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    極限平衡條件在土體剪切平衡狀態(tài)中的應(yīng)用

    2020-06-05 11:12:54李曉蓮魏秦生呂向明
    天水師范學(xué)院學(xué)報 2020年5期
    關(guān)鍵詞:包線平衡條件剪應(yīng)力

    李曉蓮,楊 靜,魏秦生,呂向明

    (1.天水師范學(xué)院 土木工程學(xué)院,甘肅 天水 741001;2.天水師范學(xué)院 機(jī)電與汽車工程學(xué)院,甘肅 天水 741001;3.中石油第二建設(shè)公司,甘肅 蘭州 730060)

    當(dāng)土體受力后處于三向應(yīng)力狀態(tài)時,如果土體中任意一點(diǎn)在其某一方位上的剪應(yīng)力τ等于該方位的抗剪強(qiáng)度τf,則該點(diǎn)就處于極限平衡狀態(tài),[1]也就是說此時土體處于將要破壞而又沒有破壞的界限狀態(tài);而當(dāng)土體中任意一點(diǎn)在其某一方位上的剪應(yīng)力大于該方位的抗剪強(qiáng)度時,該點(diǎn)即破壞。根據(jù)上述條件,即可判斷土體中某點(diǎn)所處狀態(tài)。如果將土體中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用莫爾應(yīng)力圓來表示,并同時將其與土體的抗剪強(qiáng)度包線即庫倫強(qiáng)度包線,繪制在同一σ-τ坐標(biāo)圖上,即可根據(jù)莫爾應(yīng)力圓與庫倫強(qiáng)度包線之間的相對位置關(guān)系判斷土體所處狀態(tài)。其中當(dāng)莫爾應(yīng)力圓與庫倫強(qiáng)度包線相切時,即該點(diǎn)(某一方向上)的剪應(yīng)力等于抗剪強(qiáng)度,就是土體的強(qiáng)度條件,[2]土體的狀態(tài)稱為極限平衡狀態(tài)。此時土的大、小主應(yīng)力與土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)之間的關(guān)系稱為土的極限平衡條件。[3]由于該條件是由莫爾應(yīng)力圓與庫倫強(qiáng)度包線相切的幾何關(guān)系所建立,所以該條件也稱為莫爾-庫倫強(qiáng)度理論,根據(jù)土的極限平衡條件就可以判斷土體中任意一點(diǎn)的剪切破壞狀態(tài)。

    下面以平面應(yīng)變問題為例,通過分析莫爾應(yīng)力圓與庫倫強(qiáng)度包線之間的關(guān)系,建立土體的極限平衡條件,給出土體任意一點(diǎn)的剪切破壞狀態(tài)判斷的七種方法。

    1 莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度之間的關(guān)系

    如果已知某土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c、φ及剪切破壞面上的法向總應(yīng)力σ(c為土體的粘聚力,φ為土體的內(nèi)摩擦角),可以將庫倫公式τf=c+σtanφ在σ-τ坐標(biāo)圖上表示為一條直線-抗剪強(qiáng)度包絡(luò)線,即庫倫強(qiáng)度包線;如果已知土體某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài)),利用應(yīng)力圓原理,可以將該點(diǎn)各個方位上的應(yīng)力情況在σ-τ坐標(biāo)圖上表示為莫爾應(yīng)力圓,簡稱莫爾圓。將上述抗剪強(qiáng)度包線與莫爾圓繪制在同一張坐標(biāo)圖上(如圖1所示),它們之間的關(guān)系就可能有以下三種情況:

    1.1 相離

    此時,整個莫爾圓(圓1)位于抗剪強(qiáng)度包線的下方,說明該點(diǎn)所有方位上的剪應(yīng)力都小于對應(yīng)平面上的抗剪強(qiáng)度,即τ<τf,因此該點(diǎn)處于安全狀態(tài)。

    圖1 莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度之間的關(guān)系

    1.2 相切

    此時,莫爾圓(圓2)與抗剪強(qiáng)度包線相切于一點(diǎn),切點(diǎn)為A,說明在A點(diǎn)所對應(yīng)的平面上,其剪應(yīng)力剛好等于抗剪強(qiáng)度,即τ=τf,因此該點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài),A點(diǎn)所對應(yīng)的平面即為試樣的剪切破壞面,此時應(yīng)力圓2稱為極限應(yīng)力圓。

