一類含潛伏時滯的SIS傳染病模型的定性研究

趙 瑜, 原三領, 李 盼

(1.寧夏師范學院數(shù)學與計算機科學學院,寧夏 756000；2.上海理工大學理學院,上海 200093)

一類含潛伏時滯的SIS傳染病模型的定性研究

趙 瑜1, 原三領2, 李 盼2

(1.寧夏師范學院數(shù)學與計算機科學學院,寧夏 756000；2.上海理工大學理學院,上海 200093)

利用構(gòu)造Liapunov泛函的方法,研究了一類含有潛伏期時滯的SIS傳染病模型.得到了地方病平衡點和無病平衡點局部及全局漸近穩(wěn)定的充分條件;當時滯超過某一臨界值時,地方病平衡點失去穩(wěn)定性,通過Hopf分支在其附近跳出極限環(huán).揭示了時滯對疾病傳播的影響.

傳染病模型;時滯;Liapunov泛函;穩(wěn)定性;Hopf分支

由于人類或動物侵入新的生態(tài)系統(tǒng)、全球變暖、環(huán)境退化、國際旅行增加等因素的影響,將增大新產(chǎn)生或已存在的傳染病流行的機會.數(shù)學建模已經(jīng)成為分析流行病傳播和控制的重要工具[1].文獻[2]考慮了一類具有染病期時滯和常數(shù)人口輸入的SIS傳染病模型,文_獻[3]考慮了兩類具有染病期時滯的SIS傳染病模型.文獻[4]考慮了具有時滯和總?cè)丝谧儎拥腟IS傳染病模型,類似的還可參見文獻[5-10].

在通常的SIS傳染病模型中,易感者被感染后成為染病者,染病者康復后又再次成為易感者.在以往考慮的有關SIS模型的文獻中大多假設易感者與染病者充分接觸后立即成為染病者,未考慮易感者被疾病感染后的潛伏過程.本文在以往文獻的基礎上,假設易感者被感染后不是立即對外呈現(xiàn)傳染力,而是具有一定的潛伏時間,并把此考慮為時滯因素,建立了一類含有相當于潛伏期時滯的SIS傳染病模型.利用構(gòu)造Liapunov泛函的方法,得到了各類平衡點局部和全局漸近穩(wěn)定的充分條件；當時滯超過某一臨界值時,地方病平衡點失去穩(wěn)定性,通過Hopf分支在其附近跳出極限環(huán),疾病的傳播會呈現(xiàn)周期性的振蕩現(xiàn)象.

1 模 型

假設t時刻總?cè)丝跒镹(t),把總?cè)丝诜譃橐赘姓哳?染病者類,即N(t)=S(t)+I(t),其中S(t) 和I(t)分別表示t時刻易感者類和染病者類的數(shù)量,考慮模型

其中,所有的參數(shù)均為正常數(shù).a為疾病最大傳染力；S0為人口的凈遷入；μd為人口的自然死亡率；r為疾病的恢復率；e為因病死亡率；τ為易感者感染疾病后的潛伏期；m為易感者被感染經(jīng)潛伏期后進入染病者類的比率；aU(S)表示染病者具有的傳染力,且滿足

2 正平衡點的穩(wěn)定性

2.1 正平衡點E*的局部穩(wěn)定性

首先考慮正平衡點E*=(S*,I*)的局部穩(wěn)定性,令

由式(12)可證明如下結(jié)論:

證明 設(x1(t),x2(t))是系統(tǒng)(7)的任一解, 令T0＞τ,對式(12)的兩邊由T0到t(≥T0)積分,得到

因此x1(t)和x2(t)是有界的,并且x1(t)∈L1[0,∞),由系統(tǒng)(7)和中值定理有x1(t),x2(t)及其微分泛函在[0,∞)上是一致連續(xù)的.由Barbalat引理(見Gopalsamy[9]引理1.2.2和1.2.3),可得當t→∞時,(x1(t),(t))→0.因此由系統(tǒng)(7)的第一個方程,可得

即當t→∞時,x2(t)→0.因此對系統(tǒng)(7)的任一解都有(x1(t),x2(t))→0(t→∞).

2.2 正平衡點E*的全局漸近穩(wěn)定性

為了研究E*的全局穩(wěn)定性,考慮系統(tǒng)(1)的任一正解X(t)=(S(t),I(t)).做變換

且對任意的x1∈[-S*,+∞]都有x1ξ(x1)＞0,當且僅當x1=0時,x1ξ(x1)=0.由式(15),系統(tǒng)(1)可寫成

此時,系統(tǒng)(1)的正平衡點被變換成系統(tǒng)(17)的平衡點(0,0).

