職前數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識的調(diào)查研究——以函數(shù)為例

龔玲梅，黃興豐，湯炳興，田 中，楊驚雷

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

一、問題的提出

教師專業(yè)化發(fā)展已成為教育界備受關(guān)注的熱點(diǎn)。教師專業(yè)化發(fā)展的內(nèi)涵在于教師教育素質(zhì)的提升和發(fā)展[1]。知識作為教師教育素質(zhì)的一個重要方面，是教師成為一個合格教育者的基本保證。關(guān)于教師需要什么樣知識的研究，已成為近20年來迅速增長的教師教育研究的一個焦點(diǎn)議題[2]。盡管研究者們的結(jié)論各有不同[3-5]，但都強(qiáng)調(diào)了“學(xué)科知識”和“學(xué)科教學(xué)知識”在教師知識中的重要地位。其中豐富的“學(xué)科知識”是個體成為一個好教師的必要條件。

與新手相比，專家教師的一個明顯特征在于擁有大量的本領(lǐng)域的知識，以及知識的高度組織化與結(jié)構(gòu)化[6]。而對于即將成為教師的職前教師，他們的學(xué)科知識的情況如何？本研究即考察他們學(xué)科知識的特點(diǎn)，為職前教師課程設(shè)置、培養(yǎng)方式提供參考。

二、研究方法

（一）被試的選取

本研究選取的職前教師來自蘇州的一所本科院校，共101人，其中49人是大學(xué)三年級（下）學(xué)生，52人是大學(xué)四年級學(xué)生。所有被試所學(xué)的專業(yè)是數(shù)學(xué)教育，而且都已經(jīng)修完了大學(xué)本科階段的主要課程。

（二）研究工具

數(shù)學(xué)學(xué)科知識包含的內(nèi)容很廣，而函數(shù)知識既是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，又是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，與其他知識存在密切聯(lián)系。從函數(shù)知識入手，更能考察高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對職前教師學(xué)科知識的影響。

Even[7，8]認(rèn)為函數(shù)知識應(yīng)當(dāng)涉及下列7個方面：（1）函數(shù)的本質(zhì)特征，（2）函數(shù)的不同表征，（3）函數(shù)圖像性質(zhì)，（4）復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)；（5）高中課程的初等函數(shù)；（6）關(guān)于函數(shù)的理解；（7）關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。在這7個方面中，前5項(xiàng)是本研究中所指的學(xué)科知識，后2項(xiàng)是關(guān)于學(xué)科知識其他方面的知識。

本研究參照Even關(guān)于函數(shù)知識的前5項(xiàng)，又由我校組織的數(shù)學(xué)教學(xué)研討班中部分初、高中數(shù)學(xué)骨干教師的多次研討，提出函數(shù)知識的假設(shè)模型，編制測試問卷，并隨機(jī)抽取56名數(shù)學(xué)師范方向的大三學(xué)生進(jìn)行預(yù)測試，根據(jù)測試情況反復(fù)斟酌修改，確定3組24個問題形成標(biāo)準(zhǔn)化測試問卷。這3組問題分別是A：概念表征；B：圖像性質(zhì)；C：反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)。每組有2類構(gòu)成，每類共4個問題，詳見表1。

24個問題都設(shè)計(jì)為選擇題。選擇題分2類：第1類，只有一個正確答案，選對得1分，否則0分；第2類，有多個正確選項(xiàng)，全選對得1分，選對超過半數(shù)的得0.75分，選對一半0.5分，少于半數(shù)0.25分，全錯0分。測試問卷3組的Cronbach內(nèi)在一致性α系數(shù)分別為：0.514、0.554和0.552，顯示了較好的可信度。

（三）研究的實(shí)施

測試在學(xué)校教室進(jìn)行，一人一桌并有教師監(jiān)考，時間不限，但大部分職前教師在1個小時左右完成測試。結(jié)合測試問卷的有關(guān)問題，對部分職前教師進(jìn)行了訪談。最后用Excel和SPSS統(tǒng)計(jì)軟件對調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理與分析。

三、數(shù)據(jù)整理和統(tǒng)計(jì)分析

（一）職前教師函數(shù)知識總體分析

職前教師在測試問卷上總得分頻數(shù)分布見表2，在函數(shù)知識3個成份6個子類及總體得分見表3。其中得分率這一指標(biāo)是測查對象在某類知識上的平均得分除以該類知識的總分，用它容易比較測查對象在各類知識上的表現(xiàn)。CV系數(shù)是測查對象在某類知識上的標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)的百分比。它既能比較不同單位資料的差異程度，又能比較單位相同而平均數(shù)相差較大的資料的差異程度。