    圖2 土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)時的應(yīng)力圓

    1.3 相割

    此時,莫爾圓(圓3)與抗剪強(qiáng)度包線相交,即抗剪強(qiáng)度包線是應(yīng)力圓的一條割線,理論上說明該點(diǎn)一部分方位上的剪應(yīng)力大于對應(yīng)平面上的抗剪強(qiáng)度,即τ>τf。但實(shí)際上這種情況不可能出現(xiàn),因?yàn)樵擖c(diǎn)任何方向上的剪應(yīng)力在與其對應(yīng)平面上的抗剪強(qiáng)度相等時就已經(jīng)破壞,不可能再出現(xiàn)超過土的抗剪強(qiáng)度的現(xiàn)象,即不存在τ>τf,因?yàn)楫?dāng)土體剪應(yīng)力達(dá)到其抗剪強(qiáng)度時,應(yīng)力已不符合彈性理論解答。[4]

    2 極限平衡條件的建立

    土體極限平衡條件就是根據(jù)莫爾圓與抗剪強(qiáng)度包線相切的幾何關(guān)系建立的。

    在平面問題中,土的極限平衡條件是由莫爾—庫倫強(qiáng)度理論所確定:當(dāng)莫爾圓與抗剪強(qiáng)度包線相切時,土體即處于極限平衡狀態(tài),由極限應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相切的幾何關(guān)系(如圖2所示),針對粘性土(c≠0)建立的極限平衡條件為:

    針對非粘性土(c=0)建立的極限平衡條件為:

    式(1)-(4)中,σ1、σ3為實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的第一主應(yīng)力與第三主應(yīng)力,σ1f、σ3f為土體處于極限平衡狀態(tài)時某點(diǎn)應(yīng)有的第一主應(yīng)力與第三主應(yīng)力值,φ為土體的內(nèi)摩擦角。

    3 土體剪切破壞狀態(tài)的判斷方法

    土體所處狀態(tài)的判斷通常采用極限平衡條件,除此之外,還可以根據(jù)極限平衡狀態(tài)時土體內(nèi)摩擦角與實(shí)際工作狀態(tài)下土體的內(nèi)摩擦角之間的大小關(guān)系去判斷,或者利用極限應(yīng)力圓半徑與實(shí)際應(yīng)力圓半徑之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷等等。下面簡單介紹判斷土體所處狀態(tài)的幾種方法。

    3.1 極限平衡條件法

    利用極限平衡條件法判斷土體所處狀態(tài),是根據(jù)建立的極限平衡條件,通過計(jì)算,將實(shí)際情況下的大小主應(yīng)力與該土體處于極限平衡條件下的大小主應(yīng)力做比較,從而判斷土體是否已被剪壞。

    利用極限平衡條件中的表達(dá)式,知道土中某點(diǎn)實(shí)際所受的應(yīng)力和土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c、φ,就可以很容易判斷該點(diǎn)是否產(chǎn)生剪切破壞。比較計(jì)算所得極限平衡條件下的主應(yīng)力與實(shí)際工作狀態(tài)下的主應(yīng)力數(shù)值大小,判斷土體某點(diǎn)所處狀態(tài)情況如下:

    (1)σ1f<σ1:土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)(不可能狀態(tài));

    (2)σ1f=σ1:土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)(破壞);

    (3)σ1f>σ1:土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)(安全)。

    (1)σ3f>σ3:土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)(不可能狀態(tài));

    (2)σ3f=σ3:土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)(破壞);

    (3)σ3f<σ3:土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)(安全)。

    由以上條件可知:當(dāng)σ1f=σ1或σ3f=σ3時,莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相切,在切點(diǎn)所對應(yīng)的方位上,土體的剪應(yīng)力等于其抗剪強(qiáng)度,土體處于極限平衡狀態(tài),即將要破壞而又沒有破壞的狀態(tài),實(shí)際上此時土體應(yīng)劃為破壞狀態(tài);當(dāng)σ1f>σ1或σ3f<σ3時,莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相離,應(yīng)力圓位于抗剪強(qiáng)度包線的下方,說明該點(diǎn)所有方位上的剪應(yīng)力均小于其抗剪強(qiáng)度,土體處于彈性平衡狀態(tài),或稱穩(wěn)定狀態(tài),即此時土體安全;當(dāng)σ1f<σ1或σ3f>σ3時,莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相交,應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線有兩個交點(diǎn),說明這兩點(diǎn)及之間所對應(yīng)的方位上的剪應(yīng)力均大于其抗剪強(qiáng)度,土體處于破壞狀態(tài)。實(shí)際上σ1f<σ1或σ3f>σ3是不可能存在的,因?yàn)閲?yán)格來講,當(dāng)σ1f=σ1或σ3f=σ3時土體即開始破壞,不存在σ1f<σ1或σ3f>σ3的情況。

    由應(yīng)力圓的應(yīng)用特點(diǎn)可知,在圖2中,αf為剪切破壞面的方位角,在三角形ARD中,由外角與內(nèi)角的關(guān)系可知:

