分擔(dān)集合的亞純函數(shù)的正規(guī)性

劉克笑(湖南懷化學(xué)院預(yù)科部，湖南懷化418008)

分擔(dān)集合的亞純函數(shù)的正規(guī)性

劉克笑
(湖南懷化學(xué)院預(yù)科部，湖南懷化418008)

從分擔(dān)值以及分擔(dān)集合角度出發(fā)，研究亞純函數(shù)與其高階導(dǎo)數(shù)分擔(dān)集合的正規(guī)性及亞純函數(shù)與其一階導(dǎo)數(shù)在分擔(dān)集合情況下的正規(guī)定則，結(jié)果改正推廣了前人的結(jié)果.

亞純函數(shù);分擔(dān)值;高階導(dǎo)數(shù);正規(guī)族

定義1設(shè)f與g為D內(nèi)的亞純函數(shù)，a1，a2，a3為三個(gè)互相判別的有窮復(fù)數(shù)，我們稱f與g分擔(dān)集合S={a1，a2，a3}，如果

利用分擔(dān)值理論研究亞純函數(shù)的正規(guī)性是亞純函數(shù)正規(guī)族理論研究的一個(gè)重要課題，這方面工作最早由W.Schwick開始研究［1］，后來(lái)國(guó)內(nèi)許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)這方面做了許多卓有成效的工作，得到了許多重要的結(jié)果［2－5］.

在2007年，劉曉俊和龐學(xué)誠(chéng)證明了［6］

定理1設(shè)F為定義在D內(nèi)的一族亞純函數(shù)，a，b，c為三個(gè)互相相判別的有窮復(fù)數(shù)，如果對(duì)于任意的f∈F，f∈S={a，b，c}f/∈S，那么F在D內(nèi)正規(guī).

在2008年，劉克笑和龐學(xué)誠(chéng)證明了［7］

定理2設(shè)F為定義在D上的一族亞純函數(shù)，a，b，c為三個(gè)互不相等的有窮復(fù)數(shù)，如果對(duì)于任意f∈F，f(z)=af(k)(z)=a，f∈{b，c}f(k)(z)∈{b，c}，且f－a的零點(diǎn)重級(jí)至少是k，那么F在D內(nèi)正規(guī).

在2010年，劉克笑證明了［8］

定理3設(shè)F為定義在D上的一族亞純函數(shù)，a，b，c為三個(gè)互不相等的有窮復(fù)數(shù)，如對(duì)于任意的f∈F，f(z)=aL(z)=a，f∈{b，c}L(f)∈{b，c}，且f－a的零點(diǎn)重級(jí)至少是k，這里L(fēng)(f)=f(k)(z) +a1(z)f(k－1)(z)+…+ak(z)f(z)，a1(z)(i=1，2，…，k)在D內(nèi)解析，那么F在D內(nèi)正規(guī).

本文繼續(xù)研究亞純函數(shù)分擔(dān)二元集合的正規(guī)性，對(duì)亞純函數(shù)族中的函數(shù)極點(diǎn)重?cái)?shù)以及集合中的元素做一定的要求，得到了相應(yīng)的結(jié)果.

1 相關(guān)引理

引理1［9］設(shè)F是單位圓盤D上的一族亞純函數(shù)，如果對(duì)任意f∈F，f的零點(diǎn)重級(jí)至少是k，及f(z)=0，存在一個(gè)正數(shù)A，使得|f(k)(z)|A(A1)，那么如果F在D上不正規(guī)，存在:

(ⅰ)實(shí)數(shù)r，0＜r＜1;

(ⅱ)點(diǎn)列{zn}，|zn|＜r;

(ⅲ)函數(shù)列fk∈F;

(ⅳ)正數(shù)列ρn→0+，使得gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)在C上按球面距離內(nèi)閉一致收斂于一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)g(ζ)，且g#(ζ)g#(0)=kA+1，g(ζ)的級(jí)至多是2.這里g#(ζ)=稱為球面導(dǎo)數(shù).

引理2設(shè)f是C上的亞純函數(shù)，a是非零的有限復(fù)數(shù)，如果f只有有限多個(gè)零點(diǎn)，且Ef(0)= Ef(k)(a)，那么f是有理函數(shù).

引理3設(shè)f是C上的亞純函數(shù)，a1，a2是兩個(gè)判別的有限復(fù)數(shù)，S={a1，a2}，如果f只有有限多個(gè)零點(diǎn)，且(0)=(s，f(k))，那么f是有理函數(shù).

2 主要結(jié)果及證明

定理4設(shè)F為定義在D上的一族亞純函數(shù)，令S={a，b}，這里a，b是兩個(gè)互不相等的有限復(fù)數(shù)，如果對(duì)于任意f∈F，f的極點(diǎn)重?cái)?shù)2，則滿足下列條件之一，那么F在D內(nèi)正規(guī).

