一個(gè)電磁感應(yīng)問題的探討
——切割磁感線的金屬棒究竟在做何種運(yùn)動(dòng)？

劉明祖

（煙臺第一中學(xué) 山東 煙臺 264001）

電與磁及其相互轉(zhuǎn)化是自然界最奇妙的現(xiàn)象之一，也是當(dāng)今人類獲得能量的主要途徑之一.溫暖的萬家燈火、七彩的都市霓虹、轟鳴的機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)……無不依賴電子在導(dǎo)線中靜靜地流淌.縱觀電磁學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)其中始終貫穿著一個(gè)不變的主題——變化、運(yùn)動(dòng).電子的運(yùn)動(dòng)、帶電體的運(yùn)動(dòng)、磁場的變化、電流的變化……單是這“運(yùn)動(dòng)”，就已是形式無限，變化千般.在學(xué)習(xí)“電磁感應(yīng)”這一章中接觸到許多金屬棒的運(yùn)動(dòng)，如圖1所示就是其中簡單的一例.筆者感覺其運(yùn)動(dòng)形式值得深入定量探討，特作解析如下.

如圖1所示，光滑導(dǎo)軌M1N1，M2N2間連有定值電阻，阻值為R，導(dǎo)軌寬度為L.一質(zhì)量為m的金屬棒ab架在導(dǎo)軌上，不計(jì)導(dǎo)軌與棒的電阻和一切摩擦，設(shè)金屬棒的初速度為零.以ab棒的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸的正方向建立坐標(biāo)系.現(xiàn)將一恒力F作用在ab上，且F的方向?yàn)閤軸正方向.下面分析棒ab的運(yùn)動(dòng)形式.

圖1

由法拉第電磁感應(yīng)定律，金屬棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢

回路中的電流為

金屬棒所受的安培力是

由牛頓第二定律，有

聯(lián)立（1）～ （4）式，得

另一方面，有

由（5）、（6）式，得

以上各式都是在時(shí)刻t成立的瞬時(shí)表達(dá)式，v為瞬時(shí)速度，a為瞬時(shí)加速度.

由（7）式，得

代入（8）式，得

對（9）式兩邊積分

整理，得

故加速度為

設(shè)t時(shí)刻金屬棒的位置坐標(biāo)（即位移）為x，則由

對（12）式兩邊積分，得

至此已得到金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中速度、加速度和位移關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，整理如下.

圖2

上式是假定存在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段時(shí)成立的式子，這表明圖像的漸近線的確代表了那個(gè)假想的“勻速直線運(yùn)動(dòng)”狀態(tài).

綜上所述，串聯(lián)定值電阻的金屬棒在勻強(qiáng)磁場中受恒定外力作用時(shí)，如果忽略金屬棒與導(dǎo)軌的電阻以及一切摩擦，那么金屬棒將做一個(gè)加速度以零為極限不斷減小，速度以為極限不斷增大的運(yùn)動(dòng)，即一個(gè)加速度不斷減小的加速直線運(yùn)動(dòng).金屬棒的位移、速度、加速度的瞬時(shí)值都是時(shí)刻t的指數(shù)型函數(shù).當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，金屬棒的運(yùn)動(dòng)無限接近于勻速直線運(yùn)動(dòng)，但永遠(yuǎn)不會做勻速直線運(yùn)動(dòng).

在高中階段處理此類模型時(shí)，一般認(rèn)為勻速直線運(yùn)動(dòng)階段存在；然后綜合運(yùn)用動(dòng)能定理或能量轉(zhuǎn)化關(guān)系求解相關(guān)問題.上面運(yùn)用力學(xué)方法來研究這個(gè)問題，把粗略看待的“過程”精細(xì)化，得到的認(rèn)識更加清晰.通過以上推導(dǎo)，對楞次定律中所說的“阻礙導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)”有了更深的理解.在電磁感應(yīng)中，磁場力以一種“潤物細(xì)無聲”的作用方式來一點(diǎn)點(diǎn)地消磨外力施加給導(dǎo)體的加速度.“存在勻速段”的觀點(diǎn)是近似粗略的、有精度限制的.“漸近于勻速”的觀點(diǎn)是準(zhǔn)確的.