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    基于頻率的大素數(shù)高效生成算法

    2011-07-05 11:20:02湯鵬志
    華東交通大學學報 2011年5期
    關鍵詞:素數(shù)檢測法頻數(shù)

    湯鵬志,李 彪

    (華東交通大學基礎科學學院,江西南昌330013)

    1977年Ron Rivest、Adi Shamirh和Len Adleman提出公鑰密碼體制(RSA)加解密算法,其安全性在于在計算機上生成兩個足夠長度的大素數(shù),其乘積具難分解性[1-2]。目前,素數(shù)確定性算法主要分為遞歸試除法,Eratosthenes篩法,Miller檢驗和多項式時間內判定的素數(shù)(AKS)算法。文獻[3]分析表明,Eratosthenes篩法是一種較好的素數(shù)確定性算法。根據(jù)文獻[4],任意素數(shù)(除2和3)均可表示為的理論,可提升篩法效率。生成大素數(shù)的方法是隨機產生一個大整數(shù),然后進行素性檢測。文獻[5]提出一種用概率方法來研究素數(shù)的分布,是提升大整數(shù)素性的有效途徑。常用的素數(shù)檢驗算法主要為Fermart算法、Solovay-Strassen檢測法、Lehman檢測法、Miller檢驗、Miller-Rabin檢測法和AKS算法[6]。通過分析當今的大素數(shù)生成方法與原理[7-11],提升大整數(shù)的素性和選擇優(yōu)良的素數(shù)檢驗算法,從而提出一種改進的大素數(shù)的高效生成算法。

    1 構建素數(shù)庫

    對素數(shù)的分布頻率研究,需建立在素數(shù)庫的基礎之上。在素數(shù)的研究領域中,確定性素數(shù)算法存在很多,如試除法,Eratosthenes篩選法,Miller檢驗,AKS算法等。在素數(shù)算法中,Eratosthenes篩法應用非常廣泛。傳統(tǒng)Eratosthenes篩法需要對每個數(shù)依次比較,算法的效率較為低下,通過對Eratosthenes篩法進行優(yōu)化,得出素數(shù)庫構建算法。

    定理1 除2和3之外,素數(shù)均可表示成6k±1(k∈N)的形式。

    定理2 如果k為素數(shù),則k×j(j∈N+)必為合數(shù)。

    推論1 在Eratosthenes篩法中對尋求到的第一個素數(shù)k,在區(qū)間(1 ,k2)沒有被劃掉的數(shù)均為素數(shù)。

    定義一個bool型素數(shù)判定數(shù)組p[n+1]。根據(jù)定理1,當i=2或i=3或i=6k+1或時,p[i]=true;否則p[i]=false。尋找第一個p[i]=true(i∶ 5?n)的素數(shù)i,i的倍數(shù)均為合數(shù)。另外,數(shù)組賦值時已去除偶數(shù),將內層循環(huán)j限定為奇數(shù)。故當素數(shù)為時,有。最后所有滿足的i就是區(qū)間的所有素數(shù)。算法如下

    2 素數(shù)的頻率分布

    素數(shù)具有無窮多個,并且隨區(qū)間變大而逐漸變得稀疏。通過運行素數(shù)庫構建算法,得到區(qū)間(0 ,109)中的素數(shù)庫,從而考察素數(shù)的尾數(shù)分布情況。

    定義1 在某個區(qū)間范圍內,用素數(shù)模100的余數(shù)進行分類,各類余數(shù)中擁有素數(shù)的個數(shù)稱為素模百頻數(shù)。

    表1 各區(qū)間的素模百頻數(shù)Tab.1 Frequency of module in various regions

    通過表1可知,素數(shù)尾數(shù)的分布大致相同,即任何尾數(shù)在區(qū)間中所占的素數(shù)的概率是同等的。如若一個整數(shù)在生成之時,已經(jīng)排除存在部分素因子,則它是素數(shù)的可能性會更大。

    定義2 在某個區(qū)間范圍內,滿足表達式ΠPi×k+1(Pi為小素數(shù))的整數(shù)中,所占素數(shù)的個數(shù)稱為素積頻數(shù)。

