關(guān)于單變點(diǎn)Copula風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值測(cè)度分析

余 平，史建紅

(山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西臨汾 041004)

風(fēng)險(xiǎn)管理是當(dāng)今金融研究領(lǐng)域的一個(gè)重要課題，隨著經(jīng)濟(jì)全球化和金融一體化進(jìn)程加劇，全球經(jīng)濟(jì)、金融市場(chǎng)的相互依存性比以往任何時(shí)候都更加強(qiáng)烈，任何地區(qū)的金融市場(chǎng)的局部波動(dòng)就可能迅速波及、傳染、放大到全球市場(chǎng)，比如亞洲金融危機(jī)、美國(guó)次貸危機(jī)等等都是由于區(qū)域性金融演變成全球經(jīng)濟(jì)危機(jī)。因此金融機(jī)構(gòu)要更好規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，提高競(jìng)爭(zhēng)力，采用合理風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法愈發(fā)重要。Value at Risk(VaR)[1]就是在90年代金融危機(jī)背景下應(yīng)運(yùn)而生，它在金融風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量，監(jiān)管領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。

而在實(shí)際研究中，VaR計(jì)算都假定單個(gè)資產(chǎn)收益數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，不同的資產(chǎn)收益數(shù)據(jù)是線性相關(guān)性，大量文獻(xiàn)[2－3]指出資產(chǎn)收益數(shù)據(jù)具有“尖峰厚尾”性，不同的資產(chǎn)收益數(shù)據(jù)之間還存在非線性相關(guān)性，這用傳統(tǒng)方法計(jì)算VaR就顯得不充分。Copula則可以很好地度量金融數(shù)據(jù)相關(guān)性，至Embrechts etc(1999)把Copula引入到金融數(shù)量分析以來(lái)，已經(jīng)取得了很多有意義的成果。如國(guó)外Rosenberg etc(2004)運(yùn)用Copula研究市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)，結(jié)構(gòu)表明Copula得到的VaR最接近經(jīng)驗(yàn)VaR。國(guó)內(nèi)吳振翔等 (2006)[4]利用Copula-Garch模型計(jì)算投資組合VaR，得出t-Copula很好描述金融變量相關(guān)性。陳守東等(2006)[5]將利用Copula和蒙特卡洛模擬計(jì)算不同置信水平下的VaR，計(jì)算結(jié)果Copula方法是要優(yōu)于傳統(tǒng)正態(tài)方法。

關(guān)于Copula計(jì)算VaR的文獻(xiàn)還有很多，但是大多數(shù)文獻(xiàn)都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，都是假定選取的Copula的結(jié)構(gòu)不變，也即是參數(shù)不變，而文獻(xiàn)[6]都指出，采用Copula度量金融變量相關(guān)性還存在著變結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)金融變量在某個(gè)時(shí)刻前后Copula參數(shù)具有較大改變，如果再傳統(tǒng)Copula理論計(jì)算VaR就不太合適。論文就討論金融變量存在單變點(diǎn)的情況利用Copula進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值測(cè)度。

1 Copula相關(guān)知識(shí)

Copula函數(shù)可以理解為“相依函數(shù)”或者“連接函數(shù)”，它是把多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布用其一維邊際分布連接起來(lái)的函數(shù)。Copula理論的提出，不僅為我們提供了一條在不考慮邊緣分布的情況下分析多元分布相關(guān)結(jié)構(gòu)的途徑，還為求聯(lián)合分布函數(shù)提供了一條便捷的通道。Copula函數(shù)種類(lèi)有很多，下面介紹一種常用的Archimedean Copula函數(shù)，Genest和 Mackay(1986)給出了 Archimedean Copula分布函數(shù)的定義如下:

定義 1 (Archimedean Copula)設(shè) φ∶[0∶1]→ [0，R]為連續(xù)，嚴(yán)格遞減的凸函數(shù)，φ(1)=0，φ(0)=∞，且具有連續(xù)，嚴(yán)格遞減凸的逆函數(shù) φ-1∶[0，∞]→[0，1]，φ-1(0)=1，φ-1(∞)=0，C(u，v)= φ-1(φ(u)+(φ(v))則稱為由生成函數(shù) (generator)，φ(·)生成的二元Archimedean Copula。

