數(shù)學(xué)教育的誤區(qū)與盲點(diǎn)

這里所說的“誤區(qū)”，主要是指數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的這樣一些理念——盡管其基本含義沒有什么錯(cuò)，但由于人們?cè)诮邮苓@些理念時(shí)往往沒有經(jīng)過認(rèn)真思考，接受以后又很少會(huì)對(duì)自己是否真正領(lǐng)會(huì)了精神實(shí)質(zhì)，包括對(duì)其局限性做出深入反思，因此就很容易出現(xiàn)理解上的片面性與做法上的簡(jiǎn)單化；所謂“盲點(diǎn)”，則是指人們實(shí)踐中不僅沒能事先有所警惕與預(yù)防，在出現(xiàn)以后也往往視而不見、聽之任之的問題。以下就針對(duì)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)情況談?wù)勥@個(gè)領(lǐng)域的誤區(qū)和盲點(diǎn)。

一、聚焦“過程的教育”。

1.由“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀”到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“活動(dòng)化”。

20世紀(jì)90年代起在世界范圍內(nèi)先后開展的新一輪數(shù)學(xué)課程改革運(yùn)動(dòng)的一個(gè)共同理念，就是突出強(qiáng)調(diào)了由“靜態(tài)數(shù)學(xué)觀”向“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀”的轉(zhuǎn)變及其對(duì)于數(shù)學(xué)教育的重要含義。這就正如美國著名數(shù)學(xué)教育家倫伯格所指出的：“兩千多年來，數(shù)學(xué)一直被認(rèn)為是與人類的活動(dòng)和價(jià)值觀念無關(guān)的無可懷疑的真理的集合。這一觀念現(xiàn)在遭到了越來越多的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的挑戰(zhàn)，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是可錯(cuò)的、變化的，并和其它知識(shí)一樣都是人類創(chuàng)造性的產(chǎn)物……這種動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀具有重要的教育涵義?！?/p>

數(shù)學(xué)教育界普遍認(rèn)為，“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀”最為直接的教育含義就在于：數(shù)學(xué)教育不應(yīng)唯一集中于作為數(shù)學(xué)活動(dòng)最終產(chǎn)物的知識(shí)性成分，而且也應(yīng)高度關(guān)注相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)。這顯然就是“結(jié)果與過程”這一對(duì)范疇近年來何以在數(shù)學(xué)教育(乃至一般教育)領(lǐng)域內(nèi)獲得普遍重視的主要原因，特別是，對(duì)于“過程”的突出強(qiáng)調(diào)更可看成世界范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的又一重要特征。

從這一角度去分析，我們也可更好地理解我國2001年頒布的義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(以下簡(jiǎn)稱“《標(biāo)準(zhǔn)》”)何以在傳統(tǒng)的“知識(shí)技能目標(biāo)”之外，又專門引入所謂的“過程性目標(biāo)”：“《標(biāo)準(zhǔn)》中不僅使用了‘了解(認(rèn)識(shí))、理解、掌握、靈活運(yùn)用等刻畫知識(shí)技能的目標(biāo)動(dòng)詞，而且使用了‘經(jīng)歷(感受)、體驗(yàn)(體會(huì))、探索等刻畫數(shù)學(xué)活動(dòng)水平的過程目標(biāo)動(dòng)詞”；進(jìn)而，突出強(qiáng)調(diào)“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”。

但是，究竟什么是“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的基本形式或具體內(nèi)涵?這是否可等同于動(dòng)手實(shí)踐與自主探究?什么又是“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀”的主要教育含義，特別是，這是否就意味著我們應(yīng)由所謂的“結(jié)果的教育”轉(zhuǎn)向“過程的教育”?這一做法在實(shí)踐中是否會(huì)造成一定的問題或消極后果?我們應(yīng)如何去避免或糾正?筆者以為，如果對(duì)這些問題我們始終未能作出深入的思考，而只是停留于對(duì)“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀”或“過程的教育”的突出強(qiáng)調(diào)，或是滿足于對(duì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐與主動(dòng)探究的特別推崇，就很容易在這方面陷入認(rèn)識(shí)的誤區(qū)。

