基于展望理論的投資組合保險均衡研究

劉 鵬，張秀麗，史本山

（1.西南交通大學 經(jīng)濟管理學院，四川 成都 610031；2.鄭州大學 商學院，河南 鄭州 450001）

投資組合保險策略是在一定的時期內(nèi)，既能保證最低的財富水平，使損失控制在一定的范圍之內(nèi)，又對潛在收益存在期望，如股市上漲的時候，能獲得一定的收益。目前，主要的投資組合保險策略有兩類：一類是由Black-Scholes期權(quán)定價公式所衍生出來的基于期權(quán)的投資組合保險OBPI［1-2］（Option-based Portfolio Insurance），另一類是基于投資者風險偏好及風險承擔能力而設(shè)置簡單參數(shù)的固定比例投資組合保險CPPI［3］（Constant Proportion Portfolio Insurance）。

事實上，投資決策是追求效用最大化的理性決策者的行為。文獻［4］建立了局部均衡模型，文獻［5］建立了投資組合保險的一般均衡模型討論證券價格波動性，認為投資組合保險增加了市場價格的波動性；文獻［6-7］研究了期望效用最大化的一般均衡情況，認為由于投資組合保險的存在將降低市場的波動性，從而降低投資者對風險溢價的要求。二者采用的都是鞅方法，不同的是在文獻［5］的模型中，最低要保金額是體現(xiàn)在約束條件中，而在文獻［6-7］的模型中，最低要保金額是體現(xiàn)在目標函數(shù)中。

雖然個體決策者的行為是復雜的，但是文獻［8］提出的展望理論卻能較好地描述決策行為。展望理論［8］認為價值函數(shù)是在一定參照點下的函數(shù)，即相對于參照點的損失或贏得的函數(shù)，而不是財富的絕對零值的函數(shù)。本文認為市場中的投資組合保險者考察自己的損失或贏得的時候，是根據(jù)是否超過或低于最低要保金額，即投資組合保險者將最低要保金額作為損失或贏得的參照點，而不是根據(jù)財富的絕對零值考慮得失，因此，投資組合保險者的行為與展望理論描述的決策行為是一致的。對于非投資組合保險者，他們的參照點是財富的絕對零值。據(jù)此，本文引入展望理論建立模型考察證券市場的波動率及風險溢價情況。

一、基本假設(shè)

（1）代表性個體生存在時間段[0，T]，T＜∞，個人將可以在任何時點上進行消費和投資。

（2）證券市場的不確定性由完備概率空間{Ω，G，P}描述，信息結(jié)構(gòu)由定義在該概率空間上的布朗運動生成，即

G={G (t)；t∈[0，T]}=σ{W (u)|0≤u≤t}

{G(t)；t∈[0，T]}是由W生成的濾子。W是標準布朗運動，其均值為零，方差為1。

（3）存在兩種證券，一種是瞬間無風險證券①，另一種是風險證券。瞬間無風險證券的價格過程為：dp0(t)/p0(t)=r(t)dt。

假設(shè)P0(0)=1為無風險證券的初始價格，r(t)為瞬間無風險收益率。風險證券的價格過程為：

μ(t)為風險證券的瞬間期望收益率，σ(t)是風險證券的瞬間標準差，即波動率。貼現(xiàn)價格過程為：

（4）由于投資組合保險者關(guān)心的是收益高于或低于最低要保金額，因此將最低要保金額設(shè)為參照點，在參照點以上是贏得，在參照點以下是損失，其效用函數(shù)采用展望理論的X＞0部分，即假設(shè)其期末財富的效用函數(shù)為：VI(X)=Xρ，X≥0。其中，X是期末財富W(T)相對于參照點——最低要保金額F的贏得，即X=W(T)-F。

ρ為參數(shù)，根據(jù)Tversky和Kahneman［9］的實驗，其取值為0.88。而非投資組合保險者的期末財富的效用函數(shù)為：

VU(W(T))=W(T)ρ，W(T)≥ 0

消費的效用函數(shù)采取如下形式：

γ為反映了風險厭惡程度，C(t)為t時刻的消費。

（5）定義非負的循序可測過程C(t)為消費率過程，滿足下式：

（6）投資策略為自融資策略，即除了初始財富W(0)之外，并無其他的財富來源。消費者可以在上述金融市場中選擇消費過程和投資策略。投資策略是一個G(t)可料的隨機序列，即

投資于無風險證券的數(shù)量為θ0(t)，投資于風險資產(chǎn)的數(shù)量為θ1(t)，則

（7）財富的變動完全是由投資組合的變化得到，財富的變動過程為：

即

二、個體決策模型

假設(shè)證券市場中的決策者分為兩類，一類是投資組合保險者，另一類是非投資組合保險者，他們的目標都是最大化自己的效用函數(shù)，包括[0，T]期內(nèi)的投資和消費。二者的區(qū)別就是投資組合保險者要求自己的收益不低于最低要保金額，在市場不景氣的情況下，能保證最低的財富水平，而在市場情況較好的時候又不失去獲利的機會。因此假設(shè)投資組合保險者的目標是：非投資組合保險者的目標是：

