理工科大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難成因及教學(xué)對(duì)策*

袁 芳

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東曲阜 273165）

理工科大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難成因及教學(xué)對(duì)策*

袁 芳

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東曲阜 273165）

理工科大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的成因主要有:學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的缺陷;心理表象錯(cuò)誤;知識(shí)聯(lián)系錯(cuò)誤;思維定勢(shì)的負(fù)面影響;認(rèn)知水平的限制;元認(rèn)知能力的缺陷等.為促進(jìn)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和學(xué)習(xí)，應(yīng)采取如下教學(xué)對(duì)策:及時(shí)彌補(bǔ)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的缺陷;注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程的引導(dǎo);加強(qiáng)數(shù)學(xué)交流;鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的反思等.

理工科大學(xué)生;高等數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)

作為高等院校理工科學(xué)生的一門公共課程，高等數(shù)學(xué)不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)其理性思維和科學(xué)精神的重要載體，更是今后學(xué)生學(xué)習(xí)和生活賴以利用的一種強(qiáng)有力的工具.但是，近年來(lái)，許多理工科大學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)感到日益困難，甚至相當(dāng)部分學(xué)生出現(xiàn)抵觸、厭學(xué)心理，這不僅影響了他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且也嚴(yán)重影響了他們對(duì)專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，從而導(dǎo)致理工科人才培養(yǎng)質(zhì)量的下降.因此，對(duì)理工科大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的形成根源進(jìn)行分析探討并尋求相應(yīng)的教學(xué)策略，是高等學(xué)校理科教育中亟需解決的問(wèn)題.

1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的界定

通俗地講，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難就是指學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)產(chǎn)生了困難.從心理學(xué)角度而言，我們將“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難”界定為:學(xué)生經(jīng)過(guò)主觀努力，仍然不能夠依據(jù)自身已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)建構(gòu)正確的意義，從而不能使其成為已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有機(jī)組成部分，以致在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)新知識(shí)的本質(zhì)和規(guī)律過(guò)程中出現(xiàn)思維偏差或思維中斷.由學(xué)生情緒、意志等主觀因素造成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難不在本文探討的范疇中.“高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難”，顧名思義，指的是學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)出現(xiàn)了困難.

2 理工科大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的成因

2.1 學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有缺陷

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)和理解的物質(zhì)基礎(chǔ).因此良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的順利進(jìn)行，反之，不完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就會(huì)阻礙學(xué)生的學(xué)習(xí).在學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的缺陷具體表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面.

1)缺乏必要的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)

由于學(xué)生已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏與新知識(shí)相關(guān)的舊知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，使得他們無(wú)法提取可利用的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)來(lái)建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，從而造成學(xué)習(xí)困難.

2)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)模糊

學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否有足夠清晰的、穩(wěn)定的、起固定作用的數(shù)學(xué)知識(shí)是影響其理解的重要因素.如果學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)不夠穩(wěn)定、模糊不清，就容易產(chǎn)生理解困難.如一些學(xué)生回答這樣一道題目:“函數(shù) f(x)的定義域?yàn)椋?，2］，則 f(x2)的定義域?yàn)開(kāi)”，往往錯(cuò)誤解答為［1，4］或［1，2］，這主要是由于他們對(duì)函數(shù)符號(hào)中自變量的認(rèn)識(shí)模糊不清造成的.

3)知識(shí)結(jié)構(gòu)組織不良

層次分明、聯(lián)系緊密的知識(shí)結(jié)構(gòu)可以促進(jìn)相關(guān)信息的激活與提取.相反地，知識(shí)結(jié)構(gòu)組織不良，知識(shí)間的聯(lián)系質(zhì)量不高或是某種聯(lián)系建立得不夠完善，在學(xué)習(xí)過(guò)程中就有可能阻礙知識(shí)的激活，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難.