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，國際上的相關(guān)實(shí)踐已在這一方面為我們提供了直接啟示。如“探究學(xué)習(xí)”在20世紀(jì)60年代的美國就曾得到積極提倡，但最終是一次失敗的努力。盡管存在多種“外部”的原因，但最為重要的一個(gè)原因，是認(rèn)為學(xué)生無需通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)，也即對(duì)于已有文化的認(rèn)真繼承就可相對(duì)獨(dú)立地做出各項(xiàng)重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)，包括建立起相應(yīng)的系統(tǒng)理論。另外，國際數(shù)學(xué)教育界通過對(duì)20世紀(jì)80年代以“問題解決”為主要口號(hào)的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)進(jìn)行總結(jié)與反思，得出的一個(gè)主要結(jié)論是：與對(duì)于過程的片面強(qiáng)調(diào)相對(duì)立，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)“過程與結(jié)果并重”。

當(dāng)然，上述共識(shí)的形成在一定意義上也可看成課程改革逐步深入的一個(gè)具體標(biāo)志，但我們顯然又不應(yīng)以此去取代對(duì)于“數(shù)學(xué)活動(dòng)”各個(gè)問題的深入分析。作為“四基”之一，“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”已被正式納入到了修改后的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》之中。這一事實(shí)更加凸顯了認(rèn)真做好這方面工作的重要性和緊迫性。

2.“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的具體內(nèi)涵。

究竟什么是“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的基本形式或具體內(nèi)涵?讀者特別是一線教師或許可以首先嘗試著對(duì)這一問題作出自己的解答。

相信很多數(shù)學(xué)教師都會(huì)給出一種解答：觀察、實(shí)驗(yàn)、總結(jié)、歸納、證明。但是，我們又只需與著名數(shù)學(xué)家的相關(guān)論述作一對(duì)照就可立即看出這種解答是過于狹窄了，特別是未能很好地體現(xiàn)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”相對(duì)于一般“科學(xué)活動(dòng)”的特殊性。以下就是人們經(jīng)常提到的一些論述：“模式的建構(gòu)與研究”(L.Steen)，“數(shù)學(xué)化、公理化與形式化”(弗賴登塔爾)，“問題解決”(波利亞)，“抽象、證明與應(yīng)用”(亞歷山大洛夫)，等等。這些論述從總體上說清楚地表明了數(shù)學(xué)活動(dòng)的復(fù)雜性和多元性，由此可以得出的一個(gè)直接結(jié)論就是：將“數(shù)學(xué)活動(dòng)”簡(jiǎn)單等同于某種具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)，無論這是指外部的操作性活動(dòng)，也即所謂的“動(dòng)手實(shí)踐”，或是指歸納與演繹這樣的邏輯思維活動(dòng)，乃至別的什么活動(dòng)，都是不夠恰當(dāng)?shù)摹?/p>

當(dāng)然，相對(duì)于抽象的論述而言，更為重要的又在于我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^實(shí)際參與數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得這方面的直接體驗(yàn)。

由臺(tái)灣學(xué)者黃敏晃教授提供的以下實(shí)例(《“從‘鴿籠原理談起”》)可以看成這方面的一個(gè)積極努力：在小學(xué)數(shù)學(xué)教師的一個(gè)進(jìn)修班上，學(xué)員被要求通過小組合作求解如下問題：如何利用“鴿籠原理”證明：“從1，2，3，…2n這些自然數(shù)中，任取n＋1個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)”。以下就是這些學(xué)員在當(dāng)時(shí)所從事的一些具體活動(dòng)：

(1)特殊化。如令n＝3，并就這一實(shí)例對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。(2)猜想與證明。正是通過實(shí)例的具體考察，他們發(fā)現(xiàn)了“兩數(shù)互質(zhì)”的一些具體類型，如“兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)互質(zhì)”，并且他們對(duì)結(jié)論的正確性進(jìn)行了證明。(3)分析、聚焦、解決問題。通過分析，他們又認(rèn)識(shí)到了，為了解決原來的問題，還需要證明所有的取法都可以歸結(jié)為上述類型，包括如何能夠利用“鴿籠原理”去進(jìn)行證明。(4)反思與推廣。即作出如下的推廣：“從任意一個(gè)自然數(shù)a開始，連續(xù)羅列2n個(gè)數(shù)：a，a＋1，a＋2，a＋3，…a＋2n－1。在這些自然數(shù)中任取n＋1個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)?！?/p>

