中考綜合題及其求解策略

225754 江蘇省興化市垛田初級中學 沈 剛225700 江蘇省興化市教育局教研室 陳德前

所謂綜合題，是指涉及的數(shù)學知識比較廣泛，運算、論證、作圖等比較復雜，需要靈活運用多方面的數(shù)學知識和熟練地技能技巧才能解答的問題.綜合題不等于難題，有些競賽題需要用某種特殊解法，但涉及的知識并不多，不能稱為綜合題.我們這里所談的綜合題，相當于中考試卷中的最后幾道題.

綜合題具有串聯(lián)數(shù)學基礎知識和基本技能、靈活運用解題方法、進行多層次思維訓練、提高綜合運用能力這樣一些明顯功能.因此，加強綜合題的解題訓練，有利于將所學的數(shù)學知識和技能融會貫通，起到復習、鞏固、拓展、提高的作用，也有利于提高分析問題和解決問題的能力.要能順利地解答綜合題，必須深刻地、透徹地理解基礎知識，掌握各個知識點之間的相互聯(lián)系，還必須具備扎實的解題基本功，掌握好各種基本的解題方法與技巧.綜合題的解題過程一般都比較復雜，有時需要經(jīng)過迂回曲折的途徑才能達到目的.有些綜合題中還隱含著不易發(fā)現(xiàn)的隱含條件.這就要求我們在解綜合題時，首先要認真審題，通過觀察、分析，找出其中的難點所在，并通過聯(lián)想(猜想)與概括，發(fā)現(xiàn)隱含條件，理順解題思路，設計解題方案，而且在思考問題時，應盡量做到全面些、深刻些、靈活些.

初中數(shù)學綜合題從知識科目上分有單科綜合題和多科綜合題，從題目形式上分有單一題和組合題.解綜合題的基本方法就是把綜合題分解為單一的基本題，把復雜圖形分解為基本圖形來處理.本文以中考題為例進行說明.

例1(2010年廣州市)如圖1，⊙O的半徑為 1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是弧上的任一點(與端點A，B不重合)，DE⊥AB于點E，以點D為端點，DE長為半徑作⊙D，分別過點A，B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C.

圖1

(1)求弦AB的長;

(2)判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小;否則，請說明理由;

1 分析

這是一道與圓相關的幾何學科的綜合題，考查了圓中的眾多知識和一些基本的數(shù)學思想方法，涉及到的知識點有垂徑定理、勾股定理、圓周角和圓心角定理、切線的性質定理、切線長定理、三角形內切圓的性質、兩圓的位置關系、三角形面積等，考查的數(shù)學思想方法有轉化思想、方程思想、建模思想、不變量思想等.解決這個問題的關鍵是將這道綜合題分解為一系列的基本題，在解決了這些基本題后，問題就迎刃而解了.

2 基本題

基本題1

如圖2，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，垂足為E，求弦AB的長.

圖2

基本題2

如圖3，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是上的任一點(與端點A，B不重合)，求∠ADB的大小.

點評這是考查圓周角性質應用的問題，人教版九年級上冊課本在第94頁，第95頁，第130頁等處多次出現(xiàn)過這樣的問題，特別是圖3中的四邊形APBO與第95頁的第10題完全相同，因此易求∠ADB=∠APB=120°.

基本題3

如圖4，⊙D是△ABC的內切圓，∠ADB=120°，求∠ACB的大小.

圖4

基本題4

如圖4，△ABC中，AB=，∠ACB=60°，⊙D是△ABC的內切圓，DE⊥AB于點E，設DE=r，試用含r的代數(shù)式表示△ABC的周長.

點評這是考查切線長定理的問題，人教版九年級上冊課本在第105頁，第106頁，第110頁，第112頁等處多次出現(xiàn)過這樣的問題.

設AC，BC分別切⊙D于F，G，由切線長定理可知

AF=AE，BG=BE，CF=CG，CD平分∠ACB.

因為AB=，∠ACB=60°，

所以AB+AF+BG=2，∠ACD=∠DCB=30°，又DF⊥AC于點F，DF=r，

所以CF=CG=r，

所以△ABC的周長 = 2+2r.

基本題5

如圖 5，△ABC中，AB=，∠ACB=60°，⊙D是△ABC的內切圓，DE⊥AB于點E，記△ABC的面積為S，若求△ABC的周長.

圖5

又由基本題4可知AB+BC+AC= 2+ 2DE，

至此，這道綜合題的解題思路已清晰顯現(xiàn)，完整的解題過程如下.

3 求解

解(1)如圖 6，連接OA，取OP與AB的交點為F，則有OA=1.

∵弦AB垂直平分線段OP，

圖6

在Rt△OAF中，

∴AB=2AF=.

(2)∠ACB是定值.

