多種不確定因素環(huán)境下的最優(yōu)產(chǎn)能決策研究

程 亮，周昌林，汪小京

(寧波現(xiàn)代物流規(guī)劃研究院物流組織與政策研究室，浙江寧波315042)

隨著全球競(jìng)爭(zhēng)的日趨激烈、產(chǎn)品快速開(kāi)發(fā)能力的不斷提高，以及顧客需求多樣化和個(gè)性化的發(fā)展，使得準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)其銷(xiāo)售產(chǎn)品的種類(lèi)以及相應(yīng)地規(guī)劃產(chǎn)品和訂單變得越來(lái)越困難。因此，在不確定的環(huán)境下，制造商需要在生產(chǎn)期初選擇合適的產(chǎn)能，一方面要考慮盡可能地滿足顧客需求，另一方面要避免產(chǎn)能過(guò)剩，節(jié)約投資成本。

基于以上實(shí)際問(wèn)題背景，筆者考慮不確定環(huán)境下制造商的最優(yōu)生產(chǎn)能力決策問(wèn)題。具體而言，考慮有限計(jì)劃期內(nèi)，制造商的訂單需求、生產(chǎn)及外包成本等要素都是隨機(jī)變量，首先，在計(jì)劃期初，制造商要確定一定的生產(chǎn)能力水平;然后，在計(jì)劃期期間，通過(guò)生產(chǎn)備貨方式滿足下游顧客訂單需求，并且當(dāng)制造商的生產(chǎn)能力不夠時(shí)，允許制造商采取外包方式滿足下游訂單需求，有限生產(chǎn)能力下的生產(chǎn)與外包模型如圖1所示。

圖1 有限生產(chǎn)能力下的生產(chǎn)與外包模型

與該研究相關(guān)的主要有兩個(gè)方面的研究，一是生產(chǎn)能力優(yōu)化研究。在初始能力規(guī)劃研究方面，ATAY［1］、HOOD［2］研究了市場(chǎng)需求不確定情況下半導(dǎo)體制造企業(yè)的能力規(guī)劃問(wèn)題，建立了用于能力投資決策的隨機(jī)整數(shù)規(guī)劃模型;KARABUK［3］研究了面對(duì)市場(chǎng)需求和制造能力均不確定的情況下半導(dǎo)體制造企業(yè)的戰(zhàn)略能力規(guī)劃問(wèn)題，依據(jù)市場(chǎng)銷(xiāo)售和產(chǎn)品生產(chǎn)決策的分散化特性，構(gòu)建了一個(gè)能力大小決策模型;潘景銘等以期望總成本最小化為目標(biāo)函數(shù)，分別建立了不確定需求條件下供應(yīng)鏈期望總成本與生產(chǎn)柔性之間的關(guān)系模型，并給出了最佳生產(chǎn)柔性的確定方法［4－5］。與以上研究不同，筆者同時(shí)考慮了多種不確定因素，包括隨機(jī)需求、隨機(jī)生產(chǎn)成本以及隨外包成本，這與企業(yè)運(yùn)作環(huán)境更相符，另外，筆者通過(guò)結(jié)合動(dòng)態(tài)批量模型和Monte－Carlo模擬得到了生產(chǎn)商期望總成本與生產(chǎn)能力之間的關(guān)系。而與筆者研究相關(guān)的是動(dòng)態(tài)批量研究，WAGNER和WHITIN［6?首先考慮了確定需求環(huán)境下的動(dòng)態(tài)補(bǔ)貨決策模型(一般簡(jiǎn)稱(chēng)該模型為WW模型)，得出最優(yōu)的補(bǔ)貨策略滿足“零庫(kù)存補(bǔ)貨”規(guī)則，該規(guī)則是WW模型求解算法的基石。隨后，大量文獻(xiàn)對(duì)WW模型進(jìn)行拓展，包括缺貨等待、學(xué)習(xí)效應(yīng)和易腐產(chǎn)品等方面，HSU［7］對(duì)動(dòng)態(tài)批量問(wèn)題做了一個(gè)比較全面的綜述。將該研究中生產(chǎn)決策轉(zhuǎn)換為補(bǔ)貨決策，產(chǎn)能約束可以視為庫(kù)存能力約束，因此，相近的文獻(xiàn)主要是研究庫(kù)存能力受限環(huán)境下的補(bǔ)貨策略，LOVE［8］研究了固定庫(kù)存能力條件下的補(bǔ)貨模型，假設(shè)需求在缺貨情況下完全等待，設(shè)計(jì)了一個(gè)O(T3)算法得到最優(yōu)的補(bǔ)貨策略。ATAMTüRK和Kü?üKYAVUZ［9］研究了時(shí)變庫(kù)存能力條件下的補(bǔ)貨模型，假設(shè)不允許缺貨發(fā)生，且?guī)齑娉杀局邪ü潭ǔ杀竞途€性持有成本，設(shè)計(jì)了一個(gè)O(T4)算法得到最優(yōu)的補(bǔ)貨策略。CHU［10］等研究了儲(chǔ)存能力受限條件下的補(bǔ)貨及外包模型，假設(shè)不允許存在缺貨情況，設(shè)計(jì)了一個(gè)O(T2lb T)算法得到最優(yōu)的補(bǔ)貨以及外包策略。AKSEN［11］等研究了有限計(jì)劃期內(nèi)的補(bǔ)貨及外包模型，當(dāng)下一時(shí)期的銷(xiāo)售價(jià)格遠(yuǎn)高于當(dāng)期價(jià)格時(shí)，企業(yè)會(huì)采取外包方式滿足當(dāng)期需求，而將庫(kù)存儲(chǔ)備到下一時(shí)期從而獲取更多的利潤(rùn)，并設(shè)計(jì)了一個(gè)O(T2)算法得到最優(yōu)補(bǔ)貨及外包策略。與以上文獻(xiàn)不同，筆者不僅考慮了制造商的產(chǎn)能限制，而且考慮了外包策略，提出了一個(gè)多項(xiàng)式算法得到固定產(chǎn)能限制下的生產(chǎn)及外包策略，同時(shí)通過(guò)Monte－Carlo模擬得到多種不確定條件的最優(yōu)生產(chǎn)能力。