由此可見，只有通過親身實(shí)踐我們才能獲得對(duì)“數(shù)學(xué)活動(dòng)”更為深刻的理解，如究竟什么是數(shù)學(xué)中的“嘗試”及其與“特殊化”的重要聯(lián)系；什么是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的主要途徑；什么又應(yīng)被看成證明的本質(zhì)：是邏輯思維，還是獲得更為深刻的理解；“問題解決”與“繼續(xù)前進(jìn)”又存在怎樣的關(guān)系，等等。

另外，也只有以實(shí)例為背景去思考，我們才能更好地理解關(guān)于“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的各種專門理論。例如，與各種過于籠統(tǒng)的提法(除去“學(xué)生主動(dòng)探究”以外，還有20世紀(jì)80年代國際上十分流行的一個(gè)提法：“學(xué)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)”)相比較，所謂的“數(shù)學(xué)活動(dòng)論”可以看成從一個(gè)側(cè)面更為清楚地揭示了“動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀”的具體內(nèi)涵及其教育含義，從而我們就應(yīng)予以特別的重視。

具體地說，按照“數(shù)學(xué)活動(dòng)論”，數(shù)學(xué)不應(yīng)被等同于各個(gè)具體結(jié)論的簡(jiǎn)單匯集，而應(yīng)理解成由“問題”、“語言”、“方法”、“命題”等多種成分所組成的一個(gè)復(fù)合體，這就是從動(dòng)態(tài)角度考察數(shù)學(xué)得到的一個(gè)直接結(jié)論。這一結(jié)論具有重要的教育含義：

第一，由于“問題”可以看成數(shù)學(xué)活動(dòng)的直接出發(fā)點(diǎn)，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們就不僅應(yīng)當(dāng)十分重視提高學(xué)生解決問題的能力，也應(yīng)高度重視學(xué)生提出問題能力的培養(yǎng)，即幫助學(xué)生樹立良好的“問題意識(shí)”。第二，從這一角度我們也可更為深入地理解幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地談?wù)摗迸c“數(shù)學(xué)地寫作”的重要性，也就是說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事實(shí)上也可看成一種語言學(xué)習(xí)。第三，由于每個(gè)數(shù)學(xué)分支不僅具有自己的基本問題，往往也具有自己的特殊方法，某些新的數(shù)學(xué)分支的創(chuàng)立更依賴于新的研究方法的創(chuàng)建，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們也應(yīng)對(duì)方法予以足夠的重視。

3.“學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)”與“真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)”的必要區(qū)別。

從教育的角度去分析，我們又應(yīng)特別重視在“學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)”與“真正的數(shù)學(xué)活動(dòng)”之間存在的重要區(qū)別。

具體地說，就如“真實(shí)數(shù)學(xué)”(authentic mathe-maties)與“學(xué)校數(shù)學(xué)”(school mathematics)的區(qū)分，我們?cè)诖孙@然也應(yīng)看到學(xué)生的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”與真正的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”之間所存在的重要區(qū)別，特別是，學(xué)生的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”主要是一種“再創(chuàng)造”，并且是在教師的直接指導(dǎo)下完成的，也即主要是一種文化繼承的行為。

由此可見，當(dāng)前的一個(gè)緊迫任務(wù)，就是對(duì)“學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)”作出更為清楚的界定，并依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平對(duì)此在教學(xué)中作出合理定位。