由此可見(jiàn)，Archimedean Copula由其生成函數(shù)φ(·)唯一確定，φ(·)不同可以得到不同的Archimedean Copula，具體見(jiàn)文獻(xiàn)[7]，其中比較常用的一類(lèi)是 GumbelCopula，其生成函數(shù) φθ(t)=(-lnt)θ，由此得

2 Copula變點(diǎn)檢測(cè)方法

設(shè)(U1，V1)，…，(Un，Vn)是[0，1]× [0，1]上的一列邊緣分布為均勻獨(dú)立的隨機(jī)向量，其對(duì)應(yīng)Copula函數(shù)為 C(u，θ1，η1)，C(u，θ2，η2)，…，C(u，θn，ηn)，其中(θi，ηi)∈（Θ(1)×Θ(2)）（i=1，2，…，n)為Copula中參數(shù)，這里將η看著常量參數(shù)，稱為贅余參數(shù)(nuisance parameters)，則關(guān)于參數(shù)θ單變點(diǎn)的原假設(shè)和備則假設(shè)分別為:

和

和

如果拒絕原假設(shè)H0，則k*即為變點(diǎn)時(shí)刻。在這兩個(gè)假設(shè)中，參數(shù)θ和k*都是未知的。如果k*=k已知的，此時(shí)，可以通過(guò)有關(guān)Copula的廣義極大似然估計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)完成。如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

取值較小，則拒絕原假設(shè)，這里c為C的密度函數(shù)。若記

等價(jià)于:

當(dāng)存在著一個(gè)以上的變點(diǎn)時(shí)，可以采用文獻(xiàn)[8]提出的二分分段法進(jìn)行檢測(cè)，其步驟如下:首先對(duì)全部樣本序列檢測(cè)單個(gè)變點(diǎn)，如果沒(méi)有變點(diǎn)，則接受原假設(shè)，如果存在一個(gè)變點(diǎn)，則該變點(diǎn)可以將整個(gè)樣本數(shù)據(jù)序列分成兩個(gè)子樣序列，然后對(duì)每個(gè)子樣序列按第一步分別找出一個(gè)變點(diǎn)，繼續(xù)這個(gè)分段過(guò)程，直到找到所有的子樣序列的變點(diǎn)為止。

3 關(guān)于V aR，ES的M onte Carlo計(jì)算

VaR中文[1]譯為“風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值”或者“在險(xiǎn)價(jià)值”，是在一定的置信水平下，某一資產(chǎn)或組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)最大的可能損失，表示式為:

其中，Δt為資產(chǎn)的持有期，α 為置信水平，VaRa，t+Δt表示在α分位數(shù)資產(chǎn)最大的預(yù)期損失。

ES(Expect Short)代表超額損失的平均水平，反映超過(guò)VaR時(shí)的可能遭受的平均潛在損失的大小，較之VaR更能體現(xiàn)潛在的損失。它不但具有VaR的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又具有良好的性質(zhì)[3]。如ES滿足正齊次性，次可加性，單調(diào)性，是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量。其表達(dá)式為:

Copula模擬VaR，ES算法[5]

1)產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)（u,v）服從U(0,1)分布;

2)令所求的第一個(gè)隨機(jī)數(shù)R1=F-1(u);

3)通過(guò)選定的Copula函數(shù)求得第二個(gè)序列在均勻分布上的隨機(jī)數(shù)w=Cu-1（v）(其中Cu=?C（u，v）/?（u）;

4)計(jì)算第二個(gè)隨機(jī)數(shù)R2=G-1(w);

5)通過(guò)前4步得到一對(duì)數(shù)據(jù) (R1，R2)，將模擬進(jìn)行n(相當(dāng)大)次，就得到n對(duì)模擬的對(duì)數(shù)收益數(shù)據(jù) (R1，R2)，然后將模擬產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)以等權(quán)組合計(jì)算不同置信水平下的VaR和ES。

4 實(shí)證研究

為了考察上海股市和深圳股市的之間的關(guān)系，文中選取上證綜合指數(shù)(SHI)和深圳成份指數(shù)(SZI)每日收盤(pán)價(jià)為樣本研究對(duì)象，選取樣本時(shí)間段為:19990105－20090521，共2501組數(shù)據(jù)。