1 模型構(gòu)建

1.1 基本假設(shè)及參數(shù)定義

筆者主要考慮制造商在不確定環(huán)境下的最優(yōu)生產(chǎn)能力決策問(wèn)題。制造商擁有一定的生產(chǎn)能力，由于短期內(nèi)不能擴(kuò)大生產(chǎn)能力，制造商在整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)能力保持不變，且生產(chǎn)提前期為零。另外，當(dāng)制造商的庫(kù)存發(fā)生缺貨時(shí)，制造商將采取外包方式滿足下游顧客的需求，且外包交貨提前期為零。表1為符號(hào)及變量定義。

表1 符號(hào)及變量定義

與大多數(shù)動(dòng)態(tài)批量研究假設(shè)相同，其假設(shè)如下:

(1)制造商的庫(kù)存水平在計(jì)劃期初和期末均為零，即I0=IT=0。

(2)制造商不允許缺貨等待，所有下游零售商訂單需求必須及時(shí)滿足。

同時(shí)，筆者考慮存在多種不確定因素的環(huán)境下，假設(shè)在有限計(jì)劃期內(nèi)，與傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)批量研究相反的假設(shè)如下:

(1)下游零售商需求為不確定的動(dòng)態(tài)需求，服從均值為d，方差為φ的正態(tài)分布;

(2)制造商的單位外包成本st服從均勻分布，即

(3)制造商的單位生產(chǎn)成本ct服從均勻分布，即

1.2 模型構(gòu)建

在有限生產(chǎn)能力條件下，制造商以最小化總成本為目標(biāo)，包括總生產(chǎn)成本、外包成本和庫(kù)存成本，具體分析如下:

(1)制造商在第t周期發(fā)生的總生產(chǎn)成本包括固定生產(chǎn)成本、變動(dòng)生產(chǎn)成本和產(chǎn)能空閑成本:

(2)制造商在第t周期發(fā)生的外包成本為:

(3)制造商在第t周期內(nèi)發(fā)生的庫(kù)存成本為:

由此，可以得到制造商在整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)的總成本為:

因此，在計(jì)劃期T內(nèi)，制造商首先確定生產(chǎn)能力P，然后在固定生產(chǎn)能力下優(yōu)化每個(gè)周期的生產(chǎn)與外包決策(X={xt，1≤t≤T}，Y={yt，1≤t≤T})，以最小化整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)的期望總成本，故可以用以下數(shù)學(xué)模型表示:

其中，約束等式(6)為制造商處庫(kù)存水平的平衡關(guān)系，約束不等式(7)為制造商的生產(chǎn)量受到生產(chǎn)能力的限制，約束不等式(8)為制造商的生產(chǎn)或外包量均為非負(fù)值。

2 模型求解

2.1 最優(yōu)生產(chǎn)與外包策略分析

由于生產(chǎn)能力限制，當(dāng)期生產(chǎn)能力不能滿足該生產(chǎn)周期內(nèi)的訂單需求，有可能充分利用上一生產(chǎn)周期內(nèi)多余的生產(chǎn)能力，進(jìn)行前期備貨。例如:T=2;P=10;d=(5，15)，K=0，最優(yōu)生產(chǎn)策略X=(10，10)，充分利用第一時(shí)期內(nèi)的生產(chǎn)能力滿足第二時(shí)期內(nèi)大量的需求，這種情形在空調(diào)行業(yè)比較常見(jiàn)。因此，可以得到命題1。