4)頭腦中存在著合理性錯(cuò)誤觀念

學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一些觀念，一方面是進(jìn)一步學(xué)習(xí)、理解的基礎(chǔ)或必經(jīng)之路，但另一方面又含有錯(cuò)誤的或不夠全面的成分，它們?cè)谝欢ǔ潭壬戏恋K了新知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解.如學(xué)生頭腦中已有的“整體大于部分”的觀念對(duì)其理解“無(wú)窮集合與其無(wú)窮真子集等價(jià)”就是一種障礙.

2.2 產(chǎn)生錯(cuò)誤或不完善的心理表象

許多學(xué)生由于產(chǎn)生錯(cuò)誤或不完善的心理表象而導(dǎo)致理解上的偏差.由于學(xué)生在表征數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，不可避免地要用自己的語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以使其“內(nèi)化”到數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.一些學(xué)生在語(yǔ)言轉(zhuǎn)換過(guò)程中由于受日常語(yǔ)言的影響，導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)誤的表象.如一些學(xué)生用自己的語(yǔ)言復(fù)述、轉(zhuǎn)換“數(shù)列極限”的概念時(shí)，往往用“趨近”、“接近于”等日常語(yǔ)言來(lái)描述或受日常語(yǔ)言“極限”含有“不可超越”意義的影響從而造成理解偏差.

2.3 建立錯(cuò)誤或不恰當(dāng)?shù)穆?lián)系

建立新舊知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的一個(gè)關(guān)鍵的、必不可少的環(huán)節(jié).但是，在這種聯(lián)系過(guò)程中，有可能產(chǎn)生錯(cuò)誤.從知識(shí)聯(lián)系的角度考察，主要有以下兩種錯(cuò)誤.

1)知識(shí)聯(lián)系僵化錯(cuò)誤

一些學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、公式等時(shí)，往往孤立地、僵化地認(rèn)識(shí)它們，不去建立知識(shí)內(nèi)部及知識(shí)之間的聯(lián)系.許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)背的滾瓜爛熟，到運(yùn)用時(shí)卻不知所措，這都是由于學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)忽視知識(shí)之間的聯(lián)系造成的.

2)聯(lián)系不恰當(dāng)錯(cuò)誤

嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，將知識(shí)孤立是不可能的.學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)，都或多或少的將它與其它知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，理解中產(chǎn)生的許多障礙就是由于不恰當(dāng)?shù)穆?lián)系造成的.比如學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中，有時(shí)會(huì)將概念中的非本質(zhì)特征作為概念的本質(zhì)特征與其它概念進(jìn)行聯(lián)系;有時(shí)還將概念的定義、性質(zhì)、判定等混為一談.

2.4 思維定勢(shì)產(chǎn)生負(fù)面影響

學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)用知識(shí)技能時(shí)的一定的心理準(zhǔn)備狀態(tài)，教育心理學(xué)上稱之為思維定勢(shì).［1］思維定勢(shì)決定了后繼心理活動(dòng)的趨勢(shì).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思維定勢(shì)表現(xiàn)為一種思維的慣性，即總是按照某種習(xí)慣的思維方式去考慮問(wèn)題.思維定勢(shì)對(duì)學(xué)習(xí)的這種影響可以是正面的(促進(jìn))，也可以是負(fù)面的(阻礙).當(dāng)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容與先前的不是同類或是需要靈活變化的相似內(nèi)容時(shí)，思維定勢(shì)就可能干擾后來(lái)知識(shí)的學(xué)習(xí).如學(xué)生回答這樣一個(gè)問(wèn)題就經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤:若A、B、C是三個(gè)矩陣，且 AB=BC，B不為零矩陣，則()，很多學(xué)生就會(huì)不假思索地得出A=C，這主要是受頭腦中“AB=BC，B≠0且B∈R”這一常規(guī)思維的影響所致.

2.5 學(xué)生認(rèn)知水平的限制

有相當(dāng)一部分學(xué)生，經(jīng)驗(yàn)型思維對(duì)他們?nèi)云鹬苤匾淖饔?他們?cè)趯?duì)待抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須借助于直觀材料才能加以理解，否則就會(huì)因?yàn)槿狈ωS富的表象而產(chǎn)生理解障礙.從他們的認(rèn)知過(guò)程來(lái)看，許多學(xué)生在觀察力的深廣度、注意力的合理分配、思維的靈活性等方面比較薄弱，因而這類學(xué)生在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也較容易產(chǎn)生障礙.

