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    Artin A-半單環(huán)探究

    2011-06-07 08:05:40張力宏張秋雨
    關(guān)鍵詞:定義

    田 巖,張力宏,張秋雨,劉 巖

    (吉林師范大學(xué) 博達(dá)學(xué)院,吉林 四平 136000)

    1 A-內(nèi)射模及其性質(zhì)

    圖1 A-內(nèi)射模圖象 圖2 A-內(nèi)射模的交換圖

    易見,內(nèi)射模是A-內(nèi)射模.另外由定義1,可得

    命題1 左R-模M是A-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)正合列

    0→C→B→A→0,

    有正合列

    0→HomR(A,M)→HomR(B,M)→HomR(C,M)→0,

    其中B是Artin模.

    命題2 左R-模M是A-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)有交換圖2,其中R是Artin環(huán),I是R的任意左理想.

    證明 “?”顯然.

    “?”考慮圖3,其中B是Artin模,C是B的子模,令Ω={(C',β')|其中C?C'?B,β'是α在C'上的擴(kuò)張},由于Artin模關(guān)于子模封閉,所以Ω非空,定義(C',β')<(C'',β'')?C'?C''?B,且β''是β'在C''上的擴(kuò)張,則Ω是偏序集且滿足Zorn's引理,從而有極大者(C0,β0).

    若C0=B,則結(jié)論成立.假設(shè)C0≠B,則有

    0≠x∈BC0.令I(lǐng)={r∈R|rx∈C0},

    則I是R的左理想.定義h:I→M,r→β0(rx),則由已知,有同態(tài)映射h':R→M,是h在R上的擴(kuò)張.

    令C1=C0+Rx?B,則C0?C1,定義

    β1:C1→M,a0+rx→β0(a0)+rh(1),

    其中a0∈C0,1∈R是單位元.如果

    a0+rx=a'0+r'x,a'0∈C0,r'∈R,

    有(r-r')x=a'0-a0∈C0,得

    r-r'∈I,β0((r-r')x)=β0(a'0-a0)=

    h(r-r0)=h(r-r0)=(r-r0)h'(1),

    從而

    β0(a'0)+r0h'(1)=β0(a0)+rh'(1),

    說明β1是良定義的模同態(tài)映射,且β0(a0)=β1(a0),得(C1,β1)∈Ω,且(C0,β0)<(C1,β1),這與(C0,β0)的取法矛盾,所以C0=B,由定義1知M是A-內(nèi)射模.

    圖3 A-內(nèi)射模圖象

    命題3 A-內(nèi)射模關(guān)于直積,直和項(xiàng)封閉.

    證明 設(shè){Mi|i∈Ω}是左R-模,A是任意左R-模,由[1]中定理2.6,有

    HomR(A,∏Mi)?∏HomR(A,Mi)

    設(shè)0→C→B→A→0是任意左R-模短正合列,有交換圖4.

    圖4 正合列交換圖

    其中B是Artin模,頂行,底行正合,α,β,γ同構(gòu).反復(fù)應(yīng)用命題1,可證得A-內(nèi)射模關(guān)于直積,直和項(xiàng)封閉.

    2 A-投射模及其性質(zhì)

    定義2 設(shè)M是左R-模,若對(duì)任何正合列

    其中B是Artin模,任何模同態(tài)α:M→A,有β:M→B,使α=πβ,則稱M為A-投射模.(圖5).

    圖5 A-投射模圖象

    易見,投射模是A-投射模.由定義2,易得

    命題4 左R-模M是A-投射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)正合列

    其中B是Artin模,有正合列

    0→HomR(M,C)→HomR(M,B)→HomR(M,A)→0.

    命題5 A-投射模關(guān)于直和、直和項(xiàng)封閉.

    證明 設(shè){Mi|i∈Ω}是左R-模簇,N是任意左R-模,則由[1]中定理2.4,有

    設(shè)0→A→B→C→0是任意左R-模短正合列,有交換圖6.

    圖6 正合列的交換圖

    其中B是Artin模,頂行,底行正合,α,β,γ同構(gòu).反復(fù)應(yīng)用命題4可知,對(duì)每個(gè)i∈Ω,Mi是A-投射模?底行是短正合列?頂行是短正合列?ЦMi是A-投射模.可證得A-投射模關(guān)于直和、直和項(xiàng)封閉.