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示職前教師測試問卷總得分率為70.42%，總平均分16.90分，有59.41%的職前教師總得分在16分至20分之間。在函數(shù)知識的3個成份A、B、C上得分率依次是64.38%、79.75%和67.13%，即表現(xiàn)較好的是B（圖像性質(zhì)），其次是C（反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)），A（概念表征）相對較差些。在函數(shù)知識的3個成份上的CV系數(shù)從低到高依次為B、C、A，這表明在B上的得分比較整齊，A上的離散程度較大。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)還表明在函數(shù)知識的6個子類中得分率較低的是A2不同表征和C1反函數(shù)，分別僅為54.00%和58.25%，且CV系數(shù)也都較大，說明職前教師對這兩類知識的掌握不夠理想，且分化較大。除A2、C1外，在子類A1上的表現(xiàn)高低不齊，盡管在這類上得分較好。

（二）職前教師函數(shù)知識各成份具體分析

（1）職前教師在函數(shù)概念表征上的表現(xiàn)：測試卷1至8題是考查職前教師對函數(shù)概念的理解，其中1至4題是關(guān)于函數(shù)概念本質(zhì)，5至8題是關(guān)于函數(shù)不同表征及相互之間的轉(zhuǎn)換。各題的得分率見圖1，在A成份及兩個子類A1和A2上的表現(xiàn)見表3，且由表4可知，他們在A1和A2上表現(xiàn)出顯著差異(P＜.001)。

職前教師在函數(shù)概念理解上的主要問題有：①對函數(shù)的值域與陪域概念不理解。有11.88%的職前教師認(rèn)為函數(shù)是從定義域到值域的函數(shù)，而不能說是從定義域到其陪域的函數(shù)。②認(rèn)為函數(shù)的圖像一定是連續(xù)不斷的光滑曲線。第3題給出了一條不連續(xù)的曲線，問是否表示定義域上的一個函數(shù)，有11人選A，9人選D，即有19.80%的人犯此類錯誤。③函數(shù)概念中對應(yīng)法則表示的多樣性對理解概念有較大影響。職前教師對第4題中的“數(shù)列{an}的通項(xiàng)an是n的函數(shù)”和“組合數(shù)是的函數(shù)”這兩種表述都有39.60%的人認(rèn)為是不對的，只有16人認(rèn)為“SΔABC表示ΔABC的面積，CΔABC表示ΔABC的周長，那么SΔABC是CΔABC的函數(shù)”是錯的，即這一問的正確率僅為15.84%。④對函數(shù)與方程之間的關(guān)系理解不清。職前教師在第5題上表現(xiàn)充分證明了這點(diǎn)。第5題是對兩句話“能用方程表示的關(guān)系是函數(shù)”和“任何函數(shù)總可以寫成方程的形式”做出正確與否的判斷，本題的得分率僅為52.48%。⑤對函數(shù)概念不同表征之間的轉(zhuǎn)換發(fā)生困難。函數(shù)概念表征具有多樣性的特點(diǎn)，一方面表現(xiàn)在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式表示；另一方面表現(xiàn)在表示方法的多樣性，可以用圖像、表格、對應(yīng)、解析式等，從每一種表示中都可以獨(dú)立地抽象出函數(shù)概念來。第6題需要將二次多項(xiàng)式、方程及函數(shù)的圖像表征等結(jié)合起來考慮，第7題是將函數(shù)的表格表示轉(zhuǎn)換為其他表示形式，分別有36.63%和33.66%的職前教師回答錯誤。第8題考查的是對抽象函數(shù)的認(rèn)識，需要盡可能地聯(lián)系其他表征，它是24個問題中得分率倒數(shù)第二的一個，僅為34.65%。

表1 函數(shù)知識假設(shè)模型的成分

表2 職前教師測試總得分的分布

表3 職前教師在函數(shù)知識各維度上的得分情況

圖1 職前教師概念表征8題的平均得分

表4 職前教師概念表征的顯著性檢驗(yàn)

（2）職前教師在函數(shù)圖像性質(zhì)上的表現(xiàn)。測試卷9至16題是考查對函數(shù)圖像性質(zhì)的掌握情況，其中9至12題是結(jié)合一些具體的實(shí)際問題研究已給出的圖像，從中獲取信息，形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理實(shí)際問題的意識。13至16題是給出函數(shù)的表達(dá)式研究其圖像的性質(zhì)，形成對函數(shù)概念的整體性認(rèn)識。得分率見圖2，在B成份及兩個子類B1和B2上的表現(xiàn)見表4，且由表4可知，在B1和B2上的表現(xiàn)沒有顯著差異。

圖2 職前教師圖像性質(zhì)8題的平均得分

表4 職前教師圖像性質(zhì)的顯著性檢驗(yàn)