2.6 學(xué)生元認(rèn)知能力的缺陷

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)問(wèn)題或文本時(shí)，其認(rèn)知活動(dòng)不僅指向外在的數(shù)學(xué)文本，還指向自己的認(rèn)知過(guò)程，這種以自己的認(rèn)知活動(dòng)為對(duì)象的認(rèn)知，就是“元認(rèn)知”.［2］數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程既是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程，同時(shí)也是學(xué)生個(gè)體對(duì)這一過(guò)程進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)、自我檢驗(yàn)的過(guò)程.一些學(xué)生因?yàn)樵J(rèn)知水平的低下，既不能夠使已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在心理上進(jìn)行再組織和調(diào)整，以致使數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得不到優(yōu)化，同時(shí)也缺乏對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的有效監(jiān)控，不能及時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的問(wèn)題作出相應(yīng)的調(diào)節(jié)，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難.

3 大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的教學(xué)對(duì)策

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，理解不可或缺.正如詹姆斯·希伯特和托馬斯.P.卡彭特所言:“在數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐中最被廣泛接受的一個(gè)想法就是學(xué)生應(yīng)該要理解數(shù)學(xué)”［3］.由于大學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一般都是在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的，所以高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)該圍繞促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解這一中心點(diǎn)來(lái)展開(kāi).根據(jù)以上對(duì)理工科大學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難形成根源的分析，提出以下幾點(diǎn)教學(xué)建議.

3.1 深入了解學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，及時(shí)彌補(bǔ)其中的缺陷、糾正錯(cuò)誤觀念

心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾說(shuō)過(guò)，“如果我不得不將教育心理學(xué)還原為一條原理的話，我將會(huì)說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué)”.［4］因此，教師首先應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面和細(xì)致的了解，然后采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段幫助學(xué)生建構(gòu)那些缺少的觀念，明晰那些模糊的觀念，強(qiáng)化其穩(wěn)定性，從而為學(xué)習(xí)和理解高等數(shù)學(xué)新知識(shí)奠定良好的基礎(chǔ).

3.2 注重對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程和方法引導(dǎo)

在教學(xué)中，教師可通過(guò)以下手段加強(qiáng)對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程和方法的引導(dǎo):

1)加強(qiáng)直觀教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生生成正確的數(shù)學(xué)表象

在較抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等知識(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供實(shí)物、模型、教具等直觀的感性材料或者讓學(xué)生自己動(dòng)手制作，讓學(xué)生在頭腦中建立起要認(rèn)識(shí)的事物特征與聯(lián)系的感覺(jué)、知覺(jué)并生成正確的數(shù)學(xué)表象，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的一些具體或感性的認(rèn)識(shí)，這樣有助于學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)行較高層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)，避免走一些彎路.

2)重視知識(shí)發(fā)生過(guò)程的教學(xué)

實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生式教學(xué)是以學(xué)生為主體，以展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法為核心，以激勵(lì)學(xué)生能動(dòng)建構(gòu)為手段，是促進(jìn)學(xué)生理解、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和提高思維能力的有效途徑.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程的教學(xué)，使學(xué)生知道所學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，“知其然更知其所以然”.

3)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用對(duì)比揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)

教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意展開(kāi)對(duì)相似知識(shí)點(diǎn)的對(duì)比分析，明確相關(guān)知識(shí)內(nèi)容之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，特別是對(duì)于那些既相似又容易混淆的知識(shí)點(diǎn)要找準(zhǔn)分化點(diǎn)，排除干擾，促使易混知識(shí)在學(xué)生頭腦中徹底分化.