    3 A-半單環(huán)

    定理1 對(duì)于環(huán)R,以下命題等價(jià):

    i)每個(gè)左R-模是A-投射模;

    ⅱ)每個(gè)左R-模是A-內(nèi)射模;

    ⅲ)A-內(nèi)射模關(guān)于子模封閉;

    ⅳ)A-投射模關(guān)于商模封閉;

    ⅴ)每個(gè)Artin模的子模是其直和項(xiàng);

    ⅵ)每個(gè)Artin模都是半單模;

    ⅶ)對(duì)于每個(gè)Artin模A,有Soc(M)=M;

    ⅷ)對(duì)于每個(gè)Artin模A,有J(A)=0.

    證明 ⅰ)?ⅱ)考察圖7,其中B是Artin模,由已知A是A-投射模,所以底行可裂,從而有β是α的擴(kuò)張.

    ⅱ)?ⅰ)考察圖8,E是Artin模,由已知B是A-內(nèi)射模,所以底行可裂,存在λ:A→E,使1E=λπ.存在β=λ?,其中β:M→E,因?yàn)棣笑?πλα,所以α=πβ,圖形可交換,故M是A-投射模.

    圖7 模擴(kuò)張圖象

    圖8 A-投射模的交換圖

    圖9 正合列可裂的交換圖

    ⅱ)?ⅲ) 顯然成立.

    ⅲ)?ⅱ) 設(shè)M是左R-模,E(M)是M的內(nèi)射包,當(dāng)然是A-內(nèi)射模,由已知,M是A-內(nèi)射模.

    ⅰ)?ⅳ) 顯然成立.

    ⅳ)?ⅰ) 設(shè)M是左R-模,則有正合列P→M→0,其中P是投射模,當(dāng)然是A-投射模,由已知M是A-投射模.

    ⅰ)?ⅴ) 設(shè)左R-模正合列0→C→B→A→0,其中B是Artin模,

    由已知A是A-投射模,所以正合列可裂,得C是B的直和項(xiàng).

    ⅴ)?ⅰ) 考察圖9,其中B是Artin模,由已知,底行可裂,所以有λ:A→B,使πλ=1A,令β=λα,則πβ=πλα=α,得i)成立.

    ⅴ)?ⅵ) 設(shè)M是Artin模,若M的每個(gè)子模都是其直和項(xiàng),由[2]中命題2,4知M是半單模.

    ⅵ)?ⅴ) 設(shè)M是Artin模,若M是半單模,再由[2]中命題2.4,M的每個(gè)子模都是其直和項(xiàng).

    ⅵ)?ⅶ) 若M是Artin半單模,則M=M1⊕M2⊕M3⊕…Mn,Mi是M的極小子模,再由Soc(M)的定義,有Soc(M)=M.

    ⅶ)?ⅵ) 設(shè)M是Artin模,且Soc(M)=M,由[3]中推論9.1.3,Soc(M)是M的最大的半單子模,所以M是半單模.

    ⅵ)?ⅷ) 由[4]中命題10.15顯然.

    定義3 稱滿足以上等價(jià)條件的環(huán)R為A-半單環(huán).

    顯然,半單環(huán)是A-半單環(huán).

    參考文獻(xiàn):

    [1]J.Rotman.An Introduction To Homological Algebra[M].London:Academic Press,1979.

    [2]薛伯英.基礎(chǔ)環(huán)論[M].長(zhǎng)春:吉林大學(xué)出版社,1993.

    [3]F.Kasch.Modules And Rings[M].London:Academic Press Inc.LTD.1982.

    [4]F.W.安德森 K.R.富勒爾.環(huán)與模范疇[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

    [5]張力宏,王秀麗.關(guān)于Noether N-半單環(huán)[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào),2004(2).

    [6]班和秀,黃容偉.N-半單環(huán)、Noether N-半單環(huán)和幾類特殊環(huán)[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006(9).

    [7]劉紹學(xué).環(huán)與代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

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