考慮腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)的跳躍機(jī)器人動(dòng)力學(xué)與軌跡規(guī)劃

胡勝海，徐鵬，鄧?yán)ば?，郭?/p>

(哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

隨著機(jī)器人研究領(lǐng)域向地形復(fù)雜化、環(huán)境非結(jié)構(gòu)化、任務(wù)自主化的方向擴(kuò)展，要求機(jī)器人具有更強(qiáng)的自主性、自治性、移動(dòng)性和地形適應(yīng)性.在這些新的任務(wù)和形勢下，相比輪式或履帶式機(jī)器人，腿式跳躍機(jī)器人將越發(fā)受到重視［1］.最早的跳躍機(jī)器人模型是由Raibert等研制的彈性負(fù)載倒立擺模型，即SLIP模型［2］，隨后的跳躍機(jī)器人的研究大多是基于SLIP模型.眾所周知，SLIP模型假定系統(tǒng)質(zhì)心位置始終保持在股關(guān)節(jié)上，而這與自然界中動(dòng)物關(guān)節(jié)腿生物學(xué)特征不符.近年來，研究者正試圖研制能夠很好地體現(xiàn)動(dòng)物跳躍運(yùn)動(dòng)原理的多關(guān)節(jié)腿式模型［3-5］.但是這些機(jī)器人在建立動(dòng)力學(xué)模型時(shí)都很少考慮腳掌的轉(zhuǎn)動(dòng)對跳躍運(yùn)動(dòng)的影響.

本文研制了一種由旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成的單腿平面跳躍機(jī)器人.腳掌與地面的柔順關(guān)系設(shè)計(jì)為彈簧-阻尼模型.在存在腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)的起跳相和落地相，由于足尖與地面的接觸存在被動(dòng)自由度，機(jī)器人模型變?yōu)榍夫?qū)動(dòng)的.基于跳躍機(jī)器人等價(jià)的二連桿模型進(jìn)行了跳躍運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃，并給出了一個(gè)期望軌跡與實(shí)際軌跡非線性誤差最小化的曲線方程.

1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)與跳躍運(yùn)動(dòng)序列

雙關(guān)節(jié)跳躍機(jī)器人是一個(gè)具有2個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)的腿型機(jī)器人，如圖1所示.機(jī)器人由3個(gè)均質(zhì)連桿組成，分別為腳掌、小腿和大腿.腳掌的自由端為足尖，連接腳掌和小腿的關(guān)節(jié)是踝關(guān)節(jié)，連接小腿和大腿的關(guān)節(jié)是膝關(guān)節(jié).每個(gè)關(guān)節(jié)由安裝在連桿中心位置的直流伺服電機(jī)通過同步齒形帶驅(qū)動(dòng).雙關(guān)節(jié)機(jī)器人跳躍運(yùn)動(dòng)限制在徑向平面內(nèi)，因此它是一個(gè)平面跳躍機(jī)器人.

圖1 跳躍機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖和Solidworks模型Fig.1 Hopping robotmodel and Solidworksmodel

建立如圖1所示的慣性坐標(biāo)系.足尖的初始位置標(biāo)為(x0，y0)，踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的笛卡爾坐標(biāo)為(x1，y1)和(x2，y2).關(guān)節(jié)坐標(biāo)向量 θb=(θ2，θ3)T描述了機(jī)器人的相對構(gòu)型.θ1是腳掌與地面之間的絕對夾角.廣義坐標(biāo)向量 θa=(θ1，θbT)T描述了機(jī)器人的絕對構(gòu)型.每個(gè)角度按逆時(shí)針為正.腳掌、小腿和大腿的長度和質(zhì)量分別為li和mi(i=1，2，3).

一個(gè)典型的跳躍運(yùn)動(dòng)過程包括起跳相、飛行相和落地相.雙關(guān)節(jié)跳躍機(jī)器人的絕對位置是由位于質(zhì)心的笛卡爾坐標(biāo)(xCM，yCM)確定的.在起跳相和落地相，機(jī)器人的腳連桿與地面接觸，并且CM≠0;在飛行相時(shí)機(jī)器人與地面不接觸.