⑵E(S，f)=E(S，f(k))，且a+b≠0;

證明不妨設(shè)D為單位圓盤.若F在D上不正規(guī)，由引理1有，正數(shù)列ρn→0+，點(diǎn)列{Zn}，|Zn|＜1函數(shù)列fn∈F，使得gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)在C上按球面距離內(nèi)閉一致收斂于一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)g(ζ)，且g(ζ)的極點(diǎn)重?cái)?shù)至少是2，g(ζ)的級(jí)至多是2.

可以得到:

②{Gn(ζ)}在g(ζ)－a的零點(diǎn)不正規(guī).

事實(shí)上，設(shè)存在ζ0使得g(ζ0)－a=0，若{Gn(ζ)}在ζn處正規(guī)，即存在{Gn(ζ)}的子列，不妨仍然記為{Gn(ζ)}.因?yàn)間(ζ)－a0，則由Hurwitz's定理，存在ζn→ζ0，使得fn(zn+ρnζn)= gn(ζn)=a.即G(ζ0)=0.由零點(diǎn)的孤立性，存在正數(shù)δ使得g(ζ)≠a在區(qū)域△δ={0＜|ζ－ζ0|＜δ}D上成立.因此對(duì)于任意的ζ∈△δ，對(duì)于充分大的n，有G(ζ)=∞，矛盾，所以斷言②成立.

設(shè)ζ0是g(ζ)－a的一個(gè)零點(diǎn)，再次運(yùn)用引理1，有:

可以斷言:

③(ⅰ)F(t)僅有有限個(gè)零點(diǎn);

(ⅱ)F(t)=0F(k)(t)∈S設(shè)ζ0是g(ζ)－a的k重零點(diǎn)，如果存在k+1個(gè)復(fù)數(shù)t1，t2，…，tk+1，使得F(tj)=0，j=1，2，…，k+1.

由于F(t)0，由Hurwitz's定理存在N，對(duì)于n＞ N，有Fn(tnj)=0，j=1，2，…，k+1.而gn(ζn+ηntn)－a=0且ζn+ηntnj→ζ0，則ζ0是g(ζ)－a的k+ 1重零點(diǎn)，矛盾，所以(ⅰ)成立.

可得H(t)≠0，H(t)≠∞，且H(t)是一個(gè)有理函數(shù)，于是H(t)是一個(gè)常數(shù)，這與F(t)是多項(xiàng)式矛盾.

設(shè)F(t)的次數(shù)q2，且qk，q＜k是不可能的.否則F(k)(t)≡0，這與珔E(S，f)=珔E(S，f(k))矛盾.當(dāng)q=1時(shí)由上面的證明這是不可能的.

情形1 q3.

定理5設(shè)F為定義在D上的一族亞純函數(shù)，令S={a，b}，這里a，b是兩個(gè)互不相等的有限復(fù)數(shù)，如果對(duì)于任意f∈F，f的極點(diǎn)重?cái)?shù)2，E珔(S，f)=E珔(S，f/)，f/(z)－a或f/(z)－b僅有簡(jiǎn)單零點(diǎn)，且na+mb≠0，這里m，n均為整數(shù)，則F在D內(nèi)正規(guī).

證明對(duì)定理4⑴中取k=1，由定理1⑴的證明，只須證明ab≠0的情形即可.證明方法與過(guò)程和定理4相似，不再重復(fù).

［1］Schwick W.Sharing values and normality［J］.Arch Math，1992，59:50－59.

［2］Pang X C，Zalcman L.Normality and shared values［J］.Ark Mat，2000，3:171－182.

［3］Chang JM.A normal family of concerning shared value［J］.Science in china press，2009，4:399－404.

［4］Pang X C.Shared values and normal Families［J］.Analysis，2002，5:175－182.

［5］Pang X C，Zalcman L.Normality and shared values［J］.Bull London Math Soc2000，2:325－331.

［6］Liu X J，Pang X C.Shared values and noamal families［J］.Acta Math Sin－Chinese Ser，2007(2):409－412.

［7］LIU K X，Pang X C and Liu X J.Normality concerning higher derivative in meromorphic functions and shared values［J］.Journal of kashgar teachers college，2009，3:13－15.

［8］LIU K X.A Normal Family Of Concerning Shared Value［J］.Journal of Guizhou Normal Uniwersity(Natural Sciences)，2010，3:69－72.

［9］PANG X C.Blochand normal criterion［J］.Sci China ser A，1989，32:782－791.

(責(zé)任編輯:王宏志)

Abstract:Researching the problem ofmeromorphic functions and its higher derivative shared values，and using the idea of shared－set，we prove result on normal families ofmeromorphic functions that share setwith derivatives，which improve some result given by the predecessors.

Key words:meromorphic function;shared value;higher derivative;normal family

Normality of M eromorphic Functions Concerning Shared－set

LIU Ke－xiao
(Preparatory Department，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008，China)

O174.52

A

1008－7974(2011)04－0003－04

懷化學(xué)院青年基金(HHUQ2009－17).

2011－01－06

劉克笑(1973－)，湖南辰溪人，碩士，湖南懷化學(xué)院預(yù)科部講師.