解析文科數(shù)學(xué)全國卷中的線性規(guī)劃問題

廣東省東莞市第二高級中學(xué)(523129) 章銳陽

簡單線性規(guī)劃是新課程高中數(shù)學(xué)必修五第三章的內(nèi)容.自從簡單線性規(guī)劃問題進(jìn)入高考,簡單線性規(guī)劃已是高考的必考內(nèi)容.它以目標(biāo)函數(shù)的最值為重點(diǎn),兼顧考查代數(shù)式的幾何意義(如截距、斜率、距離、面積等),簡單線性規(guī)劃是溝通幾何知識與代數(shù)知識的重要橋梁,是數(shù)形結(jié)合的集中體現(xiàn),體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想,如數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,而且還能體現(xiàn)學(xué)生綜合分析問題的能力及解決實(shí)際問題的能力.

1.用圖形法求解簡單線性規(guī)劃問題的步驟

圖形法不僅直觀,而且可從中得到有關(guān)簡單線性規(guī)劃問題的一些做題結(jié)論.圖形法要求是：在平面上畫出可行域,畫出目標(biāo)函數(shù)的等值線,將目標(biāo)函數(shù)的等值線平移得到最優(yōu)解.圖形法的步驟為：

①建立平面直角坐標(biāo)系;

②畫圖表示簡單線性規(guī)劃問題的約束條件,畫出簡單線性規(guī)劃問題的可行域;

③畫出目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的平行線ax+by=0;

④畫圖表示目標(biāo)函數(shù)的等值線束(注意等值線束必須在可行域內(nèi));

⑤根據(jù)所求最值問題,將目標(biāo)函數(shù)的等值線束保持與ax+by=0平行地平移,直到再繼續(xù)移動就與可行域不相交時為止,此時該目標(biāo)函數(shù)直線與可行域的交點(diǎn)即為最優(yōu)解.

2.簡單線性規(guī)劃的題型

每年的文科數(shù)學(xué)全國卷總有一個簡單線性規(guī)劃問題,近八年來5次與目標(biāo)函數(shù)最大值有關(guān),2次與目標(biāo)函數(shù)最小值有關(guān),1次求與目標(biāo)函數(shù)范圍(最小值和最大值),大致可以分為以下四個類型.

2.1 已知線性約束條件,求線性目標(biāo)函數(shù)最值

線性約束條件明確的簡單線性規(guī)劃題

目是最基本、最常見的類型,也是考生最容易得分的題目.只要準(zhǔn)確畫出可行域,問題就迎刃而解.下面列舉了五年的文科數(shù)學(xué)全國卷真題,題目淺顯易懂,做法簡單.

題目1(2018年全國卷文科第14題)設(shè)x,y滿足約束條則z=3x+2y的最大值為___.

題目2(2017年全國卷文科第7題)設(shè)x,y滿足約束條則z=x+y的最大值為()

A.0 B.1 C.2 D.3

圖1

圖2

解如圖1,目標(biāo)函數(shù)z=x+y經(jīng)過A(3,0)時最大,故zmax=3+0=3,故選D.

題目3(2015年全國卷文科第15題)若x,y滿足約束條則z=3x+y的最大值為___.

解作出可行域△ABC,如圖2.畫出直線l0:3x+y=0,平移l0到l,當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時z最大,聯(lián)立x+y-2=0與x-2y+2=0,解得交點(diǎn)A(1,1),所以zmax=4.

題目4(2013年全卷文科第14題)設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為___.

圖3

圖4

解析畫出可行域如圖3所示.畫出直線2x-y=0,并平移,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(3,3)時,z取最大值,且最大值為z=2×3-3=3.

題目5(2011年全國卷文科第14題)若變量x,y滿足約束條件則z=x+2y的最小值為____.

解析在坐標(biāo)系中畫出可行域,如下圖4.可知當(dāng)直線過點(diǎn)A時取得最小值,由,可得A的坐標(biāo)為(4,-5),故z=x+2y的最小值為-6.故答案為-6.

從以上幾年的高考真題中可以看出簡單線性規(guī)劃考題以填空題為主,題意簡明易懂,都是直接給出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù),考生只要根據(jù)線性約束條件準(zhǔn)確地畫出可行域,然后根據(jù)圖形法求解,求解過程對考生要求更細(xì)心、準(zhǔn)確.

2.2 尋找線性約束條件,求應(yīng)用問題最值

在解決線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用問題時,審題是關(guān)鍵.需要通過審題理解題意,找出各個量之間的關(guān)系,有時先列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題,再按照圖形法完成求解.

題目6(2011年全國卷文科第16題)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為____元.