4.1 數(shù)據(jù)描述

將價(jià)格定義為市場(chǎng)每日收盤(pán)價(jià)，將收益率Rt定義為:Rt=100*(log(Pt)-log(Pt-1))，則收益數(shù)據(jù)共2500組數(shù)據(jù)。

由圖1可以看出兩股票市場(chǎng)收益呈尖峰性和波動(dòng)聚集性，從表1可以看出具有一定偏斜度，峰度大于3，具有厚尾性.因此兩股市收益率具有尖峰厚尾特點(diǎn)，且呈不對(duì)稱性，如果選擇正態(tài)分布來(lái)描述就會(huì)低估風(fēng)險(xiǎn)。

圖1 滬深股票指數(shù)日對(duì)數(shù)收益波動(dòng)率圖

表1 各股票指數(shù)和等權(quán)組合的描述統(tǒng)計(jì)

4.2 參數(shù)估計(jì)及變點(diǎn)檢測(cè)

由4.1知收益數(shù)據(jù)具有尖峰厚尾特點(diǎn)，而Laplace分布可以較好度量收益尖峰厚尾性，因此文中選擇Copula的邊緣分布函數(shù)為L(zhǎng)aplace分布，其分布函數(shù)和密度函數(shù)如下[9]:

采用極大似然估計(jì)方法的對(duì)收益變量邊緣分布的參數(shù)a，b見(jiàn)表2。

表2 兩股票日對(duì)數(shù)收益邊緣分布的參數(shù)極大似然估計(jì)

在本文中，為了更好分析上海股市和深圳股市的相關(guān)結(jié)構(gòu)，首先應(yīng)該尋找最合適的Copula函數(shù)進(jìn)行分析。大量文獻(xiàn)如 [6]證明Gumbel Copula能很好地描述相關(guān)結(jié)構(gòu)，因此文中只選Gumbel Copula進(jìn)行數(shù)據(jù)的估計(jì)和擬合，其它Copula可以相類(lèi)似分析。

采用文中第2部分介紹變點(diǎn)檢測(cè)方法對(duì)滬深股市對(duì)數(shù)收益數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，同時(shí)采用極大似然估計(jì)法對(duì)整個(gè)收益數(shù)據(jù)的參數(shù)及其有變點(diǎn)后參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到單變點(diǎn)時(shí)刻和關(guān)于Gumbel Copula參數(shù)估計(jì)如下。

表3 變點(diǎn)參數(shù)估計(jì)

通過(guò)變點(diǎn)檢測(cè)方法得到滬深股市對(duì)數(shù)收益數(shù)據(jù)參數(shù)θ發(fā)生時(shí)刻為20070716，探究其原因，我們不難聯(lián)想到與美國(guó)發(fā)生的次級(jí)債金融危機(jī)有關(guān)，2007年4月2日，作為美國(guó)第二大次級(jí)抵押貸款公司—新世界金融公司面對(duì)來(lái)自華爾街174億美元的逼債宣布申請(qǐng)破產(chǎn)保護(hù)，由于投資者對(duì)次級(jí)貸款危機(jī)和房地產(chǎn)市場(chǎng)的擔(dān)憂席卷華爾街，美國(guó)股指7月26日收盤(pán)暴跌，道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)下跌300多點(diǎn)。受此影響，亞太股市27日紛紛下挫，日經(jīng)指數(shù)跌幅較大，而澳大利亞、韓國(guó)等股指更是創(chuàng)造當(dāng)年以來(lái)最大當(dāng)日跌幅。2007年8月7日，中行、工行也卷入美國(guó)次級(jí)危機(jī)。從表2給出變點(diǎn)時(shí)刻來(lái)看，這與次級(jí)貸款危機(jī)產(chǎn)生影響的時(shí)刻基本上相一致。

4.3 VaR和ES計(jì)算

在傳統(tǒng)的利用Copula技術(shù)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR的文獻(xiàn)中，都沒(méi)有考慮到Copula有變結(jié)構(gòu)的情況，如果認(rèn)為有關(guān)Copula的參數(shù)是保持不變，這可能低估VaR，因此論文就考慮2種不同情況——即一種是無(wú)變點(diǎn)結(jié)構(gòu)，另一種有變點(diǎn)結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。

