一般Orlicz序列空間中的一點(diǎn)注記

段麗芬，楊德清

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 通化 134002)

若

y，z∈B(lM，p){0}

滿足2x=y+z，

且(i)集合

{i∈N:x(i)≠0}

為單元集或(ii)對(duì)任何

μ{i∈N:kx(i)?SCM}≤1，

則

1 定義及符號(hào)

本文總以X表示一個(gè)Banach空間，B(X)、S(X)分別表示X的閉單位球和單位球面.

設(shè)

x=(x(i))i，y=(y(i))i，…

表實(shí)數(shù)序列，稱

為x關(guān)于M的模.據(jù)[1]，線性集

關(guān)于p-Amemiya范數(shù)(1≤p≤∞):

成為Banach空間，并且這些范數(shù)是等價(jià)的.簡(jiǎn)記

文中其他定義與符號(hào)同[1](只要將LM,p改為lm,p).

2 主要結(jié)果及證明

為了方便，我們首先給出兩個(gè)有用的結(jié)論.

引理2 對(duì)任何1≤p≤∞及x=(x(i))i∈lM，p{0}，都有

(i)若

則

(ii)若

(iii)若

由于這兩個(gè)引理分別是[1]中引理4、引理5之(vi)和定理6的平行結(jié)果，其證明亦可平行獲得(只要把函數(shù)改為序列即可)，且過程較冗長(zhǎng)，這里略去.

利用它們，再證明一個(gè)引理.

引理3 設(shè)1≤p≤∞，則

ρM(kx)=ck‖x‖1，‖x‖M，p=c‖x‖1

這說明lM，p(10.這樣，對(duì)x∈lM，p{0}，存在k0>0，使得ρN(p+(k0|x|))>0.于是，

當(dāng)p=1時(shí)，若cM<∞，證明過程完全同1

若cM=∞，假設(shè)

x=(x(i))i∈ExtB(lM，p)，x(1)>0，x(2)>0

0≤M(u)/u≤M(v)/v(0≤u≤v)，

p-(u/2)≥p+(u/3)(u>0)，

記ε∈(0，min{x(1)，x(2)}).定義

x1=(x(1)+ε，x(2)-ε，x(3)，x(4)，…)，

x2=(x(1)-ε，x(2)+ε，x(3)，x(4)，…)

同理，‖x2‖M，1≤1.

但x1≠x2，這與x∈ExtB(lM，p)矛盾.結(jié)論得證.

(ii)設(shè)

則存在實(shí)數(shù)a:0≤a≤1及滿足

使得

x=ay+(1-a)z且‖x‖M，p=1.

注意到，對(duì)任何k∈R，都有

ρM(kx)≤aρM(ky)+(1-a)ρM(kz)<∞.

這樣，θ-1(x)=∞.

師：是啊，人生得一知己足矣。都說，友情是一杯茶，需要慢慢品嘗；友情是一杯酒，越陳越香。今天我們要學(xué)的課文就是跟友情有關(guān)的。

由引理1，對(duì)固定的

有

1=‖x‖M，p=

2≥‖y‖M，p+‖z‖M，p=

這蘊(yùn)涵

‖x‖M，p=‖y‖m，p=‖z‖M，p=

1=(2kz)-1sp°ρM(2kzx)，

利用Sp的連續(xù)性和級(jí)數(shù)形式法都引理得，對(duì)任何正整數(shù)i，

=M(2kzx(i)).

Akz|y(i)|+M(kzsigny(i)z(i))=

M(kz|y(i)|+kzsigny(i)z(i)).

無論題設(shè)(i)或(ii)哪條成立，都存在i∈N，使得2kzx(i)∈SCM.記

u=kzsigny(i)z(i)，v=kz|y(i)|，

則M(u+v)=M(u)+Av，利用M的凸性，有u≥0且對(duì)任何w≥v，

對(duì)任何0≤w

這蘊(yùn)涵著對(duì)任何w≥0，都有

M(u+w)=M(u)+Aw.

所以u(píng)+v?SCM，故2kzx(i)=±(u+v)?SCM，產(chǎn)生矛盾.

參考文獻(xiàn)：

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