盡管職前教師在B成份上的表現(xiàn)是最好的，但還是存在不少問題。主要有：①圖像所在直角坐標(biāo)系中，不注意橫軸和縱軸的名稱。9和10題都是路程問題，橫軸都表示時間，但縱軸一個表示路程，另一個表示速度。在第10題的Ⅱ上有23人答錯，占22.77%。經(jīng)訪談，他們出錯的理由大多是看錯坐標(biāo)軸的單位。②在“時間—路程”坐標(biāo)系中，不清楚快慢與曲線的斜率有關(guān)。第9題的Ⅱ、Ⅳ，11和12題都涉及這點(diǎn)，出錯的分別有8人、20人、30人和29人。③正確作出具體函數(shù)圖像有困難。14、15和16題給出了函數(shù)的具體表達(dá)式，但不易立即得到圖像，必須通過奇偶性和單調(diào)性的判定、漸近線的確定等細(xì)節(jié)，運(yùn)用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和極限等方法才能獲得正確圖像信息。這3題的第一問都是圖像關(guān)于原點(diǎn)是否對稱，回答錯誤的分別有15人、3人和19人。經(jīng)訪談，他們會判斷函數(shù)的奇偶性，但不清楚圖像關(guān)于什么對稱。15和16題的第二問都是指出圖像的漸近線，回答錯誤的分別有31人和19人。14題的Ⅲ、15題的Ⅳ和16題的Ⅳ都是判定區(qū)間上的單調(diào)性，回答錯誤的分別有14人、28人和42人。④對于抽象函數(shù)圖像的認(rèn)識存在更大困難。13題是著名的狄利克雷函數(shù)，沒有解析表達(dá)式，有圖像但作不出，也沒有實(shí)際背景。認(rèn)識這一函數(shù)首先要弄清有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)及在實(shí)數(shù)軸上的分布，對這題的4問回答都正確的只有29人。

（3）職前教師在反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)上的表現(xiàn)。測試卷17至24題是考查對反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的認(rèn)識，其中17至20題是關(guān)于反函數(shù)的研究，涉及反函數(shù)的定義、反函數(shù)存在的條件及反函數(shù)的性質(zhì)等。21至24題是關(guān)于函數(shù)復(fù)合的研究，涉及復(fù)合函數(shù)的定義域、復(fù)合函數(shù)的條件和復(fù)合函數(shù)的值等。得分率見圖3，在C成份及兩個子類C1和C2上的表現(xiàn)見表5，由表5可知，在C1和C2上表現(xiàn)出顯著的差異(P＜.001)。

圖3 職前教師復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)8題的平均得分

職前教師在反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)上的主要問題有：①對反函數(shù)的定義理解不透，不清楚函數(shù)在何種條件下具有反函數(shù)。只有40位職前教師認(rèn)為“g(x)=x2+2x+1的反函數(shù)是”是錯誤的。18題是“若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，則關(guān)于方程f(x)=c(為常數(shù))的根”的個數(shù)問題，回答正確的只有29人，占28.71%，本題也是24題中得分率最低的一題。②反函數(shù)與其原函數(shù)的基本數(shù)形聯(lián)系不清。職前教師在19、20兩題上的表現(xiàn)說明了這點(diǎn)，19題是“設(shè)y=f-1(x)是函數(shù)f(x)=2x+lnx的反函數(shù)，那么f-1(2)等于多少”，有19人沒有給出正確值。20題的4問全部答對的只有49人，通過訪談，其中很多人還是通過特例得到結(jié)論。③復(fù)合函數(shù)的定義域問題。有39人認(rèn)為“如果函數(shù)f(2x)的定義域是[1，3]，則f(x)的定義域是[2，6]”是不對的，有69人認(rèn)為“如果函數(shù)的定義域是[1，3]，則f(x)的定義域是[1，3]”沒有錯。④分段函數(shù)能夠復(fù)合的條件不太清楚。22題的Ⅳ中f(x)是一個分段函數(shù)，g(x)=2x，問能否復(fù)合成f[g(x)]，39人沒有給出正確答案。

四、結(jié)果與討論

（一）結(jié)果

職前教師對函數(shù)概念的理解相對最差，且呈多樣性和片面性的特點(diǎn)。Vinner提出：“獲得概念就是形成概念表象，用心學(xué)習(xí)定義不保證理解。在進(jìn)行關(guān)于某個概念的一些推理時，定義并不是最活躍的因素。甚至可以被忽略掉?！北菊{(diào)查也印證了這點(diǎn)。在判斷一個對象是否為函數(shù)時，有人依據(jù)定義，有人依據(jù)函數(shù)概念在頭腦中的表象，概念表象與頭腦中的概念名稱和相關(guān)表征相聯(lián)系，如概念的任何一種表示——圖片、符號形式、圖表、圖像等。所以有職前教師將函數(shù)與方程等同，有認(rèn)為函數(shù)一定可以用解析式表示、函數(shù)的圖像一定是連續(xù)不斷的光滑曲線等。