    式(5)表明,剪切破壞面與大主應(yīng)力σ1作用面的夾角為,或剪切破壞面與小主應(yīng)力σ3作用面的夾角為。由于土體與其他連續(xù)性材料不同,是一種具有內(nèi)摩擦強(qiáng)度的材料。[5]所以,土體的剪切破壞并不產(chǎn)生于最大剪應(yīng)力所在平面,而是在與最大剪應(yīng)力面成φ/2夾角的面上,且通過土中一點(diǎn)可以出現(xiàn)一對滑動面,[3]這對滑動面均與大主應(yīng)力的作用面成αf的夾角,如圖2所示。

    3.2 圖解法

    將實(shí)際工作狀態(tài)下的莫爾應(yīng)力圓和土體的抗剪強(qiáng)度包線繪制在同一坐標(biāo)系中,[6]利用抗剪強(qiáng)度包線和應(yīng)力圓的位置關(guān)系判斷土體所處狀態(tài)的結(jié)果如下:

    (1)相離:土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)(不可能狀態(tài));

    (2)相切:土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)(破壞);

    (3)相割:土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)(安全);

    判斷結(jié)果如圖1所示。

    3.3 內(nèi)摩擦角法

    若已知土中某點(diǎn)的主應(yīng)力σ1、σ3,以及土體的內(nèi)摩擦角φ,也可以用內(nèi)摩擦角φ的大小判斷該點(diǎn)土體是否處于破壞狀態(tài)。

    由圖2極限平衡狀態(tài)時的應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線之間的關(guān)系可知:

    上式中,φ為實(shí)際工作狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角,φm為土體達(dá)極限平衡狀態(tài)時的內(nèi)摩擦角。

    根據(jù)計(jì)算所得φm與φ的大小關(guān)系,即可判斷土體某點(diǎn)所處狀態(tài)情況如下:

    (1)φ>φm:土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)(不可能狀態(tài));

    (2)φ=φm:土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)(破壞);

    (3)φ<φm:土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)(安全)。

    如果φ>φm,表示保持土中某點(diǎn)不發(fā)生破壞所需的內(nèi)摩擦角大于土的極限平衡狀態(tài)時的內(nèi)摩擦角。顯然,此時土體已破壞。若φ<φm,則土中某點(diǎn)處于安全狀態(tài),即彈性平衡狀態(tài)。當(dāng)φm=φ,則表示土中某點(diǎn)剛好處于極限平衡狀態(tài),即將要破壞而又沒有破壞狀態(tài),或稱塑性平衡狀態(tài)。結(jié)果如圖3所示。

    圖3 實(shí)際工作狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角與極限平衡狀態(tài)時內(nèi)摩擦角的關(guān)系

    3.4 斜率法

    將土的抗剪強(qiáng)度包線與實(shí)際工作狀態(tài)下的應(yīng)力圓繪制在同一坐標(biāo),如圖4所示。過點(diǎn)A(0,c)作莫爾應(yīng)力圓的切線,設(shè)切線的斜率為K=tanφ,設(shè)抗剪強(qiáng)度包線的斜率為Km=tanφm,則有:

    (1)Km<K:土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)(不可能狀態(tài));

    (2)Km=K:土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)(破壞);

    (3)Km>K:土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)(安全)。

    圖4 莫爾應(yīng)力圓切線斜率與抗剪強(qiáng)度包線斜率之間的關(guān)系

    3.5 薄弱面法[7]

    如前所述,土體達(dá)極限平衡狀態(tài)時的剪切破壞面(即最薄弱面)與大主應(yīng)力σ1作用面的夾角為,利用求出最薄弱面上的剪應(yīng)力τ和法向應(yīng)力σ,然后把法向應(yīng)力σ代入抗剪強(qiáng)度的計(jì)算公式τf=c+σtanφ中,求出最薄弱面上的抗剪強(qiáng)度τf。則根據(jù)最薄弱面上剪應(yīng)力τ與抗剪強(qiáng)度τf的關(guān)系判斷土體所處狀態(tài)如下:

    (1)τf<τ:土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)(不可能狀態(tài));

    (2)τf=τ:土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)(破壞);

    (3)τf>τ:土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)(安全)。

    3.6 距離法

    將土的抗剪強(qiáng)度包線與實(shí)際工作狀態(tài)下的應(yīng)力圓繪制在同一坐標(biāo)。設(shè)d為應(yīng)力圓圓心到抗剪強(qiáng)度包線的垂直距離,為應(yīng)力圓半徑。則根據(jù)d與r的關(guān)系判斷土體所處狀態(tài)如下:

    (1)d<r:土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)(不可能狀態(tài));

    (2)d=r:土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)(破壞);

    (3)d>r:土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)(安全)。

    3.7 半徑法

    極限平衡條件的應(yīng)用除了上述幾種方法之外,還可以用圖解法判斷土中某點(diǎn)的安全狀態(tài),也可稱之為半徑法。

    設(shè)想由于某種原因可以使得整個土體在水平方向均勻的伸展或壓縮,[1]即可以任意增加或減小土中應(yīng)力值。將極限平衡狀態(tài)時的應(yīng)力圓半徑用Rf來表示,實(shí)際工作狀態(tài)下的應(yīng)力圓半徑用R來表示。