2 考慮腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)

在生物和人類的跳躍運(yùn)動(dòng)過程中，腳掌與地面的相互作用對跳躍性能影響很大，為了模擬這種特性，本文采用如圖2所示的柔順性模型表示雙關(guān)節(jié)跳躍機(jī)器人的腳掌與地面的關(guān)系.腳掌與地面的整個(gè)接觸表面由安裝在足尖的固定支點(diǎn)和安裝在踝關(guān)節(jié)處的彈簧-阻尼系統(tǒng)代替.

腳掌柔順性模型作如下假設(shè):

1)整個(gè)腳掌與地面的接觸表面由足尖接觸和踝關(guān)節(jié)接觸代替.

2)足尖與地面的接觸作為一個(gè)固定支點(diǎn)，跳躍機(jī)器人在這一點(diǎn)上不打滑、彈回和越過等.地面反力的垂直分量為正，水平分量與垂直分量的比值不超過靜摩擦系數(shù)［6-8］.

3)踝關(guān)節(jié)與地面接觸作為一個(gè)彈簧-阻尼系統(tǒng)，在這點(diǎn)跳躍機(jī)器人能彈回或者透過.

圖2 腳掌柔順性模型Fig.2 Foot compliancemodel

2.1 起跳相和落地相的拉格朗日動(dòng)力學(xué)

在起跳相和落地相，機(jī)器人質(zhì)心的位置［xCM(θa)，yCM(θa)］能通過足尖位置計(jì)算出來:

這里，mi和(xCMi，yCMi)為第i個(gè)連桿質(zhì)心的質(zhì)量和位置.因此，雙關(guān)節(jié)跳躍機(jī)器人質(zhì)心的線速度為

考慮腳掌轉(zhuǎn)動(dòng)，忽略各關(guān)節(jié)摩擦，由拉格朗日方程描述雙關(guān)節(jié)跳躍機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的起跳相和落地相［9］.機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型有如下形式:

式中:MS是一個(gè)關(guān)于足尖的3×3慣性矩陣，VS是一個(gè)包含哥式力和離心力的3×1向量，GS是一個(gè)3×1的重力項(xiàng).τS是應(yīng)用到跳躍機(jī)器人的廣義力和力矩向量，外力矩為式中:下標(biāo)s代表起跳相和落地相，b代表關(guān)節(jié)坐標(biāo)向量代表足尖地面關(guān)節(jié).uS=［τ2τ3］T分別是作用在踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)扭矩.ut=τ1是由作用在踝關(guān)節(jié)-地面接觸點(diǎn)的豎直方向地面反力在足尖-地面接觸點(diǎn)上產(chǎn)生的扭矩:

式中:k和D是踝關(guān)節(jié)-地面接觸的彈簧常數(shù)和阻尼系數(shù).式(4)中:

在起跳相和落地相，跳躍機(jī)器人必須滿足下面3 個(gè)約束條件［10］:

1)作用在機(jī)器人足尖處的地面反力的豎直分量大于等于零，即

當(dāng)且僅當(dāng)在起跳相末時(shí)和落地相初始時(shí)刻，Ny=0.Ny為地面反力的豎直分量CMi為各個(gè)連桿質(zhì)心加速度的豎直分量，其值可由θi的值求出.

2)各關(guān)節(jié)的輸入力矩為對稱有限值，即

3)碰撞發(fā)生在飛行相末時(shí)足尖接觸地面時(shí)刻.假定碰撞的瞬時(shí)過程為一個(gè)完全非彈性碰撞過程，即在碰撞后:足尖速度瞬間變?yōu)榱?，關(guān)節(jié)速度瞬間改變［11］，機(jī)器人的姿態(tài)保持不變.碰撞之后，足尖-地面接觸當(dāng)做是理想支點(diǎn).碰撞前后的位置和速度分別用“-”和“+”標(biāo)記.利用文獻(xiàn)［11］的模型可得到碰撞后的關(guān)節(jié)速度為