日本的相關(guān)實(shí)踐為我們提供了直接的范例。日本同行通過對(duì)這些年的課改實(shí)踐進(jìn)行總結(jié)和反思獲得一項(xiàng)進(jìn)展：在文部省2008年頒發(fā)的新修訂的中小學(xué)《學(xué)習(xí)指導(dǎo)綱要》中，不僅“數(shù)學(xué)活動(dòng)”被列為與“數(shù)與計(jì)算”、“量與測(cè)量”、“圖形”與“代數(shù)”等相提并論的又一新的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，而且也較為詳細(xì)地列出了各個(gè)年級(jí)在這一方面的具體要求。例如，他們?yōu)槿昙?jí)規(guī)定了這樣一些數(shù)學(xué)活動(dòng)：第一，用實(shí)物、語言、數(shù)、式子、圖等思考并說明整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)計(jì)算意義和方法的活動(dòng)；第二，用實(shí)物、圖、數(shù)軸表示及比較小數(shù)和分?jǐn)?shù)大小的活動(dòng)；第三，研究長度、體積、重量等單位的關(guān)系的活動(dòng)；第四，用尺子和圓規(guī)畫等腰三角形和等邊三角形的活動(dòng)；第五，從時(shí)間和地點(diǎn)等角度對(duì)資料進(jìn)行分析整理、列表表示的活動(dòng)。

當(dāng)然，從教學(xué)的角度去分析，我們還應(yīng)更為深入地去研究，在學(xué)生積極從事上述“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的同時(shí)，教師又應(yīng)如何去發(fā)揮應(yīng)有的指導(dǎo)作用?

例如，施銀燕老師的《“雞兔同籠”問題的另類教學(xué)》(詳見《人民教育》2009年第7期)就是這方面的一個(gè)很好實(shí)例。由這一例子可以看出：即使就“嘗試”這樣一種“最原始的”探究活動(dòng)而言，也具有十分豐富的思維內(nèi)涵，從而就必然地有一個(gè)后天的學(xué)習(xí)過程，教師更應(yīng)在這一過程中發(fā)揮十分重要的作用。這就正如任課教師所指出的：“我們要做的是有計(jì)劃、有順序的嘗試，需要理性地分析和調(diào)整，如何基于數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析調(diào)整是這節(jié)課所要解決的問題；嘗試過程中伴隨著不斷的猜測(cè)，等猜測(cè)變成確定的規(guī)律之后，就達(dá)到了嘗試的最高境界——不試?！?/p>

在此我們可聯(lián)系“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的科學(xué)性去進(jìn)行分析。例如，從“窮舉”的角度看，嘗試應(yīng)當(dāng)注意避免遺漏；從方法論的角度看，嘗試又應(yīng)力求“高效”——王尚志教授在相關(guān)評(píng)論中指出，后者可看成數(shù)學(xué)中“逐步逼近法”的本質(zhì)所在。更為一般地說，這也就如同波利亞所指出的：“在解題的每一階段……我們都要用已經(jīng)得到的知識(shí)去得出更多知識(shí)。我們要靠逐省逐省的占領(lǐng)去最后征服一個(gè)王國。在每個(gè)階段，我們利用已被征服的省份作為行動(dòng)基地去征服下一個(gè)省份。”

王尚志教授還提到：“現(xiàn)在老師們中間有一個(gè)認(rèn)識(shí)值得討論：教最巧的方法是最好的，認(rèn)為巧是聰明的標(biāo)志。我建議對(duì)好方法作重新思考：對(duì)學(xué)生而言哪個(gè)更自然，可能更為重要……越是自然的，也越有潛能。”

從這一角度去分析，我們也可更好理解“嘗試”這一方法何以會(huì)引起不少著名科學(xué)哲學(xué)家與數(shù)學(xué)哲學(xué)家的特別重視。對(duì)此可見波普爾的《猜想與反駁》與拉卡托斯的《證明與反駁》。當(dāng)然，通過閱讀這些著作我們也可獲得關(guān)于“數(shù)學(xué)活動(dòng)”更為深入的認(rèn)識(shí)。另外，還應(yīng)提及的是，有不少數(shù)學(xué)教育家也曾對(duì)此作過專門研究。如英國學(xué)者梅森與美國學(xué)者舍費(fèi)爾德就都曾經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)中的特殊化方法進(jìn)行過專門分析。(詳見鄭毓信的《數(shù)學(xué)方法論》)

