prediction error between hybrid model and dynamic model for 6 satellites /m

6.2 長期預報仿真結果

根據中長期預報方案,為了實現30 d、40 d的預報,分別采用28 d、42 d之前的動力學模型預報結果作為訓練樣本,另外需在訓練樣本中注入適當噪聲以提高網絡的泛化能力。在仿真過程中發(fā)現,輸入噪聲的量級采用輸入量的1%～5%時較為合適,利用MATLAB中rand函數獲得。對于PRN31,混合模型及相應的動力學模型的預報誤差如圖7和圖8所示,可以確定的是,以長度為28 d、42 d的預報結果作為訓練樣本使混合模型實現了在30 d、40 d長期預報中對誤差發(fā)散趨勢的控制。

圖7 PRN31長期預報30 d混合模型和動力學模型誤差曲線(J2000地心慣性系下)Fig.7 The 30 d prediction error curve of PRN31 when hybrid model and dynamic model used(J2000 inertial reference frame)

圖8 PRN31長期預報40 d混合模型和動力學模型誤差曲線(J2000地心慣性系下)Fig.8 The 40 d prediction error curve of PRN31 when hybrid model and dynamic model used(J2000 inertial reference frame)

表3 混合模型與動力學模型對6顆衛(wèi)星的30 d預報誤差對比Tab.3 The comparison of prediction error between hybridmodel and dynamic model for 6 satellites in 30 d/m

表3分別是混合模型和動力學模型預報30 d的誤差,同時,表中列出了混合模型的改進程度。其中PRN6在預報第25 d進行了軌道機動,混合模型失去改進的作用?；旌夏Ｐ蛯ζ渌l(wèi)星的改進效果明顯,除發(fā)生“星蝕”的 PRN19外,均取得了50%左右的改進效果,PRN19的預報誤差較大,改進效果不佳。

表4 混合模型與動力學模型對6顆衛(wèi)星的40 d預報誤差對比Tab.4 The comparison of prediction error between hybrid model and dynamic model for 6 satellites in 40 d/m

表4是預報40 d時兩種模型的預報誤差,PRN6的訓練開始時刻選擇了2001-02-04,這樣可以避開軌道機動。對比表中數據,6顆衛(wèi)星均取得了較理想的改進效果,表中列出預報40 d時混合模型的改進程度,可見改進效果在50%左右。

對于具體的預報過程,先采用短期預報方案保證前幾天的預報精度,然后采用中長期預報方案對誤差發(fā)散趨勢進行控制,從而完成在整個弧段內的預報。

6.3 不同初始時刻下的仿真結果

對于任何預報模型,在不同的初始時刻下預報誤差的形態(tài)都會有一定的差異。為了把握補償方案的改進性能,需要研究其在不同初始時刻下的改進效果,為了方便與 IGS星歷進行比較,選擇2001-01月—2001-04月的100 d中每天的UTC 23:59:47時作為初始時刻,在各個時刻下進行預報記錄混合模型的改進。

圖9是 PRN31在100個初始時刻下混合模型的改進結果,可以發(fā)現混合模型雖然不能保證每次都能取得改進,但是卻能保證預報誤差整體比動力學模型要小,其中的柱狀圖中可見,混合模型的預報誤差分布比動力學模型要集中,并且明顯左移。

圖9 PRN31在100個不同初始時刻下動力學模型和混合模型預報15 d的誤差Fig.9 The 15 d prediction error of PRN31 when hybrid model and dynamic model used for deferent initial epoch

表5是 PRN31和 PRN3兩顆衛(wèi)星在100個初始時刻下,預報誤差的統計結果?？梢?對于PRN31、PRN3兩顆衛(wèi)星,混合模型在100個不同初始時刻下共有70次具有明顯的改進效果,并且混合模型預報誤差的平均值、標準差和最大值均比原動力學模型要小。改進效果在70%左右。

表5 PRN31和PRN3在100個不同初始時刻下兩個模型預報15 d的誤差統計Tab.5 The statistic of 15 d prediction error of PRN31 and PRN3 when hybrid model and dynamic model used for 100 deferent initial epoch

