大數(shù)定律及中心極限定理在保險(xiǎn)中的應(yīng)用

王丙參，魏艷華，林 朱

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

保險(xiǎn)體現(xiàn)了“人人為我，我為人人”的互助思想，它的數(shù)理依據(jù)是大數(shù)定律的合理分?jǐn)偅麨榱?，因此大?shù)法則是保險(xiǎn)業(yè)存在、發(fā)展的基礎(chǔ)[1-3].根據(jù)中心極限定理，含有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位隨機(jī)樣本的平均損失服從正態(tài)分布，此結(jié)論對保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定極為重要.因此本文研究了大數(shù)定律及中心極限定理的含義及關(guān)系，闡述了它們在制定保費(fèi)及自留額、擬定保險(xiǎn)單位數(shù)、計(jì)算盈利概率及減少保險(xiǎn)個(gè)人平均危險(xiǎn)值等方面的應(yīng)用.

1 大數(shù)定律與中心極限定理

證明 由Chebysherv不等式，對

不同的大數(shù)定律只是對不同的r.v序列{Xn}而言：(1)Chebysherv大數(shù)定律：{Xn}為一列兩兩不相關(guān)的r.v序列，若DXi≤c，i=1，2…；(2)Bernoulli大數(shù)定律：Xii.i.d于B(1，p)；頻率vA/n依概率收斂(穩(wěn)定)于概率；(3)泊松大數(shù)定律：Xi～B(1，pi)，i=1，2，…且相互獨(dú)立；即當(dāng)獨(dú)立進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)的條件變化時(shí)，頻率仍具有穩(wěn)定性.顯然大數(shù)定律(2)、(3)是大數(shù)定律(1)的特例，而(1)是定理的特例.定理說明：在承保標(biāo)的數(shù)量足夠大時(shí)，被保險(xiǎn)人所交納的純保費(fèi)與其獲得賠款的期望值是相等的.

定理3[4](辛欣大數(shù)定律)設(shè)Xii.i.d，若EXi，i=1，2，…存在，則{Xn}服從大數(shù)定律.

2 在保險(xiǎn)中的應(yīng)用

2.1承保業(yè)務(wù)量、責(zé)任準(zhǔn)備金與安全附加系數(shù)

擴(kuò)大承保業(yè)務(wù)量可將個(gè)別危險(xiǎn)單位遭受的不確定性損失，變成多數(shù)危險(xiǎn)單位可以預(yù)知的損失，從而提高保費(fèi)的估算精度，提高保險(xiǎn)人的償付能力.實(shí)際中，消費(fèi)者對保險(xiǎn)的需求不一定達(dá)到保險(xiǎn)公司的希望，勢必會降低保險(xiǎn)人賠償?shù)哪芰?，因此保險(xiǎn)公司在每年年終結(jié)算時(shí)，應(yīng)從保費(fèi)收入和利潤中提取責(zé)任準(zhǔn)備金，以保證在賠償時(shí)有足夠的資金來源.由于未來不確定因素的影響，純保費(fèi)與實(shí)際發(fā)生的賠款之間存在偏差，必須與事前加以重視并設(shè)法給予補(bǔ)償.因此在實(shí)際估算保險(xiǎn)費(fèi)時(shí)有必要加上安全附加量，從而預(yù)防上述偏差而加收風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)，安全附加量一般為λES，其中λ為安全附加系數(shù)，S為賠款總額[5].

例1 若某保險(xiǎn)公司承保n=1000份i.i.d于B(1，0.01)的風(fēng)險(xiǎn)單位，保險(xiǎn)金額為1萬元，安全附加系數(shù)為0.01.

(1)保險(xiǎn)公司希望以95%的把握保證償付能力，必須擴(kuò)展業(yè)務(wù)到多少份保單？

(2)保險(xiǎn)公司希望以95%的概率確保它能履行賠付責(zé)任，應(yīng)該有多少責(zé)任備用金？

(3)如果保險(xiǎn)公司承保1000份保單，希望有95%的把握應(yīng)付賠償，則安全附加系數(shù)為多少？

p(S≤(1+λ)ES)=0.95，即

(2)設(shè)H為保險(xiǎn)公司提取的責(zé)任備用金，因

p(S≤(1+λ)ES+H)=0.95，

即

解出H=41758.72.

(3)令P(S≤(1+λ)ES)=0.95.

解出λ=0.5176.顯然安全附加系數(shù)太高，因此建議：如果不能擴(kuò)大業(yè)務(wù)量，最好取消此項(xiàng)業(yè)務(wù).

2.2降低被保險(xiǎn)人平均危險(xiǎn)值

學(xué)習(xí)過程與方法的質(zhì)疑集中體現(xiàn)在授課階段，授課時(shí)教師根據(jù)預(yù)習(xí)提綱進(jìn)行精心提問、設(shè)問，將各個(gè)知識點(diǎn)分解，引導(dǎo)學(xué)生圍繞各個(gè)知識點(diǎn)進(jìn)行討論.學(xué)生經(jīng)過激烈的討論，以及動(dòng)手實(shí)踐過程，主動(dòng)的去發(fā)現(xiàn)問題，提出自己的疑問，通過與同學(xué)、教師的交流，去解決問題，從而加深對所學(xué)內(nèi)容的理解，提高應(yīng)用所學(xué)知識去解決實(shí)際問題的能力.學(xué)生在這一過程中所暴露的缺點(diǎn)與不足，教師要適時(shí)地加以糾正與引導(dǎo).

2.3計(jì)算保險(xiǎn)單位數(shù)、盈利概率及自留額

例2 某保險(xiǎn)公司有1萬人投保，每人每年付12元保費(fèi)，一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006，死亡時(shí)其家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)1000元，(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于4萬元的概率為多大？

解 一年內(nèi)參保人的死亡數(shù)ξ～B(104，0.006).

(1)要使保險(xiǎn)公司虧本，必須滿足

12×10000-1000ξ<0，∴ξ>120，

p(ξ>120)≈

2-2Φ(1.006)=0.2892

即保險(xiǎn)公司虧本的概率為0.2892.

12×10000-1000ξ≥40000，∴ξ≤80

P(0≤ξ≤80)≈

Φ(0.3353)-Φ(-1.006)≈0.4854

即保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于40000元的概率為0.4854.

則

每給定一個(gè)自留額b，就會得到一個(gè)概率，通過P(S+X>Y)變化規(guī)律找到最優(yōu)的自留額.

參考文獻(xiàn)：

[1]王東紅.大數(shù)定理與中心極限定理在保險(xiǎn)中的重要應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識，2005，35(10):128～133.

[2]曹小玲.大數(shù)定率及其在保險(xiǎn)業(yè)中的應(yīng)用[J].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，30(5):20～22.

[3]魏艷華，王丙參，冉延平.保險(xiǎn)業(yè)的存在性與風(fēng)險(xiǎn)交換[J].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，31(2):121～124.

[4]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社，2004:199～239.

[5]王艷杰，韓麗艷.一種求自留額的方法[J].管理觀察，2008，32(6):101～102.