圖5

解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A,B的件數(shù)分別為x,y,獲得利潤為z元,則x,y滿足約束條件為：目標(biāo)函數(shù)為z=2100x+900y=300(7x+3y),畫出滿足不等式組的可行域,如圖5所示.聯(lián)立得即A(60,100).移動目標(biāo)函數(shù),可得到當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)A(60,100)時,z有最大值216000.故填216000.

解線性規(guī)劃應(yīng)用題時有三個注意點(diǎn)：①明確問題中的所有約束條件,并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取得等號.②注意結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義,判斷所設(shè)未知數(shù)x,y的取值范圍,特別注意分析x,y是否為整數(shù)、是否為非負(fù)數(shù)等.③正確地寫出目標(biāo)函數(shù),一般地,目標(biāo)函數(shù)是等式的形式.

2.3 綜合性強(qiáng),隱蔽性較深的線性規(guī)劃問題

題目隱含簡單線性規(guī)劃問題,題型靈活多變,在求解題目時必須把握問題的本質(zhì),進(jìn)行分析與轉(zhuǎn)化處理.通過直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的坐標(biāo)確定可行域,然后利用圖形法求解,求解過程要求考生更為細(xì)心、準(zhǔn)確.

題目7(2012年全國卷文科第5題)已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1),B(1,3),頂點(diǎn)在第一象限,若點(diǎn)(x,y)在△ABC內(nèi)部,則z=-x+y的取值范圍是()

圖6

解析正△ABC內(nèi)部如圖6所示,A(1,1),B(1,3),C(1+.將目標(biāo)函數(shù)z=-x+y化為y=x+z,顯然在B(1,3)處,zmax=-1+3=2;在C(1+因?yàn)閰^(qū)域不包括端點(diǎn),所以,故選擇A.

2.4 含參數(shù)的簡單線性規(guī)劃問題

線性規(guī)劃問題參數(shù)可以分為三種不同類型：線性約束條件定,目標(biāo)函數(shù)含參數(shù);線性約束條件含參數(shù),目標(biāo)函數(shù)定;線性約束條件含參數(shù),目標(biāo)函數(shù)含參數(shù).八年來唯一一次考查了含參數(shù)的簡單線性規(guī)劃問題,但是難度不大.

題目8(2014年全國卷文科第11題)設(shè)x,y滿足約束條件且z=x+ay的最小值為7,則a=()

A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3

解聯(lián)立x+y=a與x-y=-1解得交點(diǎn),z取得最值,解之得a=-5或a=3.但a=-5時,z取得最大值,舍去,所以a=3,故選B.

簡單解決這類問題時,首先要注意對參數(shù)取值的討論,以確定符合題意的可行域,尋找最優(yōu)解,從而確定參數(shù)的值.

3.備考策略

簡單線性規(guī)劃問題是在線性約束條件,線性約束目標(biāo)函數(shù)的情況下的一類最優(yōu)解問題.在約束條件是線性的情況下,線性目標(biāo)函數(shù)只有在可行域的頂點(diǎn)或者邊界上取得最值,在做選擇題或者填空題時,可以根據(jù)可行域的頂點(diǎn)直接進(jìn)行檢驗(yàn)求解,最大的檢驗(yàn)結(jié)果為最大值,最小的檢驗(yàn)結(jié)果為最小值.對于文科數(shù)學(xué)來講,八年來全國卷線性規(guī)劃問題考查的本質(zhì)內(nèi)容基本一致,都可以直接用可行域的頂點(diǎn)直接檢驗(yàn)求解.因此我們在備考的時候,主流方向是教授圖形法解決簡單線性規(guī)劃問題,但對于一些實(shí)在無法理解目標(biāo)函數(shù)的等值線束的考生來說,我們就必須對他們訓(xùn)練頂點(diǎn)檢驗(yàn)法,提高他們的得分能力.

考生應(yīng)該做到：對于常考形式必須滾瓜爛熟,對于不常見的形式也必須知曉.因此相關(guān)非線性問題的問題求解也要清楚.對于給定平面區(qū)域求解一些非線性目標(biāo)的最值或范圍時,要根據(jù)解析幾何知識理解目標(biāo)的幾何意義,根據(jù)幾何知識解決問題,有時需要適當(dāng)變換求解目標(biāo)的形式,使得幾何意義更加確定,便于問題的解決.常見代數(shù)式的幾何意義主要有：表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)的距離,表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)的距離.②表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率,表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率.

總之,利用簡單線性規(guī)劃的圖形法,可以提高學(xué)生綜合分析問題的能力,邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.本文從圖形法解簡單線性規(guī)劃問題出發(fā),將不等式作為解決優(yōu)化問題的工具,用不等式組刻畫平面區(qū)域,借助幾何直觀解決一些簡單線性規(guī)劃問題,有助于學(xué)生進(jìn)一步體會優(yōu)化思想,理解數(shù)形結(jié)合的方法以及不等式在解決與實(shí)際情境相關(guān)的優(yōu)化問題中的工具作用.