二、兩極分化與“精英教育”。

學(xué)生“兩極分化”的加劇以及“精英教育”的缺失，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育一個(gè)嚴(yán)峻的現(xiàn)實(shí)。

但是，這一提法本身不已包含了一定的內(nèi)在矛盾嗎?因?yàn)?，所謂的“兩極分化”就是指一部分學(xué)生學(xué)得越來越好，我們又如何能夠同時(shí)去斷言“精英教育的缺失”?!筆者以為，這一疑問的存在恰恰清楚地表明了對(duì)于相關(guān)現(xiàn)象作出深入分析研究的必要性。

1.學(xué)生兩極分化的加劇。

這是筆者在2005年就已提到的一個(gè)看法：“以下的現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)引起我們的高度重視：在先前主要是在小學(xué)三年級(jí)才開始出現(xiàn)的‘學(xué)生兩極分化的現(xiàn)象，現(xiàn)今在小學(xué)一年級(jí)就已開始凸現(xiàn)出來?！?/p>

“當(dāng)然，我們?cè)诖瞬粦?yīng)‘談虎色變，毋寧說，這即是十分清楚地表明了深入開展相關(guān)研究的重要性和緊迫性，特別是，所說的‘新的兩極分化是否真的存在?或者說，我們究竟可以在多大的范圍與程度上談及‘新的兩極分化?進(jìn)而，所說的‘新的兩極分化與‘先前的兩極分化是否具有相同的性質(zhì)，還是有著不同的內(nèi)涵或表現(xiàn)形式?什么又是造成所說的‘新的兩極分化的主要原因?……我們并應(yīng)如何去解決所說的‘新的兩極分化?”

由以下的教學(xué)實(shí)例我們就可具體了解現(xiàn)今在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中出現(xiàn)的究竟是怎樣的“兩極分化”，什么又是造成這一現(xiàn)象的主要原因。

情境A：教師在班上給出了這樣一個(gè)問題：“在紙上任意點(diǎn)上7個(gè)點(diǎn)，并將它們每?jī)牲c(diǎn)連成一條線。再數(shù)一數(shù)，看看連成了多少線段?”

教學(xué)現(xiàn)實(shí)：59人的一個(gè)班級(jí)，有25位同學(xué)已經(jīng)能夠列出“6＋5＋4＋3＋2＋1”，有7位同學(xué)列出“6×7＝42，42＋2＝21”。但有15位同學(xué)幾乎無從下手，思路完全不對(duì)。

情境B：“雞兔同籠”問題的教學(xué)。

教學(xué)現(xiàn)實(shí)：調(diào)查表明，在班上44個(gè)學(xué)生中，除14人不會(huì)解答外，其他人都給出了正確解答，其中更有9人采用列方程的方法并獲得了正確答案。

情境C：“植樹問題”的教學(xué)

教學(xué)現(xiàn)實(shí)：“‘植樹問題現(xiàn)已成為了一個(gè)跨越5個(gè)年級(jí)(二年級(jí)～六年級(jí))的題目?！弊髡哌M(jìn)一步指出：“在一個(gè)到處講究‘速成的時(shí)代，什么樣的難題都有機(jī)會(huì)提前出現(xiàn)。”特別是，如果這些題目打著“生活中的數(shù)學(xué)問題”這樣一個(gè)旗號(hào)的話。

面對(duì)學(xué)生間存在的如此大的差異，一線教師的處境顯然不輕松!另外，上面的實(shí)例也已表明，由于所謂的“超前教育”正是造成現(xiàn)今“兩極分化”的一個(gè)重要原因，從而后者確已在很大程度上不同于傳統(tǒng)意義上的“兩極分化”，也就是說，我們現(xiàn)今所看到的已并非真正的“優(yōu)秀學(xué)生”與“差生”之

間的差距，而是由各種原因造成的“提前起跑者”與“正常起跑者”之間的差距。

上述現(xiàn)象的出現(xiàn)并非偶然，因?yàn)?，?dāng)今的信息時(shí)代，人們可以通過各種渠道獲得所需要的信息與知識(shí)。從而，在實(shí)際進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)前，就有很多學(xué)生已經(jīng)知道了如何去計(jì)算平行四邊形的面積，也已較好地掌握了分?jǐn)?shù)的除法……當(dāng)然，在此我們也可看到一些“人為的干擾”，特別是由于“奧數(shù)”的盛行而造成的消極影響。