理由：由(1)易知，∠AOB=120°，

因為點D為△ABC的內心，

所以連接AD，BD，

則∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，

所以∠CAB+∠CBA=120°，

所以∠ACB=60°;

(3)記△ABC的周長為l，取AC，BC與⊙D的切點分別為G，H，連接DG，DC，DH，則有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∵CG，CH是⊙D的切線，

∴CH=CG=DE.

又由切線長定理可知AG=AE，BH=BE，

∴l(xiāng)=AB+BC+AC= 2+ 2DE=8DE，

圖7

例2(2011年衢州市)已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點A(1，0)，點B(－3，0)，并且當兩條直線同時相交于y軸正半軸的點C時，恰好有l(wèi)1⊥l2，經(jīng)過點A，B，C的拋物線的對稱軸與直線l1交于點K，如圖7所示.

(1)求點C的坐標，并求出拋物線的函數(shù)解析式.

(2)拋物線的對稱軸被直線l1，拋物線，直線l2和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關系?請說明理由.

(3)當直線l2繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M.請找出使△MCK為等腰三角形的點M.簡述理由，并寫出點M的坐標.

1 分析

這是一道中考壓軸題，是多學科的綜合題，考查了代數(shù)中的點的坐標、一次函數(shù)、二次函數(shù)、方程(組)、兩點之間的距離，幾何中的三角形三邊之間的關系、勾股定理、等腰三角形、相似三角形以及三角函數(shù)等知識，涉及到的數(shù)學思想方法有分類思想、數(shù)形結合思想、轉化思想、方程思想等.解決它的關鍵是將它分解為基本題，可分解為如下一些基本題.

2 基本題

問題1在△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于點O，若OA=1，OB=3，求OC的長;

問題2已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點A(1，0)，點B(－3，0)，并且當兩條直線同時相交于y軸正半軸的點C時，恰好有l(wèi)1⊥l2，求點C的坐標;

問題3求經(jīng)過點A(1，0)，點B(－3，0)，點C(0，)的拋物線的函數(shù)解析式;

問題4已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點A(1，0)，點B(－3，0)，相交于點C(0，)，求直線l1，l2的函數(shù)解析式;

問題7已知△CKM，點C(0，)，K(－1，2)，M(－1，m)，請求出使△MCK為等腰三角形的m的值.

3 求解

(1)解法1由題易知△BOC∽△COA，

∴點C的坐標是(0).由題意，可設拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+，把A(1，0)，B(－3，0)分別代入y=ax2+bx+，得

解法2由勾股定理，得

(OC2+OB2)+(OC2+OA2)=BC2+AC2=AB2，

又∵OB=3，OA=1，AB=4，

∴OC=-，

∴ 點C的坐標是(0).

由題意可設拋物線的函數(shù)解析式為

把C(0，)代入得a=－，

所以拋物線的函數(shù)解析式為

(2)解法1截得三條線段的數(shù)量關系為KD=DE=EF，理由如下：

由此可求得點K的坐標為(－1，2)，

點F的坐標為(－1，0)，

∴KD=DE=EF;

解法2截得三條線段的數(shù)量關系為KD=DE=EF，理由如下：

由題意可知 Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，

(3)當點M的坐標分別為(－2,)，(－1，)時，△MCK為等腰三角形.理由是：

解法1(ⅰ)以點K為圓心，線段KC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點M1，由拋物線對稱性可知點M1為點C關于直線x=－1的對稱點，所以點M1的坐標為(－2，)，此時△M1CK為等腰三角形;

(ⅱ)當以點C為圓心，線段CK長為半徑畫圓弧時，與拋物線交點為點M1和點A，而三點A，C，K在同一直線上，不能構成三角形;

(ⅲ)作線段KC的中垂線l，由點D是KE的中點，且l1⊥l2，可知l經(jīng)過點D，

解法2當點M的坐標分別為(－2，)，(－1，)時，△MCK為等腰三角形.理由如下：

(ⅰ)連接BK，交拋物線于點G，易知點G的坐標為(－2，).

又因為點C的坐標為(0，)，則GC∥AB.

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，

∴△CGK為正三角形，

∴當l2與拋物線交于點G，即l2∥AB時，符合題意，此時點M1的坐標為(－2，);

(ⅲ)當點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，但點A，C，K在同一直線上，不能構成三角形.綜上所述，當點M的坐標分別為(－2，)，(－1，)時，△MCK為等腰三角形.

由上可見，解綜合題的基本方法就是把綜合題分解為單一的基本題，解決了這些單一的基本題，就可以它們?yōu)榛A，當作零件，算成半成品或標準件，用到綜合題中去，進行復合，就可以形成綜合題的解題思路.因此，在平時的教學中要通過典型試題的分析，幫助學生掌握將綜合題分解為基本題的方法與技巧，使學生能切實掌握，靈活應用，以提高學生解綜合題的能力.