表4 職前教師反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

職前教師對函數(shù)圖像性質(zhì)的掌握相對最好，且在捕取圖像所傳遞的特征信息處理現(xiàn)實(shí)生活問題與研究函數(shù)圖像形成對函數(shù)整體性認(rèn)識這兩方面無顯著差異，但前者的分化程度大于后者。在現(xiàn)實(shí)生活中，函數(shù)圖像是作為刻畫和描述兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系的一種重要方法。它以直觀的數(shù)學(xué)語言傳遞著豐富的信息，職前教師在從函數(shù)圖像傳遞的豐富信息中接收、轉(zhuǎn)化及合理應(yīng)用上還存在不少問題。

職前教師在反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的表現(xiàn)上差異顯著，對復(fù)合函數(shù)的認(rèn)識優(yōu)于對反函數(shù)的認(rèn)識。對反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的研究是對函數(shù)概念和函數(shù)性質(zhì)在認(rèn)識上的深化和提高。調(diào)查表明，職前教師處理反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的問題不很熟悉，這也從另一角度說明他們對函數(shù)概念的理解水平不高。

綜上所述，職前教師在學(xué)科知識領(lǐng)域中所處的位置高度比我們預(yù)計(jì)的要低，而且他們學(xué)科知識的結(jié)構(gòu)比較松散，缺乏相互聯(lián)系。

（二）討論

（1）職前教師培養(yǎng)的課程要更有利于促進(jìn)對中學(xué)數(shù)學(xué)的理解。大三大四的學(xué)生學(xué)了那么多的數(shù)學(xué)專業(yè)課程，為什么對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用并沒有達(dá)到我們預(yù)期的效果？事實(shí)上，在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課程里，除微積分外，多數(shù)課程與中學(xué)數(shù)學(xué)在研究對象和研究方法兩方面都有著很大的不同，它們不是一種螺旋式的深入，而是一種階梯式的跨越。這就使得大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的多數(shù)課程表面上與中學(xué)數(shù)學(xué)嚴(yán)重脫節(jié)。那么，職前教師的培養(yǎng)課程如何更有利于促進(jìn)對中學(xué)數(shù)學(xué)的理解呢？一是關(guān)注基礎(chǔ)教育的課程標(biāo)準(zhǔn)，以大學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容為依托，延伸覆蓋課標(biāo)課程的相應(yīng)內(nèi)容，幫助職前教師體會大學(xué)數(shù)學(xué)課程的“臨下”功能。二是重視數(shù)學(xué)教學(xué)專題學(xué)習(xí)以提升學(xué)科知識。這種學(xué)習(xí)方法直接針對中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和使用這種內(nèi)容知識的教學(xué)環(huán)境，能把握整個數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)、過程以及蘊(yùn)含的學(xué)科思想方法，并能運(yùn)用知識的整體觀高屋建瓴地反思數(shù)學(xué)或教學(xué)內(nèi)容。

（2）職前教師培養(yǎng)方式要更有利于學(xué)科知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)的正向遷移。本調(diào)查以函數(shù)為例，內(nèi)容與大學(xué)微積分聯(lián)系密切，很多問題用高等數(shù)學(xué)的知識易解，如第9題的Ⅱ和Ⅳ、11題、12題、14題、15題的Ⅳ、16題的Ⅳ等，若能將快慢、變化率、曲線切線的斜率以及單調(diào)區(qū)間等與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來則非常容易，又如作函數(shù)的圖像、反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)，大學(xué)數(shù)學(xué)里專門有詳細(xì)講述，13題是狄利克雷函數(shù)，在講極限、連續(xù)、可導(dǎo)等概念時常作為反例。調(diào)查表明，職前教師知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)在遷移過程中常會出現(xiàn)知識性、技術(shù)性的偏差。數(shù)學(xué)有效教學(xué)的重要指標(biāo)是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能否從一個問題遷移到另一個問題，從一個情境遷移到另一個情境，從學(xué)校課堂遷移到社會生活中[9]。因此，在職前教師培養(yǎng)過程中，教師要考慮并運(yùn)用學(xué)習(xí)遷移的規(guī)律，創(chuàng)設(shè)意義建構(gòu)的情境，選擇適宜的教學(xué)方式方法，恰當(dāng)?shù)匦纬珊屯晟茖W(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充分發(fā)揮正遷移的促進(jìn)作用，提高教學(xué)成效。

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