除了從教學(xué)的角度進(jìn)行分析以外，我們又應(yīng)十分重視所說的“兩極分化”對(duì)于學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(乃至整體發(fā)展)所可能造成的負(fù)面影響，因?yàn)?，這里所說的“先進(jìn)生”有很多不僅不能被看成真正的優(yōu)秀學(xué)生，更可能是一個(gè)“越做越恨”、“越學(xué)失敗感越強(qiáng)”，甚至靈魂也因此受到一定扭曲的“偷跑者”。

2.“精英教育”的缺失。

“精英教育”這一術(shù)語的使用無疑會(huì)引起不少讀者的疑惑甚至是反感，因?yàn)?，按照一般的理解，“精英教育”是與“大眾數(shù)學(xué)”直接相對(duì)立的，后者又正是20世紀(jì)90年代起在世界范圍內(nèi)先后開展的新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)基本立場(chǎng)，這就是指，數(shù)學(xué)教育應(yīng)從原先的“雙重目標(biāo)”——對(duì)大多數(shù)學(xué)生的低標(biāo)準(zhǔn)與少數(shù)學(xué)生的高標(biāo)準(zhǔn)——轉(zhuǎn)變到真正面向全體學(xué)生。后者也是我國義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》何以特別強(qiáng)調(diào)義務(wù)教育的基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性的主要原因，特別是，數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”，“人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”、“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

當(dāng)然，在此我們又應(yīng)特別提及以下的一些論述：“《標(biāo)準(zhǔn)》只是每個(gè)學(xué)生都應(yīng)達(dá)到的最基本的要求，它并不排除學(xué)有余力的學(xué)生達(dá)到比《標(biāo)準(zhǔn)》更高的要求。”但筆者在此所要提出的卻是：除了一線教師，在現(xiàn)實(shí)中我們又應(yīng)指望誰來關(guān)注“學(xué)有余力的學(xué)生”的發(fā)展?誰又應(yīng)當(dāng)對(duì)這方面工作的滯后甚至是缺失承擔(dān)責(zé)任?

日本著名數(shù)學(xué)教育家藤田宏教授曾這樣直接評(píng)論日本數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)：“日本需要真正的精英教育……提倡大眾教育的前提下，進(jìn)行精英教育……精英教育應(yīng)該從文化教育直至研究生院教育；數(shù)學(xué)教師必須接受精英教育，具備精英教育意識(shí)?！?/p>

以下是藤田宏教授的一些具體論點(diǎn)：

“日本需要真正的精英教育。在不久的將來，我們的社會(huì)需要真正的具有高專業(yè)能力和道德觀念的精英人才”，在將來的社會(huì)生活中他們能夠努力領(lǐng)導(dǎo)或處理各種狀態(tài)下所面臨的問題。

“精英教育的原則和策略：提倡大眾教育的前提下，進(jìn)行精英教育。我們的目的應(yīng)是將學(xué)生個(gè)性建立在人道主義基礎(chǔ)上，我們的重點(diǎn)應(yīng)放在培養(yǎng)聰明智慧、善待社會(huì)及人類的精英。

“(數(shù)學(xué)教育中的)精英教育就是培養(yǎng)在數(shù)學(xué)上學(xué)力突出的，將來在某一方面具有杰出的研究能力的學(xué)者的教育。數(shù)學(xué)教育中的精英教育是通過問題解決教學(xué)實(shí)現(xiàn)的。老師給學(xué)生具有一定難度和挑戰(zhàn)性的有深度的數(shù)學(xué)問題?！?/p>

“一般說來，社會(huì)精英都有與眾不同的精神氣質(zhì)，所以在教學(xué)中樹立學(xué)生的挑戰(zhàn)精神和遠(yuǎn)大理想、志氣也是最根本的。通過日常教育和數(shù)學(xué)問題解決培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力是非常必要的?！?/p>