在100個不同初始時刻的統計結果說明盡管混合模型無法保證在每個初始時刻下都取得理想的改進效果,但其預報誤差的均值更小,誤差分布更集中。

7 結 論

基于神經網絡混合建模的思想,根據動力學模型軌道預報誤差的特點,完成中長期軌道預報方案的設計,通過仿真試驗,證明混合模型的特點有:

(1)神經網絡訓練可以在1 min內完成,相對預報弧段的長度來說,可以做到實時預報。

(2)混合模型在中長期預報中能有效地控制預報誤差的發(fā)散趨勢,保證模型在長期預報中的改進。

(3)盡管混合模型無法保證在每個初始時刻下都取得理想的改進效果,但其預報誤差的均值更小,誤差分布更集中。

另外,雖以 GPS衛(wèi)星作為研究對象,但由于神經網絡的自適應學習能力,混合模型的方法在理論上完全可以推廣到其他衛(wèi)星,只是其他衛(wèi)星的精密星歷相關信息缺乏,需另外計算或者以其他信息代替。

[1] SPRINGER T A,BEUTLER G,ROTHACHER M.New Solar Radiation Pressure Model for GPS Satellites[J].GPS Solutions,1999,2(3):50-62.

[2] ZHAN G Ruwei,LIU Genyou.Study of L EO Satellite Orbit Fit and Prediction Method[J].Geodetic and Geodynamic,2008,28(4):115-120.(張如偉,劉根友.低軌衛(wèi)星軌道擬合及預報方法研究[J].大地測量與地球動力學,2008,28(4):115-120.)

[3] LIU Tianlei.Estimate of GPS Satellite Orbit and Ephemeris with Quasi Neural Network and Polynomial Curve Fit[D].Taibei:Taiwan University of Science and Technology,2007.(劉添雷.應用類神經網路與多項式曲線擬合估測GPS衛(wèi)星軌道與星歷[D].臺北:臺灣科技大學,2007.)

[4] CHEN Junping.The Sun Radiation Model Used in GPS Watellite Orbit Determination[J].Astronomy,2006,47(3):310-319.(陳俊平.GPS定軌中的太陽輻射壓模型[J].天文學報,2006,47(3):310-319.)

[5] WEI Haikun.The Functionality Ability and Functionality Method of Neural Network[J].Journal of Automatic,2007,27(6):806-813.(魏海坤.神經網絡的泛化能力與泛化方法[J].自動化學報,2007,27(6):806-813.)

[6] MA TSUO KA K.Noise Injection into Inputs in Backpropagation Learning[J].IEEE Transactions on Systems,Man and Cybernetics,1992,22(3):436-440.

[7] ISHIKAWA M.Structural Learning with Forgetting[J].Neural Network,1996,9(3):509-521.

[8] MACKAY D J C.Bayesian Interpolation[J].Neural Computation,1992,4(3):415-447.

[9] FORESEE F D,HAGAN M T.Gauss-Newton Approximation to Bayesian Learning[C]∥Proceedings of the IEEE International Joint Conference on Neural Networks.Houston:[s.n.],1997:1930-1935.

(責任編輯:雷秀麗)

A Long Duration Orbit Prediction Method for Navigation Satellite

ZHOU Jianhua1,YANGLong1,XU Bo2,XIE Tingfeng1
1.Beijing Global Information Application and Development Center,Beijing 100094,China;2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China

A hybrid prediction model based on neural network is introduced for navigation satellite.The new model is based on dynamical model and the neural network model is adopted to modify it.During the training phase,neural network model tries to approach the difference of dynamical model prediction product,then compensate it in the prediction phase.The characteristics of DMM prediction error for GPS are explored,and then predition strategy for long term(longer than 15 d)is designed.At the last,a group of tests on GPS satellites are processed to prove and evaluate the performance of the new method,the test results show that the improvement for 15～40 d prediction is obvious.

orbit prediction;artificial neural network;dynamical model;hybrid model

ZHOU Jianhua(1962—),female,PhD,research fellow,majors in satellite navigation and precise orbit determination.

P228

:A

1001-1595(2011)S-0039-07

2011-01-28

修回日期:2011-03-22

周建華(1962—),女,博士,研究員,主要從事衛(wèi)星導航與精密定軌技術研究。

E-mail:jianhua.zhou@yahoo.cn