2.2 飛行相的拉格朗日動(dòng)力學(xué)

對于飛行相，廣義坐標(biāo)向量考慮為 θf=(θ1，θTb，xCM，yCM)T.則飛行相動(dòng)力學(xué)模型為

式中:Vf是一個(gè)包含科氏力和離心力的5×1向量，Gf是一個(gè)5×1的重力項(xiàng)，Df為

式中:I2×2是2×2單位矩陣，Mf(θb)是關(guān)于質(zhì)心的跳躍機(jī)器人慣性矩，可以通過下式［6］求得

外扭矩為

式中:下標(biāo) f代表飛行相，a代表絕對姿態(tài).uf=［τ2τ3］T是在飛行相時(shí)，分別作用在踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)扭矩.在飛行相，雙關(guān)節(jié)跳躍機(jī)器人的質(zhì)心按照拋物線軌跡運(yùn)動(dòng)，其約束條件為:

1)質(zhì)心遵守牛頓第二定律，即

3 軌跡規(guī)劃

軌跡規(guī)劃過程［12］是基于跳躍機(jī)器人二連桿等價(jià)模型，如圖3所示.在等價(jià)模型中，把腳掌當(dāng)做一個(gè)連桿，踝關(guān)節(jié)到跳躍機(jī)器人剩余連桿質(zhì)心的距離當(dāng)做另一個(gè)連桿.機(jī)器人剩余連桿質(zhì)心的笛卡爾坐標(biāo)(xCM0(θb)，yCM0(θb))是建立在腳掌坐標(biāo)系(Xf，Yf)上的.考慮跳躍機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)，關(guān)節(jié)坐標(biāo)向量 θb的合理范圍為 -1.571 ≤ θ2≤ 1.047，-2.094≤θ3≤2.618.

圖3 包含腳掌的跳躍機(jī)器人二連桿等價(jià)模型Fig.3 Two-link equivalentmodel of the hopping robot

3.1 起跳相軌跡規(guī)劃

在起跳相，(xdCM0(t)，ydCM0(t))采用以下形式:

3.2 飛行相軌跡規(guī)劃

在飛行相機(jī)器人的質(zhì)心按照式(14)運(yùn)動(dòng).關(guān)節(jié)坐標(biāo)向量θb改變基于足尖坐標(biāo)(x0，y0)的機(jī)器人質(zhì)心位置.豎直方向期望軌跡ydCM0(t)為

式中:ηd是期望的跳躍高度，tf為期望的跳躍時(shí)間，yd0(t)是y0的期望軌跡，如圖4所示.同樣，水平方向期望軌跡xdCM0(t)為式中:δd為期望的單位跳躍遠(yuǎn)度，xd0(t)是x0的期望軌跡，如圖4所示.xCM(0)、CM(0)、yCM和CM(0)是起跳相末時(shí)的值.ηd、δd和tf的選取要滿足在飛行相末時(shí) θ1＞0.

圖4 飛行相期望軌跡Fig.4 Desired trajectory of flight phase

3.3 落地相軌跡規(guī)劃

落地相的初始位置是飛行相的末時(shí)位置，同時(shí)由于在飛行相末時(shí)發(fā)生碰撞，由式(9)知，落地相的初始速度瞬時(shí)改變.落地相期望的形位變量θdj(t)(j=2，3，4)為常數(shù)，且滿足:

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真

綜合式(15)～(17)，可得如下結(jié)論:跳躍運(yùn)動(dòng)的軌跡是由不同階段期望運(yùn)動(dòng)軌跡θb和θ·b相互耦合確定的.而這些參數(shù)的選擇又是由 Cx、Cy、ηd、δd和tf間接決定的，且必須滿足跳躍運(yùn)動(dòng)軌跡約束條件(7)、(8)、(9)、(14)等.在本文中選擇跳躍運(yùn)動(dòng)過程中期望運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)誤差最小化作為優(yōu)化方程，即

采用MATLAB＇s LSQNONLIN函數(shù)求得期望步態(tài)θdb(t).滿足上式非線性誤差最小化原則求得的θdb位于跳躍機(jī)器人合理的形位參數(shù)范圍內(nèi)，采用形如四階多項(xiàng)式函數(shù)描述的θdj(t)，即)，期望運(yùn)動(dòng)過程中的誤差精度能達(dá)到10-4m.

