關(guān)于 Burger s方程族的解的注記

胡六鋒, 張大軍

(上海大學(xué)理學(xué)院,上海 200444)

關(guān)于 Burger s方程族的解的注記

胡六鋒, 張大軍

(上海大學(xué)理學(xué)院,上海 200444)

討論等譜與非等譜 Burgers方程族的精確解.兩個(gè)方程族都可以通過(guò) Cole-Hopf變換化為線性形式,利用Wronskian方法中Wronskian元素的構(gòu)造技巧給出若干不同形式的精確解,研究這些解之間的關(guān)系及動(dòng)力學(xué)特征.

Burgers方程族;精確解;動(dòng)力學(xué)特征

Burgers方程是流體力學(xué)中基本的偏微分方程之一,應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域,如氣體動(dòng)力學(xué)模型、湍流模型、交通流模型等[1-2].該方程可通過(guò) Cole-Hopf變換[3-4]線性化,該線性化會(huì)直接導(dǎo)致其孤子的特殊碰撞行為:分解或融合 (t→ -t)[5-6].由 Lax的可積性可知,Burgers方程與譜問(wèn)題 φx=(u+λ)φ或 Levi族[7]密切相關(guān),因此,能導(dǎo)出等譜與非等譜 Burgers方程族[8-9].

本工作主要研究Burgers方程族的解.首先通過(guò)Cole-Hopf變換得到方程族的線性形式,然后討論其精確解,應(yīng)用文獻(xiàn) [10-11]中構(gòu)造 Wronskian元素的技巧,給出 Burgers方程族更多的解,并能清楚地分析這些解之間的相互關(guān)系.

1 Burger s方程族及其線性化

首先,回顧 Burgers方程族的 Lax可積性.不同于文獻(xiàn)[9],本研究考慮下面的線性問(wèn)題[7-8]:

式中,A和B分別為位勢(shì) u和譜參數(shù)λ的待定函數(shù).由相容性條件 φxxt=φtxx,得

式中,

式中 ,T=?+u+ux?-1=?(?+u)?-1.如果取λt=λn+1,(a0,b0)=(a,x),則由式 (2)可得非等譜方程族為

特別地,當(dāng) n=1時(shí),式 (3)給出的 Burgers方程為

而式 (4)給出的非等譜 Burgers方程為

式 (5)和 (6)的 Lax對(duì)都可由式 (1)表示.與式 (5)對(duì)應(yīng)的 Lax對(duì)中,A=aλ-ux,B=λ+u;與式 (6)對(duì)應(yīng)的 Lax對(duì)中 ,A=aλ-xux-u,B=x(λ+u).

等譜與非等譜 Burgers方程均可化為線性方程[9].由 Cole-Hopf變換[3-4]

及式 (3),可得

或

進(jìn)而,有

式中,

重復(fù)利用式 (7),最后得出

式 (8)為式 (3)的線性化形式,因此,只需討論式(8).

類似地,非等譜 Burgers方程 (4)的線性形式為

2 Burger s方程族的解

2.1 基本解與一般解

本節(jié)討論 n≥1時(shí) Burgers方程族的解.式 (8)的一個(gè)基本解為

式中,kj,為常數(shù).利用Wronskian元素的構(gòu)造方法[11],可生成式 (8)的其他 2種形式的解,即

且式 (11)和 (12)是線性無(wú)關(guān)的.

為了方便應(yīng)用,將式 (8)的 4種基本解列出:

于是,可得等譜 Burgers方程族 (3)的一般解為

式中,a0,aj,aj,s,aj,s,0為任意常數(shù).

類似地,對(duì)于非等譜 Burgers方程族 (4)的線性形式 (9),也可得到 4種基本解:

式中,b0,bj,bj,s,bj,s,0,cj,dj均為任意常數(shù).

為了下文分析等譜和非等譜 Burgers方程 (n=1)的動(dòng)力學(xué)特征,在此列出前幾個(gè) f1,j,s,f1,j,s,0和g1,j,s,g1,j,s,0的具體表達(dá)式.

圖 1 等譜 Burger s方程的解Fig.1 Solution for the isospectral Burger s equation

圖 2 非等譜 Burgers方程的解Fig.2 SolutionforthenonisospectralBurgersequation

3 結(jié) 束 語(yǔ)

本研究借助 Wronskian方法中構(gòu)造 Wronskian元素的技巧,得到等譜與非等譜 Burgers方程族的一般解,討論了等譜與非等譜 Burgers方程某些解之間的關(guān)系,并進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析.

[1] BURGERS JM.The nonlinear diffusion equation[M].Boston:Kluwer Aca,1974.

[2] WHITHAM GB.Linear and nonlinear waves[M].New York:Wiley-Interscience,1974.

[3] HOPF E.The partial differential equation ut+uux=uxx[J].Comm Pure Appl Math,1950,3:201-230.

[4] COLE JD.On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics[J].Quart Appl Math,1951,9:225-236.

[5] HIETARINTA J. Scattering of solitons and dromions[M]∥PIKE R,SABATIER P.Scattering:scattering and inverse scattering in pure and applied science.London:Academic Press,2002:1773-1791.

[6] WANG S,TANG X Y,LOU S Y.Soliton fission and fusion: Burgers equation and Sharma-Tasso-Olver equation[J].Chaos Solitons and Fractals,2004,21:231-239.

[7] LEV I D.Nonlinear differential difference equations as B?cklund transformation[J].J Phys A:Math Gen,1981,14:1083-1098.

[8] 陳登遠(yuǎn).孤子引論[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

[9] LEV ID,RAGNISCO O,BRUSCHI M.Continuous and discrete matrix Burgers’hierarchies [J]. Nuovo Cimento B,1983,74:33-51.

[10] MA W X,YOU Y C.Solving the Korteweg-de Vries equation by its bilinear form:Wronskian solutions[J].Trans Ame Math Soc,2005,357:1753-1778.

[11] ZHANG D J.Notes on solutions in W ronskian form to soliton equations: KdV-type [J/OL]. arXiv:nlin/0603008v3,2006:1-45.[2006-06-28].http:∥www.arxiv.com/abs/nlin/0603008.

[12] Exact solutions to the Burgers equations[EB/OL].[2010-12-11].http:∥eqworld.Tpmnet.ru/en/solutions/npde/npde1301.pdf.

Notes on Solutions to Burger s Equation Hierarchies

HU Liu-feng, ZHANGDa-jun
(College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)

We consider exact solutionsfor the isospectral and nonisospectral Burgershierarchies.The two hierarchies can be linearized through the Cole-Hopf transformation. Solutions are given using the technique for selecting Wronskian entries.Relationship between some solutions and their dynamic characteristics are investigated.

Burgers equation hierarchies;exact solutions;dynamic characteristics

O 175

A

1007-2861(2011)01-0094-06

10.3969/j.issn.1007-2861.2011.01.016

2009-09-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071157);上海市教委重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(J50101)

張大軍 (1971～),男,教授,博士生導(dǎo)師,博士,研究方向?yàn)楣铝⒆永碚撆c可積系統(tǒng).E-mail:djzhang@staff.shu.edu.cn

(編輯:孟慶勛)