盡管藤田宏教授的這些論述以日本的數(shù)學(xué)教育作為直接對(duì)象，但他所提出的主要結(jié)論顯然也適用于中國。這就是指，如何同時(shí)做好“大眾數(shù)學(xué)”與“精英教育”(更為準(zhǔn)確地說，是“20％最好的學(xué)生在數(shù)學(xué)上的更好發(fā)展”)，是我們當(dāng)前應(yīng)當(dāng)高度重視的一個(gè)問題。這也就如藤田宏教授所指出的：“現(xiàn)在是進(jìn)行義務(wù)教育，因此，學(xué)習(xí)內(nèi)容簡(jiǎn)單，這樣一來，學(xué)習(xí)水平顯然降低了……在義務(wù)教育中，大家都在議論、強(qiáng)調(diào)民主和教育公平，但過分強(qiáng)調(diào)民主平等對(duì)精英教育是不利的”；“日本……對(duì)于聰明的學(xué)生缺乏應(yīng)有的精英教育”。

如眾所知，對(duì)于存在問題的清醒認(rèn)識(shí)，包括明確表述與深入思考，正是最終解決問題并取得新的進(jìn)步的良好開端。在這樣的意義上，日本同行可以說在這一方面已經(jīng)走在了我們前面；而強(qiáng)烈的國際競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)事實(shí)上也是我們?cè)诋?dāng)前所應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)的：“為了國際競(jìng)爭(zhēng)的勝利和保持科學(xué)的領(lǐng)先地位……我們?cè)僖膊荒茏曔@樣的情況發(fā)生了，即我們的兒童并不能通過學(xué)校教育從數(shù)學(xué)上為21世紀(jì)作好準(zhǔn)備。挑戰(zhàn)是明顯的，機(jī)會(huì)就在眼前。是行動(dòng)的時(shí)候了?！?/p>

3.轉(zhuǎn)向“實(shí)踐性智慧”。

如何才能同時(shí)做好“大眾數(shù)學(xué)”與“20％最好的學(xué)生在數(shù)學(xué)上的更好發(fā)展”?筆者以為，就當(dāng)前而言，應(yīng)當(dāng)積極倡導(dǎo)這樣一個(gè)立場(chǎng)：直面現(xiàn)實(shí)，積極實(shí)踐，并能通過認(rèn)真的總結(jié)與反思不斷發(fā)展自己的實(shí)踐性智慧。

為了清楚地說明這一點(diǎn)，讓我們重新回到上面提到的賁友林老師的一個(gè)教學(xué)實(shí)例：“雞兔同籠”問題的教學(xué)。

由于很多學(xué)生在上課前都已學(xué)過這一內(nèi)容，因此，任課教師必須面對(duì)的一個(gè)問題是，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何去處理學(xué)生中存在的巨大差異——“學(xué)生現(xiàn)在在哪里?學(xué)生將走向哪里?學(xué)生如何走向那里?”

當(dāng)然，使各種學(xué)生都能有所收獲，應(yīng)是教學(xué)的主要目標(biāo)，特別是，我們既不應(yīng)讓“先進(jìn)”學(xué)生事實(shí)上充當(dāng)了“陪讀”的角色，也不應(yīng)使“后進(jìn)生”越掉越遠(yuǎn)。

由此可見，我們?cè)谶@一方面的基本立場(chǎng)：第一，明確承認(rèn)學(xué)生間存在的巨大差距；第二，努力使各種學(xué)生都能有所收獲。

文章作者賁友林老師提出：“孩子的‘已有、‘已知，就是教學(xué)資源，應(yīng)當(dāng)充分地加以利用。教師引導(dǎo)學(xué)生將自己原有的認(rèn)識(shí)外化出來與全班交流，這是更有效的‘導(dǎo)。于是，我組織‘兵教兵。而我，關(guān)鍵處追問……從而讓學(xué)生的思考走向深入，認(rèn)識(shí)得到提升。”

由于這一堂課的主要目標(biāo)是幫助學(xué)生較好掌握“假設(shè)”這一解題策略(如假設(shè)“全部都是雞”，或“全部都是兔子”，再根據(jù)誤差作出調(diào)整……)，因此，這里的首要問題就在于：我們應(yīng)當(dāng)如何去處理學(xué)生的其他做法，特別是一些學(xué)生所采用的方程解法?