在仿真計(jì)算中，與機(jī)器人有關(guān)的參數(shù)為:l1=0.19 m，l2=0.15 m，l3=0.14 m，m1=600 g，m2=800 g，m3=750 g，關(guān)節(jié)最大約束轉(zhuǎn)矩τmax=80 N·m踝關(guān)節(jié)-地面接觸的彈簧常數(shù)k=4 000和阻尼系數(shù)D=0.8.仿真結(jié)果所得到的非線性誤差最小化的運(yùn)動(dòng)軌跡是由如下參數(shù)值所決定:Cx=1.5 m/s，Cy=2 m/s，ηd=0.25 m，δd=1.8 m/s 和 tf=250 ms.在此參數(shù)下的踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的跳躍過程運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示.

圖5 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.5 Jointmotion trajectory

仿真過程中的踝關(guān)節(jié)扭矩和膝關(guān)節(jié)扭矩如圖6所示.仿真中，踝關(guān)節(jié)扭矩最大值為76.48 N·m，膝關(guān)節(jié)扭矩最大值為-52.64 N·m，且膝關(guān)節(jié)扭矩的最大值在踝關(guān)節(jié)扭矩最大值之后出現(xiàn).仿真結(jié)果說明了踝關(guān)節(jié)扭矩對跳躍性能影響較大.

圖6 最佳軌跡的關(guān)節(jié)力矩Fig.6 Joint torques of optimumtrajectory

在t=0.33 s時(shí)，跳躍運(yùn)動(dòng)進(jìn)入落地相.此時(shí)，踝關(guān)節(jié)扭矩和膝關(guān)節(jié)扭矩發(fā)生瞬間改變，導(dǎo)致踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的速度和加速度在此刻都發(fā)生瞬間變化.

跳躍仿真過程中，足尖與地面的絕對角度θ1及被動(dòng)扭矩τ1的變化曲線如圖7所示.在仿真剛開始時(shí)，由于主動(dòng)關(guān)節(jié)電機(jī)扭矩的作用，機(jī)器人對地面有沖擊作用力，在足尖處產(chǎn)生被動(dòng)扭矩τ1，其最大值為64 N·m.這個(gè)被動(dòng)扭矩對機(jī)器人的跳躍起積極作用，在仿真中希望其值越大越好.在t=0.03 s時(shí)，機(jī)器人腳掌開始發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng).t=0.33 s落地相發(fā)生后，由于落地沖擊，使θ1＜0，在足尖處產(chǎn)生被動(dòng)扭矩τ1，其最大值為106.5 N·m.這個(gè)被動(dòng)扭矩造成機(jī)器人的落地姿態(tài)不穩(wěn)定，在仿真中希望其值越小越好.

圖7 腳掌與地面的角度及扭矩Fig.7 Joint angle and torques between foot and ground

4.2 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

雙關(guān)節(jié)平面跳躍機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)用鋁板連接.該跳躍機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)電機(jī)型號(hào)是CBL3570A，其技術(shù)參數(shù)如下:額定電壓為 18 V，額定轉(zhuǎn)速為7 500 r/min，額定功率為60 W.配套編碼器為1000線，減速比為19.該系統(tǒng)采用DSP進(jìn)行控制，主控芯片是TI公司的TMS320F2812.機(jī)器人跳躍實(shí)驗(yàn)是在一層橡膠墊上進(jìn)行的.橡膠墊能防止單腿跳躍機(jī)器人起跳時(shí)打滑，并在機(jī)器人落地時(shí)提供阻尼器吸收落地沖擊能量.為了增加直流伺服電機(jī)的爆發(fā)性，在機(jī)器人踝關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)處增加拉簧，所以跳躍實(shí)驗(yàn)比仿真所需時(shí)間少.圖8為一組跳躍運(yùn)動(dòng)過程的圖片.實(shí)驗(yàn)測得，當(dāng) θ1=30°～35°時(shí)，機(jī)器人離地，此時(shí)跳躍機(jī)器人能獲得最大跳躍高度為0.15～0.20 m，跳躍距離為0.25 ～0.28 m.

