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    一類(lèi)一階n次非線(xiàn)性常微分方程的解法*

    2011-12-22 06:28:26袁宏俊胡凌云劉國(guó)璧
    菏澤學(xué)院學(xué)報(bào) 2011年2期
    關(guān)鍵詞:特征方程財(cái)經(jīng)大學(xué)蚌埠

    袁宏俊,胡凌云,劉國(guó)璧

    (1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽蚌埠,233030;

    2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽蚌埠,233030;

    3.安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽蚌埠, 233030)

    一類(lèi)一階n次非線(xiàn)性常微分方程的解法*

    袁宏俊1,胡凌云2,劉國(guó)璧3

    (1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽蚌埠,233030;

    2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽蚌埠,233030;

    3.安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽蚌埠, 233030)

    運(yùn)用特征方程法求出一類(lèi)一階非線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的通解,并通過(guò)變量代換法,討論一定條件下一階非線(xiàn)性變系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化成一階非線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的求解方法。

    一階非線(xiàn)性;常系數(shù);變系數(shù);微分方程;解

    1 一類(lèi)一階非線(xiàn)性常微分方程

    定義1 形如

    的方程稱(chēng)為一階n次變系數(shù)非線(xiàn)性微分方程,其中a1(x),a2(x),…,an(x)是連續(xù)函數(shù).

    定義2 形如

    的方程稱(chēng)為與(1)對(duì)應(yīng)的一階n次常系數(shù)非線(xiàn)性微分方程[1],其中a1,a2,…,an是已知常數(shù).

    由于方程(1)和(2)都是一階非線(xiàn)性常微分方程,而非線(xiàn)性常微分方程大多數(shù)不能直接求解[2,3],我們根據(jù)上兩組方程的結(jié)構(gòu)特征,分別采用特征方程法、變量代換法來(lái)求解.

    定理1 若y=φ(x)是微分方程(1)(或(2))的一個(gè)非零解,則微分方程(1)(或(2))的通解為:y=cφ(x)(c是任意常數(shù)).

    由定理1可知只須找出方程(1)(或(2))的一個(gè)非零特解即可得相應(yīng)方程的通解.

    2 一階n次常系數(shù)非線(xiàn)性常微分方程與特征方程法

    微分方程(2)兩邊同除以yn得:

    由于a1,a2,…,an都是常數(shù),分析得出方程(2)有解形如:y=eλx(λ為某待定常數(shù)).代入方程(2)得代數(shù)方程

    稱(chēng)其為方程(2)對(duì)應(yīng)的特征方程[4].由特征方程解出特征根λ,則方程(2)有非零特解y=eλx,結(jié)合定理1可求出方程(2)的通解為:

    定理2 1)若特征方程(3)存在n個(gè)不同特征根(不論實(shí)或虛)λ1,λ2,…,λn,那么方程(2)通解為:y=ceλ1x,y=ceλ2x,…,y=ceλnx(c是任意常數(shù)),且彼此相互獨(dú)立.

    2)若特征方程(3)的特征根存在重根,不妨有n個(gè)相同特征根(不論實(shí)或虛)λ,方程(2)此時(shí)僅有通解為:y=ceλx(c是任意常數(shù)).

    僅證明2):由方程(2)和(3)的關(guān)系及定理1可知:y=ceλx顯然是方程(2)的通解.假設(shè)除此通解以外,方程(2)還有解:y=c(x)eλx,則 y'=(c'(x)+ λc(x))eλx,代入方程(2)得:

    整理即:

    由于特征根λ是n重的,則有:

    代入上式即把繁瑣的表達(dá)式簡(jiǎn)化成:

    故有c(x)=c,所以?xún)H有惟一通解:y=ceλx(c是任意常數(shù)).

    3 一階n次變系數(shù)非線(xiàn)性常微分方程與變量代換法

    對(duì)微分方程(1)作變量代換[5]y=p(x)z(x),則 y'=p(x)z'(x)+p'(x)z(x),代入得:

    展開(kāi)整理為:

    若將方程(4)轉(zhuǎn)化成常系數(shù)微分方程(2)只須上面方程中每個(gè)中括號(hào)部分是常數(shù)即可,取

    定理3 一階n次變系數(shù)非線(xiàn)性微分方程

    的充要條件是:存在某常數(shù)k1,使得:

    式中k2,k3是某常數(shù).

    4 應(yīng)用舉例

    所以原方程通解為:y(x)=cxex或y(x)=cxe-2x.

    [1]戴中林.一類(lèi)一階高次微分方程的解法[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006,22(6):155 -156.

    [2]王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].第3版.北京:高等教育出版社,2006.

    [3]丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1991.

    [4]龔東山,牛富俊,劉岳巍.一類(lèi)一階微分方程獨(dú)立通解的研究[J].長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào),2008,22(5):1-3.

    [5]莊萬(wàn).常微分方程習(xí)題解[M].山東:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2004.

    The Method to Solve A Class of First-Order Nonlinear Differential Equations

    YUAN Hong-jun1,HU Ling-yun2,LIU Guo-bi3

    (1.School of Statistics and Applied Mathematics,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu Anhui 233030,China;
    2.School of Management Science and Engineering,Anhui University of Finance and Economics ,Bengbu Anhui 233030,China;
    3.Anhui Vocational College of Electronics and Information Technology,Bengbu Anhui 233030,China)

    Through the use of the characteristic equation method we obtained general solution of first-order nonlinear differential equation with constant coefficients,and through the variable substitution method,we discuss the first-order nonlinear differential equations with variable coefficients into the first-order nonlinear differential equations with constant coefficients under the certain condition.

    first-order nonlinear;constant coefficient;variable coefficient;differential equation;solution

    O 175.1

    A

    1673-2103(2011)02-0115-04

    2011-01-07

    安徽省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(KJ2009B076Z)

    袁宏俊(1978-),男,安徽廬江人,講師,碩士,研究方向:非線(xiàn)性微分方程.

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