賁友林老師指出：“我以為，方程解法與算術(shù)解法應(yīng)當(dāng)并駕齊驅(qū)。不過，本節(jié)課側(cè)重‘假設(shè)。于是，我在學(xué)生試做之后，讓學(xué)生先是展示方程解法，并對(duì)‘如何設(shè)未知數(shù)以及‘列方程所依據(jù)的等量關(guān)系著重讓學(xué)生理解。繼而，交流‘假設(shè)思路。在學(xué)生對(duì)‘假設(shè)有了充分的認(rèn)識(shí)之后，我又殺了個(gè)‘回馬槍，學(xué)生的思維豁然開朗：方程，其實(shí)也是假設(shè)?！?/p>

另外，賁友林老師的以下論述則關(guān)系到了教學(xué)中的另一“敏感問題”：“課中，我呈現(xiàn)了一個(gè)二年級(jí)學(xué)生的解題思考過程(因?yàn)檫@是二年級(jí)的學(xué)生，又是該班班主任老師的兒子)，全班學(xué)生興致盎然。但我如果呈現(xiàn)另外一位同學(xué)所采用的‘一一列舉方法，那是否會(huì)被班級(jí)中的其他同學(xué)認(rèn)為他的方法比較‘笨而遭嘲笑?……我不能因?yàn)槟骋粋€(gè)學(xué)生的解法被呈現(xiàn)而受到傷害。”由此可見，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)充分注意學(xué)生的特殊性，幫助所有學(xué)生都能取得積極的進(jìn)步。

4.一些更為基本的教育思想。

最后，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)指出，除去具體的教學(xué)方法與教學(xué)思想以外，這里所說的問題還直接關(guān)系到了一些更為基本的教育思想，包括“數(shù)學(xué)教育哲學(xué)”。

首先，我們究竟應(yīng)以何者作為教育特別是基礎(chǔ)教育的基本目標(biāo)，是承認(rèn)學(xué)生間必然存在的差異，并主要著眼于這一基礎(chǔ)之上的個(gè)人發(fā)展，還是應(yīng)當(dāng)努力縮小學(xué)生間可能存在的差距?應(yīng)當(dāng)指出，這兩種立場(chǎng)集中反映了東西方教育思想的一個(gè)重要區(qū)別。從而，我們也就應(yīng)當(dāng)不斷增強(qiáng)自身在這一方面的自黨性。

其次，東西方數(shù)學(xué)教育(乃至一般教育)思想的又一重要區(qū)別，是如何看待“打好基礎(chǔ)”與“積極創(chuàng)新”之間的關(guān)系。這就正如別格斯所指出的：“在西方，我們相信探索是第一位的，然后再發(fā)展相關(guān)的技能；但中國人則認(rèn)為技能的發(fā)展是第一位的，后者通常則又包括了反復(fù)練習(xí)，然后才能談得上創(chuàng)造?！憋@然，認(rèn)識(shí)的這一差異對(duì)于我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去“促進(jìn)20％最好的學(xué)生在數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)更好的發(fā)展”也有十分重要的影響。

當(dāng)然，上述問題的徹底解決已經(jīng)超出了一線教師的日常工作范圍，而且，由于其中所涉及的都是較深層面的教育思想，更集中反映了東西方教育思想的差異或?qū)α?，因此，在筆者看來，我們?cè)诖艘膊粦?yīng)刻意地去追求“對(duì)”與“錯(cuò)”(或者說，“先進(jìn)”與“落后”)這樣的簡(jiǎn)單化結(jié)論，因?yàn)?，任何一種教育思想或理念都有其一定的合理性和局限性，在此最為需要的則是深入的分析與研究。如果像中國這樣一個(gè)人口大國，直接從事數(shù)學(xué)教育的人更有數(shù)十萬之眾，但卻始終沒有人認(rèn)真地去思考這樣一些問題，那么，這就真的成了數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中的一大盲區(qū)了!