命題1存在一個(gè)最優(yōu)生產(chǎn)策略不一定滿足It－1xt=0，I≤t≤T。

命題1說(shuō)明零庫(kù)存生產(chǎn)規(guī)則不一定成立，故采用傳統(tǒng)WW模型和算法不能求解有限生產(chǎn)能力下的生產(chǎn)與外包批量策略。因此，筆者考慮零庫(kù)存生產(chǎn)這種特殊的生產(chǎn)策略，定義C(i，j)為制造商在生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)滿足i，…，j－1期內(nèi)下游零售商所有訂單需求的最小成本，定義V(j)為制造商滿足i，…，j－1期內(nèi)下游零售商所有訂單需求的最小成本，則V(T+1)為制造商在整個(gè)計(jì)劃期T內(nèi)的最小總成本。在零庫(kù)存生產(chǎn)策略下，可以建立以下動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程:

為優(yōu)化計(jì)算，定義原點(diǎn)V(0)=0，有c=0，K0=0，h0=M，且假設(shè)cT+1=0，KT+1=0，hT+1=M，其中M為一個(gè)足夠大的自然數(shù)。引入初始0階段和T+1這兩個(gè)階段，是為了確保計(jì)劃期期初和結(jié)尾階段都發(fā)生補(bǔ)貨需求，以?xún)?yōu)化計(jì)算整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)成本。求解動(dòng)態(tài)方程式(9)的關(guān)鍵之處在于求解生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)的總成本，通過(guò)優(yōu)化生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)的生產(chǎn)及外包策略，得到C(i，j)。

命題2在生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)，①若rk＞0，采用生產(chǎn)備貨方式依次滿足集合Λ1={l1，l2，…，ln}中的訂單需求，直至充分利用生產(chǎn)能力，超出生產(chǎn)能力部分采用外包方式滿足;②若rk≤0，采用外包的方式滿足 中的訂單需求。根據(jù)命題2，分別考慮以下兩種情況:

因此，根據(jù)以上分析，可以設(shè)計(jì)算法1得到最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略。

算法1固定生產(chǎn)能力條件下最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略。

初始化:V(0)=0，C(0，1)=0;

For j=1∶T+1

For i=1∶j－1

(1)在生產(chǎn)周期(i，j)內(nèi)，權(quán)衡生產(chǎn)成本和外包成本，得到集合Λ1和Λ2;

(2)在集合Λ1和Λ2內(nèi)，確定生產(chǎn)成本和外包成本;

(3)根據(jù)式(10)和式(11)，計(jì)算C(i，j);

End

V(j)=min{V(i)+C(i，j)+Kj∶0≤j≤T+1};End得到最小總成本TC(P)=V(T+1)。

算法1包括兩個(gè)循環(huán)，每個(gè)循環(huán)的計(jì)算復(fù)雜度至多為O(T)，因此可得到命題3。

命題3在確定性環(huán)境下，算法1可以得到固定生產(chǎn)能力條件下最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略，且計(jì)算復(fù)雜度為O(T2)。

2.2 最優(yōu)生產(chǎn)能力Monte－Carlo模型

考慮到下游零售商的訂單需求、單位生產(chǎn)成本以及外包成本等多種因素都為隨機(jī)變量，以下通過(guò)Monte－Carlo模擬方法，隨機(jī)產(chǎn)生下游訂單需求、生產(chǎn)及外包成本等參數(shù)，根據(jù)算法1得到隨機(jī)參數(shù)設(shè)置環(huán)境下的最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略，進(jìn)而得到不同生產(chǎn)能力下的總成本。最后，通過(guò)不斷更新生產(chǎn)能力，得到不同生產(chǎn)能力下的總成本變化趨勢(shì)，得到最小期望總成本下的最優(yōu)生產(chǎn)能力，其模擬過(guò)程如圖2所示。

圖2 Monte－Carlo模擬過(guò)程

根據(jù)圖2中的模擬過(guò)程，可設(shè)計(jì)算法2得到最優(yōu)的生產(chǎn)能力。

算法2隨機(jī)環(huán)境下的最優(yōu)生產(chǎn)能力。

步驟1:P=0，計(jì)算TC(P);

子步驟1:(1)根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)產(chǎn)生訂單需求D={dt，t=1，…，T};

(2)根據(jù)均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生生產(chǎn)成本C={ct，t=1，…，T};

(3)根據(jù)均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生外包成本S={st，t=1，…，T};

子步驟2:根據(jù)算法1，得最小總成本TC(P);