    表2 各區(qū)間的素積頻數(shù)Tab.2 Frequency of prime number in various regions

    通過觀察表2中的數(shù)據(jù),隨著過濾的素因子的個數(shù)增加,區(qū)間內的素積頻數(shù)逐漸減少。但隨著表達式過濾素因子的個數(shù)增加,無法清晰得到該表達式下整數(shù)是素數(shù)的可能性變化狀況。

    定義3 在某個區(qū)間中,滿足表達式ΠPi×k+1(Pi為小素數(shù))的素積頻數(shù)與整數(shù)個數(shù)比值,稱為素積頻率。

    表3 各區(qū)間的素積頻率Tab.3 Frequency of prime number in various regions %

    通過分析表3中的數(shù)據(jù),隨著過濾的素因子的個數(shù)增加,區(qū)間內的素積頻率逐漸增大。通過實踐表明:采用小于512的素數(shù)可以淘汰大約82%的非素整數(shù)。

    3 素數(shù)檢驗算法分析

    素數(shù)檢驗算法分為確定性檢驗算法和概率檢驗算法。通過確定性檢驗算法的得到的數(shù)一定是素數(shù),Miller檢驗和AKS算法就是常用的確定性算方法。通過概率性檢驗算法得到的數(shù)只是偽素數(shù),F(xiàn)ermart算法、Solovay-Strassen檢測法、Lehman檢測法和Miller-Rabin檢測法是現(xiàn)今流行的概率算法。確定性檢驗算法需要深厚的數(shù)學理論基礎,算法的實現(xiàn)相當復雜。而概率檢驗算法雖然存在一定的概率得到偽素數(shù),但經(jīng)過多次測試可將報錯率控制在極低的范圍內。通過表4的算法分析,可知Miller-Rabin算法是素數(shù)檢驗算法中的最佳選擇。

    表4 素數(shù)檢驗算法分析情況Tab.4 Analysis of prime number inspection algorithm

    4 大素數(shù)生成算法

    通過改進ISO/IEC標準[12],得出一種高效的大素數(shù)生成算法。在實際的工程中,如若需要生成一個1 024位(二進制數(shù))的素數(shù)q,則必須滿足,其中。依據(jù)分析,滿足表達式2×3×5×…×509k+1(k∈N)的整數(shù)已經(jīng)濾掉了所有小于512的素因子,該數(shù)在生成時就已經(jīng)過濾掉80%以上的非素數(shù)。在素數(shù)的生成和檢驗算法實施前,需要計算參數(shù)m,n,kj,其中1≤j≤97且j∈N,m=2k1×3k2×5k3×…×503k96×509k97,n=2×3×5×…×503×509,并且m必須滿足m+1≥qmin。在算法中,每迭代一次整數(shù)q需要加n,其中q=q+n,保證篩選的范圍內的整數(shù)的個數(shù),必須對n的數(shù)量級進行分析。由于n=2×3×5×…×503×509<21×22×23×…×210×210=2746,則在篩選的范圍中存在的整數(shù)個數(shù)i=21023/2746=2277個。在如此大的區(qū)間中,一定能夠找到若干個素數(shù)。算法如下

    5 結論分析

    本文提出了一種對素數(shù)尾數(shù)的分類頻數(shù)和表達式下素數(shù)頻率的分析方法,通過小素數(shù)對整數(shù)進行初次過濾,經(jīng)過對素數(shù)檢驗算法的全面剖析,最后使用Miller-Rabin算法對形如ΠPim×n+1(Pi為小素數(shù))的整數(shù)進行檢驗。算法中通過利用1 024位和746位的兩個大整數(shù)空間存儲中間數(shù)據(jù),跳躍大整數(shù)含有小素數(shù)因子的可能,降低算法的循環(huán)遍歷次數(shù),從而提升了算法的運行效率。

    表5數(shù)據(jù)表明,本文的大素數(shù)生成算法可以快速的生成若干個大素數(shù),從而為RSA加解密算法提供強有力的安全保障。

    表5 生成1 024 bit素數(shù)的性能比較Tab.5 Performance comparison of forming prime number 1024 bit

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