（一）非投資組合保險者的決策模型

對于非投資組合保險者來說，最優(yōu)的消費和投資選擇是由如下問題決定的，即

其中，VU(W(T))=WU(T)ρ。

這是一個跨期動態(tài)最優(yōu)化問題，文獻［10］證明它等價于如下靜態(tài)最優(yōu)化問題，即

其中，ζ(t)是狀態(tài)價格密度，這是一個隨機過程［11］，即

拉格朗日函數(shù)為：

對C(t)、W(T)、λ分別求一階導數(shù)，并令其為零，可以得到：

其中，λU由下式?jīng)Q定：

（二）投資組合保險者的決策模型

與非投資組合保險者的決策類似，對于投資組合保險者來說，最優(yōu)的消費和投資選擇是由如下問題決定的，即

其中期末財富VI(X)=Xρ，不同于非投資組合保險者。非投資組合保險者以財富的絕對零值作為參照點，而投資組合保險者則以最低要保金額作為參照點。

其中，λI由下式?jīng)Q定：

三、波動性及風險溢價分析

假設(shè)經(jīng)濟是文獻［12］所描述的純交換經(jīng)濟，對于這類連續(xù)時間一般均衡的研究參照文獻［13-16］。代表性個體所面臨的投資機會是金融證券。無風險資產(chǎn)是凈供給為0的債券，風險資產(chǎn)的凈供給為1，紅利率為D(t)，服從幾何布朗運動，即風險證券的紅利過程為：

dD(t)=D(t)[μDdt+σDdW(t)]

如果市場中有N個投資者，其中第1個到第L個為非投資組合保險者，其余N-L個為投資組合保險者，則市場出清條件為：

投資者n在t時刻的財富為［9］：

可以證明均衡狀態(tài)價格密度為：

對（1）式運用伊藤公式：

因此，

從以上可以看出，決定狀態(tài)價格密度的ζ、r和?不受投資組合保險的影響，而僅僅與紅利和風險厭惡程度有關(guān)。

假設(shè)市場資產(chǎn)組合的價格為PM，則

可以證明，均衡時市場價格為：

對（2）式運用Ito定理可以得到：

由（3）式和（4）式可知，波動率和超額收益率都是紅利波動率的函數(shù)，紅利波動率越大，所要求的超額收益率也越大。同時，超額收益率與個體的風險厭惡程度有關(guān)。

如果市場中沒有投資組合保險者，則

對（5）式運用Ito定理可以得到：

由（6）式知，如果市場中不存在投資組合保險，證券的波動率將會高于市場中存在資產(chǎn)組合保險的情況；相應地，收益率也會高于存在資產(chǎn)組合保險的情況。資產(chǎn)組合保險降低了市場波動率，進而也降低了投資者對風險溢價的要求。

四、結(jié)束語

投資組合保險者將最低要保金額作為其獲得或損失的參照點，認為在此參照點之上是贏得的，而在此參照點之下是損失的，達到參照點既沒有贏得也沒有損失。這與展望理論描述的決策行為一致，效用最大化的投資組合保險者將根據(jù)展望理論進行決策。本文根據(jù)展望理論建立了一個一般均衡模型，表明證券市場中由于投資組合保險的存在，證券收益的波動性將降低，從而降低投資者對風險溢價的要求。在該均衡模型中，如果參數(shù)γ=ρ，即投資者對消費的邊際效用和最終財富的邊際效用相等，就得到了文獻［7］的結(jié)論，本文的模型是一個更一般的模型，是對Basak模型的推廣。

［注 釋］

① 瞬間無風險證券，是指在每一時刻，投資者都可以準確地知道如果投資該資產(chǎn)在下一時刻，他必將得到r的收益率。但再過一個時刻將得到什么樣的無風險收益率則是未知的。

［1］ Black F，Jones R.Simplifying portfolio insurance［J］.Journal of Portfolio Management，1987，14：48-51.

［2］ Rubinstein M，Leland H E.Replicating options with positions in stock and cash［J］.Financial Analysts Journal，1981，37：63-72.

［3］ Black F，Perold A.Theory of constant proportion portfolio insurance ［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，1992，16：403-427.

［4］ Grossman S J，Villa J.Portfolio insurance in complete markets［J］.Journal of Business，1989，62：473-476.

［5］ Grossman S J，Zhou J.Equilibrium analysis of portfolio insurance［J］.Journal of Finance，1996，51：1379-1403.

［6］ Basak S.A general equilibrium model of portfolio insurance［J］.Review of Financial Studies，1995，8：1059-1090.

［7］ Basak S.A comparative study of portfolio insurance［J］.Journal of Economic Dynamics&Control，2002，26：1217-1241.

［8］ Kahneman D，Tversky A.Prospect theory:an analysis of decision under risk［J］.Econometrica，1979，47:263-291.12.

［9］ Tversky A，Kahneman D.Advances in prospect theory:cumulative representation of uncertainty［J］.Journal of Risk and Uncertainty，1992，5：297-323.

［10］ Cox J C，Huang C F.Optimal consumption and portfolio policies when asset prices follow a discussion process［J］.Journal of Economic Theory，1989，49：33-83.

［11］ Harrison H，Kreps D.Martingales and multiperiod securities markets［J］.Journal of Economic Theory 1979，20：381-408.

［12］ Lucas R.Asset prices in an exchange economy［J］.Econometrica，1978，46：1429-1445.

［13］ Duffe D，Huang C F.Implementing Arrow-Debreu equilibria by continuous trading of a few long-lived securities［J］.Econometrica，1985，53：1337-1356.

［14］ Duffe D.Stochastic equilibria:existence，spanning number，and the‘no expected financial gain from trade’hypothesis［J］.Econometrica，1986，54：1161-1383.

［15］ Huang C F.An intertemporal general equilibrium asset pricing model:the case of discussion information［J］.Econometrica，1987，55：117-142.

［16］ Duffe D，Zame W.The consumption-based capital asset pricing model［J］.Econometrica，1989，57：1279-1297.