一種適合求復(fù)數(shù)根的拋物牛頓割線法

黃志強，郭妞萍，王希云

(1.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系，太原030024;2.西安財經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計學(xué)院，西安710061)

求解非線性方程f(x)=0根x*的數(shù)值方法首推牛頓迭代法[1]，其思想是給定一個初始近似解，過該點作曲線的切線，若切線與x軸相交，新近似解可采用該交點的橫坐標(biāo)，依此類推，得到—個近似解序列{xk}.迭代格式為:xn+1=xn-f(xn)·[f'(xn)]-1，n=1，2，…，但牛頓迭代法的一個明顯缺點是對每一個k都要計算f'(xk)，導(dǎo)數(shù)的計算往往十分麻煩，尤其當(dāng)f'(xk)相對較小時，計算要很精確，否則會產(chǎn)生很大的舍入誤差。因此，很多學(xué)者對它作了研究修改，但是在含根區(qū)間內(nèi)既要保持其收斂速度，又要在所考慮f'(xk)≠0這一苛刻條件，兩者不可以兼得，所以可從另外的角度來考慮該問題。

在文獻[2]中，給出了一種適合于迭代求復(fù)根的拋物牛頓法，這種新型迭代求解非線性方程的復(fù)數(shù)根方法，它在牛頓法失效時可替代使用。同時，對于實系數(shù)多項式，它可迭代出全部根，包括其實根和復(fù)根，其收斂程度也比牛頓法快。但是每迭代一次都需要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(xk)，如果函數(shù)在xk處的導(dǎo)數(shù)不存在，則此方法失效。本文針對拋物牛頓法存在的問題，將其進行了改進推廣，用傳統(tǒng)的割線代替切線思想，對拋物牛頓法進行修正，得到一種新方法——拋物牛頓割線法。它能有效克服上述這些方法的缺點，而且收斂速度比經(jīng)典的牛頓迭代法快。

1 拋物牛頓割線法的構(gòu)造

設(shè)f(x)=0是非線性方程，x=xk為f(x)=0的一個近似解，若f(x)在xk的某個領(lǐng)域內(nèi)三階可導(dǎo)，現(xiàn)將f(x)在點xk處用泰勒公式二階展開，即

則當(dāng)x∈U(xk)，f(x)≈h(x)，令h(x)=0

解方程得

以此作為f(x)=0的一個近似解，并構(gòu)造拋物牛頓割線法迭代格式[2]如下:

拋物牛頓割線法構(gòu)造思想為:假設(shè)f(x)在xk的某個領(lǐng)域內(nèi)三階可導(dǎo)，將f(x)在xk處用Taylor公式二階展開，按照傳統(tǒng)的割線法類似的思路，即用差商代替導(dǎo)數(shù)，提出一種新的迭代方法，迭代格式為

式(3)中的Ak，k-1，Bk，k-1采用雙點割線法進行計算。

若采用單點割線法進行計算，則計算公式為:

ω的取值應(yīng)使解xk+1比xk更接近解x*，為方便計算可取ω=±1.

定理1 設(shè)f(x)=0是非線性方程，s為f(x)=0的一個根，若f(x)在s的某個領(lǐng)域內(nèi)三階可導(dǎo)且f″(x)≠0，則存在 ε ＞ 0，當(dāng)x-1，x0∈Iε時，則由式(2)產(chǎn)生的序列收斂于方程的根。

拋物牛頓割線法符號ω可正可負，它意味著近似的拋物線或近似方程在復(fù)數(shù)域上的兩個解。已知牛頓切線法至少是二階收斂的，拋物牛頓法是三階收斂[2]的，所以拋物牛頓割線法的收斂速度應(yīng)該在二者之間，而且迭代中不需要導(dǎo)數(shù)的計算，可計算性和適應(yīng)性增強，后面的數(shù)值實驗也驗證了這個事實。

2 拋物牛頓割線法的幾何解釋

從幾何上看，如果在迭代點所作的拋物線g(x)=與x軸相交，則拋物牛頓割線法是將曲線f(x)上過點p(xk，f(xk))的拋物線與x軸的交點來代替f(x)與x的交點，拋物線g(x)與f(x)在點p(xk，f(xk))相交且具有相同的凹凸性，從而將拋物線g(x)=0的解可作為f(x)=0的一個新的近似解。

3 數(shù)值實驗

解 易知在復(fù)數(shù)域內(nèi)，5次的實多項式應(yīng)恰有5個根。該曲線有3個實根和一對共軛復(fù)根，若用牛頓切線法，僅能求出其3個實根。采用拋物牛頓割線法計算如下:采用公式0，1，2，…進行迭代，式中Ai，j，Bi，j由式(4)進行計算，計算結(jié)果如表1和表2所示。

表1 拋物牛頓割線法取(ω=1，x0=-10)時與牛頓切線法和拋物牛頓法迭代比較

表2 拋物牛頓割線法取(ω=1，x0=0)時與牛頓切線法和拋物牛頓法迭代比較

同理，取 ω =1，x0=8，x-1=10，經(jīng)過 5 次迭代可獲得方程的近似根9.375 676，牛頓迭代法需要5次，拋物牛頓法需要3次迭代。取ω=-1，x0=6，x-1=8，經(jīng)過6次迭代可獲得方程的近似根3.080 095，牛頓迭代法需要7次，拋物牛頓法需要4次迭代。由于實系數(shù)多項式的復(fù)根成對出現(xiàn)，所以方程的另一個復(fù)根為0.284 8-1.831 036i.

算例2 求方程x-lnx=2在(2，∞)的根，計算中要求精確到10-8.

解 采用式(2)-(3)進行迭代計算，計算結(jié)果列于表3，結(jié)果表明拋物牛頓割線法具有相當(dāng)?shù)氖諗克俣?，且不受?dǎo)數(shù)條件的限制。

表3 拋物牛頓割線法取ω=1時與牛頓切線法和牛頓割線法迭代比較

4 結(jié)論與展望

本文提出了一種新型求解非線性方程的迭代方法——拋物牛頓割線法，它不需要函數(shù)在節(jié)點處導(dǎo)數(shù)信息，計算速度比牛頓迭代法要快，實質(zhì)上相當(dāng)于對牛頓割線法的一種加速，可以迭代求解復(fù)數(shù)域內(nèi)實系數(shù)多項的全部解。對于方程組有類似的結(jié)論，但方法將復(fù)雜的多，同理對于實系數(shù)多項式方程組，也能迭代出復(fù)數(shù)域內(nèi)全部的實根和復(fù)根。但是和拋物牛頓法相比，拋物牛頓割線法是多步方法，收斂速度沒有拋物牛頓法快，其優(yōu)點是不需要求函數(shù)在迭代節(jié)點處導(dǎo)數(shù)值，計算工作量要小，在牛頓法和拋物牛頓法失效的情況下，此方法可以繼續(xù)迭代計算。

[1]吳新元.對牛頓迭代法的一個重要修改[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1999，20(8):863-866.

[2]王禮廣，熊岳山，蔡放.一種適合于迭代求復(fù)數(shù)根的拋物牛頓法[J].湖南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，30(4):11-14.

[3]顏慶津.數(shù)值分析[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2000.

[4]周智恒，范毅，廖芹.一元實系數(shù)多項式方程根的求解問題[J].華南理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2002，30(5):8-11.

[5]WILKISION J H.代數(shù)特征值問題[M].石鐘慈，譯.北京:科學(xué)出版社，1987.