定理2 如果μd+e+r＜ma,S0＞μdS*, Tr＜1,則正平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的.其中

證明 首先,證明E*是全局吸引的.令(x1(t),x2(t))是系統(tǒng)(17)的任一解,考慮泛函

則V1(t)≥0,當且僅當x1(t)=0時V1(t)=0.沿著系統(tǒng)(17)的解求導,可得

類似于定理1的證明過程,可以證明當Tr＜1時,正平衡點E*是全局吸引的.又由定理1,E*是局部漸近穩(wěn)定的,因此E*是全局漸近穩(wěn)定的.

3 E*處的Hopf分支

系統(tǒng)(7)的特征方程為

4 無病平衡點E0的穩(wěn)定性

5 討 論

將易感者被感染后的潛伏期作為時滯因素,考慮了一類含時滯的SIS傳染病模型.利用構(gòu)造Liapunov泛函的方法,得到了各類平衡點局部和全局漸近穩(wěn)定的條件:如果μd+e+r＞ma,無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的；如果μd+e+r＜ma, S0＞μdS*,Tr＜1,則正平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的.當τ∈(0,τ0)時,平衡點E*是穩(wěn)定的,當τ＞τ0時,平衡點E*失去穩(wěn)定性,且系統(tǒng)(1)在τ0附近從E*處通過Hopf分支產(chǎn)生周期解,此時,疾病的傳播呈現(xiàn)周期性的振蕩現(xiàn)象.

[1] 馬知恩,周義倉,王穩(wěn)地,等.傳染病動力學的數(shù)學建模與研究[M].北京:科學出版社,2004.

[2] COOKE K L,YORKE J A.Some equations modeling growth processes and gonorrhea epidemics[J].Math Biosci,1973,16(1/2):75-101.

[3] HETHCOTE H W.The mathematics of infectious diseases[J].SIAM Review,2000,42(4):599-653.

[4] HETHCOTE H W,DRIESSCHE P van den.Two SIS epidemiologic models with delays[J].J Math Biol, 2000,40(1):3-26.

[5] YUAN San-ling,MA Zhi-en.Global stability and Hopf bifurcation of an SISepidemic model with time delays [J].Journal of Systems Science and Complexity,2001, 14(3):327-336.

[6] YUAN San-ling,MA Zhi-en,JIN Zhen.Persistence and periodic solution on a nonautonomous SIS model with delays[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2003, 19(1):167-176.

[7] 胡寶安,孫利民,夏愛生,等.一類時滯SIS傳染病模型的討論[J].數(shù)學研究,2007,40(1):103-108.

[8] 趙瑜,原三領,李盼.一類具有染病者隔離的非線性傳染病模型的研究[J].上海理工大學學報,2009,31 (5):414-416.

[9] 周艷麗,王美娟.含時滯具有飽和傳染率的SIQRS接種傳染病模型[J].上海理工大學學報,2009,31(5): 417-421.

[10] YANG Kuang.Delay Differential Equation with Applications in Population Dynamics[M].Boston:Academic Press,1993.

[11] MARSDEN J E,MCKRACKEN M.The Hopf Bifurcation and its Applications[M].New York: Springer,1976.

Qualitative analysis of an SIS epidemic model with latent delay

ZHAOYu1, YUANSan-ling2, LIPan2
(1.School of Math amd Computer Sciemce,Nimgxia Teachers College,Nimgxia 756000,Chima；2.College of Sciemce,Umiversity of Shamghai for Sciemce amd Techmology,Shamghai 200093,Chima)

An SISepidemic model with a delay corresponding to the latent period was investigated. By means of constructing Liapunov functionals,some sufficient conditions for the local and global stability of the endemic equilibrium and the disease-free equilibrium were obtained,respectively. When the delay increases above some threshold,the endemic equilibrium loses its stability and Hopf bifurcation occurs,i.e.,a family of periodic solutions bifurcates from the endemic equilibrium.The effect of the delay on the spread of disease was disclosed.

epidemic model；delay；Liapumov fumctiomal；stability；Hopf bifurcatiom

O 175.1文獻標示碼：A

1007-6735(2011)05-0480-05

2009-12-09

國家自然科學基金資助項目(10871129)；上海市教委專項基金資助項目(09YZ208)；寧夏自然科學基金資助項目(NZ102228)

趙 瑜(1982-),男,講師.研究方向:生物數(shù)學.E-mail:zhaoyuzy123@163.com

原三領(聯(lián)系人),男,副教授.研究方向:微分方程與動力系統(tǒng)、生物數(shù)學.E-mail:yuansanling@263.net