●張俊杰 劉海槐 (華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)
(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
此題是1976年第4道IMO試題的變式,采用調(diào)整法即可求解.受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā),筆者把每個xi加強為正合數(shù),得到了一些有趣的結(jié)論.
顯然,和為S的不同正整數(shù)分拆只有有限個,所以必有S的一個正合數(shù)分拆,使得u(n)取到最大值.
定義 若x1+x2+…+xn=S(n∈N*),其中S∈ Z+,xi(i=1,2,…,n) 為正合數(shù),則稱使u(n)取得最大值的數(shù)組(x1,x2,…,xn)為最優(yōu)解.
下面對u(n)max進(jìn)行探究.
為求u(n)max的值,可先探究v(n)min.容易驗證:當(dāng)S ∈ {1,2,3,5,7,11} 時,S不能表示成若干正合數(shù)之和,因此 v(n)min不存在;當(dāng) S ∈ {4,6,8,9,10,12}時,對應(yīng)的n和v(n)min如表1所示.
表1 對應(yīng)的n和v(n)min值
續(xù)表1
下設(shè)S≥13,u(n)取得最大值的最優(yōu)解為(x1,x2,…,xn),此時 v(n) 取得最小值,則有
性質(zhì)1 xi≤9(1≤i≤ n).
證明若不然,則存在某個xj≥10(1≤j≤n).下面對xj進(jìn)行分類討論:
(1) 當(dāng)2|xj時,因為xj=(xj-4)+4,注意到xj-4為正合數(shù),但
所以可用xj-4和4代替xj而使v(n)變小,這與(x1,x2,…,xn) 為最優(yōu)解矛盾;
同理可得,與(x1,x2,…,xn)為最優(yōu)解矛盾.
性質(zhì)2 不存在xi=xj=6(1≤i<j≤n).
證明因為xi+xj=6+6=4+4+4(1≤i < j≤ n),但
與(x1,x2,…,xn) 為最優(yōu)解矛盾.
性質(zhì)3 不存在xi=xj=9(1≤i<j≤n).
同理得出矛盾.
下面對S(S≥13)進(jìn)行分類討論:
(1)4|S,即S=4k,k∈ N*且k≥4.由上述3個性質(zhì),易知當(dāng)x1=x2=… =xn=4時,v(n)取得最小值
此時n=k.
(2)4|S+3,即S=4k-3,k∈N*且k≥4.因為S為奇數(shù),由性質(zhì)3知,存在唯一的某個xi=9(1≤ i≤ n),不妨設(shè) xn=9,則
由(1)知,當(dāng)x1=x2=… =xn-1=4且xn=9時,v(n)取得最小值
(3)4|S+2,即S=4k-2,k∈N*且k≥4.因為S=4(k-2)+6為偶數(shù),由性質(zhì)2和性質(zhì)3知,存在唯一的某個xi=6(1≤i≤n),但不存在xj=9(1 ≤ j≤ n).不妨設(shè) xn=6,則
由(1)知當(dāng)x1=x2=… =xn-1=4且xn=6時,v(n)取得最小值
(4)4|S+1,即S=4k-1,k∈N*且k≥4.因為S為奇數(shù),故存在唯一的某個xi=9(1≤i≤n),不妨設(shè) xn=9,則
由性質(zhì)2,不妨設(shè)xn-1=6,則
由(1)知,當(dāng)x1=x2=… =xn-2=4,xn-1=6且xn=9時,v(n)取得最小值
結(jié)論當(dāng)S?{1,2,3,5,7,11} 時,對應(yīng)的n,v(n)min和u(n)max的值分別為表2所示(其中k∈N*).
表2 對應(yīng)的n,v(n)min和u(n)max值
設(shè)u(n)取得最大值的最優(yōu)解為(x1,x2,…,xn),不妨設(shè)x1≤x2≤…≤xn,同理可得性質(zhì)1至性質(zhì)3,而且在變式2中還滿足:
性質(zhì)4 x1=4.
證明若不然,則x1=6或x1=9.倘若x1=6,因為
這與(x1,x2,…,xn) 為最優(yōu)解矛盾;倘若 x1=9,因為產(chǎn)生矛盾.故x1=4.
至此,變式2化歸為變式1的求解,下不贅述.
其實,還可以改變u(n)的形式和xi的條件限制,例如當(dāng)xi均為正奇合數(shù)時將得到一些有趣的新結(jié)論.請讀者自行探究.
[1] 葉軍.數(shù)學(xué)奧林匹克教程[M].長沙:湖南師范大學(xué)出版社,2003.