圖8 一組跳躍運(yùn)動(dòng)圖片F(xiàn)ig.8 A groupof hopping motion

5 結(jié)束語

本文針對雙關(guān)節(jié)跳躍機(jī)器人模型，考慮腳掌對跳躍運(yùn)動(dòng)的影響，采用拉格朗日方法建立機(jī)器人在支撐相和飛行相的動(dòng)力學(xué)模型.以期望運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)誤差最小化為目標(biāo)，基于機(jī)器人二連桿等價(jià)模型，采用四階多項(xiàng)式規(guī)劃了機(jī)器人跳躍運(yùn)動(dòng)步態(tài).仿真和樣機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為機(jī)器人的系統(tǒng)優(yōu)化和運(yùn)動(dòng)控制提供了重要依據(jù).同時(shí)，本文研究結(jié)果對解決如腿式跳躍機(jī)器人這類混雜非線性欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與軌跡規(guī)劃問題具有指導(dǎo)意義.

［1］徐兆紅.腿式跳躍機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與穩(wěn)定性恢復(fù)研究［D］.上海:上海交通大學(xué)，2009:2-16.XU Zhaohong.Study onmotion planning and stability recovery for legged jumping robot［D］.Shanghai:Shanghai Jiao Tong University，2009:2-16.

［2］RAIBERTmH.Legged robots that balance［M］.Cambridge，MIT Press，1986:26-45.

［3］ZEGLIN G J.Uniroo:a one legged dynamic hopping robot［D］.Cambridge:Massachusetts Institute of Technology，1991:78-93.

［4］HYON SH，MITA T.Development of a biologically inspired hopping robot Kenken［J］.IEEE International Conference on Robotics and Automation，2002:3984-3991.

［5］SUNG S，YOUmY.Landing motion control of articulated legged robot［J］.IEEE International Conference on Robotics and Automation，2007:3230-3236.

［6］CHEVALLEREAU C，WESTERVELT E R，GRIZZLE J W.Asymptotically stable running for a five-link，four-actuator，planar bipedal robot［J］.Int JRobot，2005，24(6):431-464.

［7］WESTERVELT E R，GRIZZLE JW，KODITSCHEK D E.Hybrid zero dynamics of planar biped walkers［J］.IEEE Trans AutomControl，2003，48(1):42-56.

［8］WESTERVELT E R，GRIZZLE JwC.CHEVALLEREAU C.Feedback control of dynamic bipedal robot locomotion［J］.Boca Raton，F(xiàn)L:CRC.2007，43(4):142-153.

［9］SPONG mW，VIDYASAGAR M.Robot dynamic and control［M］.NewYork:Wiley，1989:56-89.

［10］楊煜普，耿濤，郭毓.一種新型翻轉(zhuǎn)跳躍運(yùn)動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)與軌跡規(guī)劃［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，37(7):1110-1113.YANG Yupu，GENG Tao，GUO Yu.Structure and trajectory planning of a novel flipping robot［J］.Journal of Shanghai Jiao Tong University，2007，37(7):1110-1113.

［11］HURMUZLU Y，MARGHITU D B.Rigid body collisions of planar kinematic chains with multiple contact points［J］.Int JRobot，1994，13(1):82-92.

［12］李東潔，邱江艷，尤波.一種機(jī)器人軌跡規(guī)劃的優(yōu)化算法［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2009，13(1):123-127.LIDongjie，QIU Jiangyan，YOU Bo.Optimal algorithmfor trajectory planning of the robot［J］.Electric Machines and Control，2009，13(1):123-127.