4)運(yùn)用變式或反例教學(xué)，突出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征

變式是指用不同形式的直觀材料或事例說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)屬性以突出事物的本質(zhì)屬性.教師在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，出示具體材料時(shí)不僅要運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)圖形和標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)，還要運(yùn)用各種變式(變換它的位置、大小、符號(hào)以及各元素的排列順序等)，這樣才能減少標(biāo)準(zhǔn)圖形在學(xué)生頭腦中形成的固定表象所造成的學(xué)習(xí)困難;而對(duì)于用事例來(lái)說(shuō)明概念的本質(zhì)屬性時(shí)，利用變式可以使學(xué)生增強(qiáng)對(duì)概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí).

5)注重用數(shù)學(xué)思想方法揭示知識(shí)間的聯(lián)系，呈現(xiàn)知識(shí)的本質(zhì)含義

由于數(shù)學(xué)思想方法是在反復(fù)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中發(fā)展和提煉出來(lái)的，具有很高的包攝性和概括性，因此教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去溝通知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

6)注重整體性教學(xué)

發(fā)展和優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是使學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)深刻理解的重要途徑.由于良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅要有相當(dāng)?shù)闹R(shí)積累，還必須是層次分明和聯(lián)系緊密的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).為此，教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意整體性教學(xué)，因?yàn)楣铝⒌闹R(shí)教學(xué)割裂了知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，不可能使學(xué)生建立起相對(duì)完整的知識(shí)系統(tǒng).

3.3 注重?cái)?shù)學(xué)交流

數(shù)學(xué)交流是指在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，師生之間、學(xué)生之間就有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)進(jìn)行相互交流和溝通.通過(guò)數(shù)學(xué)交流可以充分暴露學(xué)生在理解知識(shí)中的缺陷，有利于教師及時(shí)糾正和加以解決.另一方面，由于對(duì)同一知識(shí)，不同學(xué)生有不同角度、不同層次的理解，通過(guò)交流可以使學(xué)生了解他人的觀點(diǎn)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從而獲得對(duì)知識(shí)更深入的理解.因此，教師應(yīng)加強(qiáng)與學(xué)生的數(shù)學(xué)交流，與學(xué)生進(jìn)行平等對(duì)話，互教互學(xué)，有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解.

3.4 鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思

數(shù)學(xué)教育家弗洛登塔爾曾經(jīng)指出:“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力.”［5］在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反思是指學(xué)生把自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維活動(dòng)的過(guò)程作為考察對(duì)象，然后加以調(diào)整、改進(jìn)或提煉.在當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)中，它屬于元認(rèn)知的概念范疇.教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)經(jīng)常鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的思維過(guò)程進(jìn)行反思，比如教師可以引導(dǎo)學(xué)生去想:我真正理解了嗎?這種解釋合理嗎?我的方法有沒(méi)有漏洞?等等.只有這樣，才能不斷提高學(xué)生的元認(rèn)知水平，促進(jìn)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解.

［1］田萬(wàn)海.數(shù)學(xué)教育學(xué)［M］.杭州:浙江教育出版社，1993:91－96.

［2］辛自強(qiáng).數(shù)學(xué)中的閱讀理解［J］.教育科學(xué)研究，2004，(9):49－51.

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The Causes of difficulties of the Students of Science＆Engineering in Learning Higher Math and Some Teaching Countermeasures

YUAN Fang

(College of Mathematics，Qufu Normal University，Qufu Shangdong 273165，China)

The main causes of difficulties of the students of science and engineering in learning higher math are:the students have the flaws of cognitive structure of math;mistakes in mental representation;wrong knowledge connections;the negative effect of fixed thinking;and limitations of cognitive level.To promote the understand and learning of math knowledge，the paper proposes the following teaching countermeasures:timely make up for the students’flaws of cognitive structure;pay more attention to guiding the process of math knowlwdge;intensify math interactions;encourage the students to reflect on mathprocess.

university students of science and technology;advanced mathematics;learning;

G 642

A

1673－2103(2011)02－0132－04

2011－01－22

袁芳(1979－)，女，山東菏澤人，館員，碩士，研究方向:數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.