    (1) 當(dāng)σ3→σ1f時,比較若得σ1f>σ1,則有半徑,[8]即實(shí)際工作狀態(tài)下土體中某點(diǎn)的應(yīng)力圓半徑小于極限平衡狀態(tài)時土體中某點(diǎn)的應(yīng)力圓半徑,此時實(shí)際應(yīng)力圓位于極限應(yīng)力圓下方,說明此時該點(diǎn)所有方位上的剪應(yīng)力均小于其抗剪強(qiáng)度值,故土體中該點(diǎn)未達(dá)到極限平衡狀態(tài),處于安全狀態(tài);反之,則發(fā)生了剪切破壞。將此時的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)所對應(yīng)的應(yīng)力圓與極限應(yīng)力圓之間的半徑關(guān)系表示于σ-τ坐標(biāo)圖中,如圖5中圓I與圓II所示。

    圖5 實(shí)際應(yīng)力圓半徑與極限應(yīng)力圓半徑之間的關(guān)系

    (2) 當(dāng)σ1→σ3f時,比較若得σ3f<σ3,則有半徑,即實(shí)際工作狀態(tài)下土體中某點(diǎn)的應(yīng)力圓半徑小于極限平衡狀態(tài)時土體中某點(diǎn)的應(yīng)力圓半徑,此時實(shí)際應(yīng)力圓位于極限應(yīng)力圓下方,說明此時該點(diǎn)所有方位上的剪應(yīng)力均小于其抗剪強(qiáng)度值,故土體中該點(diǎn)未達(dá)到極限平衡狀態(tài),處于安全狀態(tài);反之,則發(fā)生了剪切破壞。[9]將此時的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)所對應(yīng)的應(yīng)力圓與極限應(yīng)力圓之間的關(guān)系表示于σ-τ坐標(biāo)圖中,如上圖5中圓I與圓III所示。

    上述情況也可表述為:當(dāng)σ1f<σ1,即極限應(yīng)力圓半徑小于實(shí)際應(yīng)力圓半徑,此時實(shí)際應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相交,所以該點(diǎn)處于剪破狀態(tài),反之,該點(diǎn)處于安全狀態(tài);或當(dāng)σ3<σ3f時,極限應(yīng)力圓的半徑小于實(shí)際應(yīng)力圓半徑,即實(shí)際應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相交,所以該點(diǎn)處于剪破狀態(tài),反之,該點(diǎn)處于安全狀態(tài)。由實(shí)際應(yīng)力圓半徑與極限應(yīng)力圓半徑之間的大小關(guān)系判斷土體剪切狀態(tài)的方法,即稱之為半徑法。

    用半徑法判斷土體的剪切狀態(tài)直觀、可靠、簡便。

    4 實(shí)例分析

    設(shè)地基中某點(diǎn)的大主應(yīng)力為450kPa,小主應(yīng)力為100kPa,土的內(nèi)摩擦角為30°,粘聚力為10kPa,問該點(diǎn)處于什么狀態(tài)?

    解法一:已知σ1=450kPa,σ3=100kPa,

    由極限平衡條件,可得

    則有σ3f>σ3,由極限平衡條件法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞?;蛘?,由極限平衡條件,可得:

    則有σ1f<σ1,由極限平衡條件法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞。

    即φm=22.74°,而在實(shí)際工作狀態(tài)下,φ=30°,比較可知,φ>φm,由內(nèi)摩擦角法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞。

    解法三:由解法一和解法二可知,極限平衡狀態(tài)時的大、小主應(yīng)力分別為σ1f=334.64kPa,σ3f=138.4kPa,而實(shí)際工作狀態(tài)下該點(diǎn)的大、小主應(yīng)力分別為σ1=450kPa,σ3=100kPa,則有:

    顯然,R>Rf,根據(jù)半徑法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞。

    顯然,R>Rf,根據(jù)半徑法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞。

    由上述實(shí)例結(jié)果可知,三種判斷方法結(jié)果一致。

    5 小結(jié)

    當(dāng)抗剪強(qiáng)度包線與莫爾應(yīng)力圓的圖形位置相切時,土體即處于極限平衡狀態(tài),由此得出土的極限平衡條件。根據(jù)土的極限平衡條件判斷土體所處狀態(tài)的方法有多種,文中總結(jié)了七種,并用實(shí)例說明其結(jié)果的一致性。幾種方法雖然形式不同,但基本原理一致,都是根據(jù)土體處于極限平衡狀態(tài)時莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相切的原理推得的,對于土體所處狀態(tài)的判斷具有很好的借鑒意義。

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