步驟2:Δ=TC(P+1)－TC(P)，若 Δ＞0，P=P+1，返回到步驟1;

否則，停止，得到最優(yōu)的生產(chǎn)能力P*=P。

3 算例分析

考慮制造商未來(lái)一年(計(jì)劃期T=12)的生產(chǎn)及外包決策問(wèn)題。下游訂單需求服從均值為15，方差為5的正態(tài)分布，即D=norm(15，5);生產(chǎn)成本為C=uniform(10，3)，外包成本為C=uniform(12，2)，生產(chǎn)能力閑置成本及其他參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 制造的參數(shù)設(shè)置

通過(guò)模擬10 000次，得到不同生產(chǎn)能力下的期望總成本，如圖3所示，產(chǎn)能設(shè)置在P*=18比較合適。若產(chǎn)能過(guò)小，大部分訂單都需要通過(guò)外包完成，由于外包成本一般比單位制造成本更高，期望總成本在產(chǎn)能較小時(shí)會(huì)隨著產(chǎn)能增大而減小;若產(chǎn)能增加到一定范圍，產(chǎn)能對(duì)計(jì)劃期內(nèi)的運(yùn)營(yíng)總成本沒(méi)有影響，但是由于存在一定的不確定因素，總成本會(huì)在一定范圍內(nèi)波動(dòng)。

圖3 不同產(chǎn)能下的期望總成本

圖4 為不同需求環(huán)境下的最優(yōu)產(chǎn)能設(shè)置，最優(yōu)產(chǎn)能大小隨著需求波動(dòng)增大而增大，尤其是當(dāng)外包成本比較高時(shí)，為了避免丟失訂單，企業(yè)在面臨波動(dòng)較大的需求訂單時(shí)需要設(shè)置更大的產(chǎn)能。

圖4 不同需求波動(dòng)下的最優(yōu)產(chǎn)能

4 結(jié)論

筆者結(jié)合動(dòng)態(tài)批量模型以及Monte－Carlo模擬兩種方法，以最小化有限計(jì)劃期內(nèi)的期望總成本，優(yōu)化總生產(chǎn)能力。動(dòng)態(tài)批量模型較好地反映了制造商在確定性環(huán)境下的生產(chǎn)及外包計(jì)劃，但該模型缺少對(duì)不確定性因素的反映。因此，考慮到涉及需求、生產(chǎn)及外包成本的不確定性，筆者將Monte－Carlo模擬方法融入到動(dòng)態(tài)批量模型中，首先通過(guò)動(dòng)態(tài)批量模型，提出了一個(gè)多項(xiàng)式算法得到固定生產(chǎn)能力條件下的最優(yōu)生產(chǎn)及外包策略，并得到最小總成本;然后結(jié)合Monte－Carlo方法，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得到制造商生產(chǎn)能力與成本及服務(wù)水平之間的關(guān)系，為企業(yè)在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中提供借鑒。

［1］ATAY B，ERENGü?S S，VAKHARIA A J.Tool capacity planning in semiconductor manufacturing［J］.Computers＆Operations Research，2003，30(9):1349－1366.

［2］HOOD S J，BERMON S，BARAHONA F.Capacity planning under demand uncertainty for semiconductor manufacturing［J］.IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing，2003，16(2):273－280.

［3］KARABUK S，DAVID SW.Coordinating strategic capacity planning in the semiconductor industry［J］.Operations Research，2003，51(6):839－849.

［4］潘景銘，唐小我.需求不確定條件下柔性供應(yīng)鏈生產(chǎn)決策模型及優(yōu)化［J］.控制與決策，2004，19(4):411－415.

［5］潘景銘，唐小我，倪得兵.供應(yīng)鏈生產(chǎn)柔性有效邊界研究［J］.管理工程學(xué)報(bào)，2005，19(2):130－132.

［6］WAGNER H M，WHITIN TM.Dynamic version of the economic lot size model［J］.Management Science，1958，5(1):89－97.

［7］HSU V N.Dynamic economic lot sizemodel with perishable inventory［J］.Management Science，2000，47(6):1159－1169.

［8］LOVE S F.Bounded production and inventory models with piecewise concave costs［J］.Management Science，1973，20(3):313－318.

［9］ATAMTüRK A，Kü?üKYAVUZ S.Lot sizing with inventory bounds and fixed costs:polvhedral study and computation［J］.Operations Research，2005，53(4):711－730.

［10］CHU F，CHU C.Single item dynamic lot－sizing models with bounded inventory and outsourcing［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics－Part A:Systems and Humans，2008，38(1):70－77.

［11］AKSEN D，ALTINKEMER K，CHAND S.The single－item lot－sizing problem with immediate lost sales［J］.European Journal of Operational Research，2003，147(3):558－566.