關于平方根整數(shù)部分的一個恒等式的推廣

管 訓 貴

(泰州師范高等專科學校 數(shù)理系，江蘇 泰州 225300)

關于平方根整數(shù)部分的一個恒等式的推廣

管 訓 貴

(泰州師范高等?？茖W校 數(shù)理系，江蘇 泰州 225300)

設 a,b 都是正整數(shù).本文證明了：對不小于的?正整數(shù) m,n，若

平方根；整數(shù)部分；恒等式；推廣

1 引言及主要結論

對于實數(shù)a，用[a]表示不超過a的最大整數(shù)．顯然0≤a＜1時，有[a]=0．這是數(shù)論及其相關領域的一個重要函數(shù)，許多數(shù)學工作者曾對此有過大量的研究[1]．比如，Gauss就曾通過有關有理數(shù)整數(shù)部分的一個恒等式證明了數(shù)論中著名的“二次互反律”[2]．

對大于2的正整數(shù)n和非負整數(shù)m，設

最近，Bencze M[3]對此提出了以下問題：對于任意的n(n≥3)和m(m≥0)是否都有f(n)=g(m)？樂茂華[4]證明了：當n≥3且m≥0時，如果n≠4且m≠2，則必有f(n)=g(m)=0．

本文將這一問題進行推廣，得到了如下結果：

則必有f(n)=g(m)=a -1．

2 關鍵性引理

3 定理證明

結合(1)與(4)及引理，我們有：

(Ⅰ) 若a,n同奇同偶，則

由(Ⅰ)～(Ⅳ)知，定理得證．

[1] DICKSON L E. History of the theory of numbers:Vol I [M]. Washington:Camegie Institution,1919:106-138.

[2] BACHMANN P. Niedere Zahlentheorie [M]. Leipzig:Teubner,1910:75-89.

[3] BENCZE M. Proposed problem 8869[J]. Octogon Math.Mag,2005,13(2):1172.

[4] 樂茂華.關于平方根整數(shù)部分的一個恒等式[J].衡水學院學報,2007,9(1):41-42.

Abstract:Let a and bare positive integers. In this paper we prove that for any positive integers m and n , withthenf(n)=g(m).

Key words:square root; integral part; identity; generalization

(責任編校：李建明英文校對：李玉玲)

Generalization for the Identity on the Integral Parts of Square Roots

GUAN Xun-gui

(Mathematics ＆ Physics Department of Taizhou Normal College, Taizhou, Jiangsu 225300, China)

O156

A

1673-2065(2011)01-0010-02

2010-09-12

泰州師范高等?？茖W校重點課題資助項目(2009-ASL-042)

管訓貴(1963-),男,江蘇省興化人,泰州師范高等?？茖W校數(shù)理系副教授.