為了計(jì)算方便，資產(chǎn)組合由等額的上證綜指和深圳成指組成，采用文中第4部分介紹的方法進(jìn)行Copula模擬VaR，ES的計(jì)算。選取時(shí)間段從19990105－20090521的收益數(shù)據(jù)總共2500組，而參數(shù)發(fā)生變點(diǎn)時(shí)刻為 20070716，從 19990105－20070716共有2050組收益數(shù)據(jù)，從20070716－20090521共450組收益數(shù)據(jù)，因此在模擬收益數(shù)據(jù)時(shí)變點(diǎn)前后數(shù)據(jù)比例為2050:450，最后再把變點(diǎn)結(jié)構(gòu)前后數(shù)據(jù)合并起來(lái)計(jì)算VaR，ES。

在t時(shí)間資產(chǎn)組合的價(jià)值，

Vt=0.5P1，t+0.5P2，t，對(duì)于模擬對(duì)數(shù)收益 Ri，j(i=1，2；1≤j≤n在時(shí)間范圍 [t，t+1]完成 n次模擬，假設(shè)資產(chǎn)組合在未來(lái)的權(quán)數(shù)不變，則下一時(shí)刻 t+1 的 資 產(chǎn) 價(jià) 值 為 Vt+1=0.5P1，texp(R1，t+1/100)+0.5P2，texp(R2，t+1/100)∶對(duì)于每次模擬 j，計(jì)算出資產(chǎn)組合價(jià)值的變換

構(gòu)造的的 xt= { xt，j}分布函數(shù)就是樣本在時(shí)間[t，t+1]模擬的資產(chǎn)收益的分布函數(shù)。

由式(8)和VaR和ES的定義,可以得到組合收益在t+1時(shí)刻的VaR和ES表達(dá)式分別為

其中，α為估計(jì)的置信水平，x*t+1(r)為第 r個(gè)按上升次序排列的模擬組合收益數(shù)，Nt+1為模擬的不超過(guò)-VaRt+1的個(gè)數(shù)，I為示性函數(shù)。n=5000，模擬計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

從表4中可以看出，ES反映超過(guò)VaR時(shí)的可能遭受的平均損失，在不同置信度下，計(jì)算VaR絕對(duì)值都小于ES絕對(duì)值，同時(shí)在沒(méi)有考慮Copula的變結(jié)構(gòu)情況下計(jì)算VaR，ES絕對(duì)值要略低于考慮Copula的變結(jié)構(gòu)VaR，ES。

表4 日VaR，ES估計(jì)

5 結(jié)語(yǔ)

文中考慮到金融收益數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性和Copula可能存在著變結(jié)構(gòu)等特點(diǎn)，選擇邊緣分布為L(zhǎng)aplace分布描述收益數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性，采用變點(diǎn)分析的方法對(duì)Gumbel Copula變結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，從而計(jì)算出在不同置信水平下投資組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和期望損失，和傳統(tǒng)沒(méi)有考慮Copula變結(jié)構(gòu)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值測(cè)度相比，考慮Copula變點(diǎn)更加合理.當(dāng)然文中選取是Gumbel Copula進(jìn)行分析研究，對(duì)于其它Copula函數(shù)如Clayton Copula，F(xiàn)rank Copula等該方法也是適用的.不知之處是文中只考慮opula單變點(diǎn)情況，對(duì)于多變點(diǎn)的情形可以采用類(lèi)似的方法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值測(cè)度。

[1]菲利普·喬瑞著，陳躍.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VAR[M].2版.上海:中信出版社，2005.

[2]Artzner P，Delbaen F，Eber J-M.et al.Coherent Measures of risk[J].Mathematical Finance，1999(9):203-228.

[3]Kevid Dowd.Measuring Market Risk.2nd Edition[M].New York:John Wiley&Sons，Ltd，2005.

[4]吳振翔，陳敏.基于Copula—GARCH的投資組合風(fēng)險(xiǎn)分析[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐:2006(3):45-52.

[5]陳守東，胡錚洋，孔繁利.Copula函數(shù)度量風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的Monte Carlo模擬[J].吉林大學(xué)社會(huì)科學(xué)學(xué)報(bào)，2006(3):85-91.

[6]Dlas A.Copula Inference for Finance and Insurance[D].Doctoral Thesis，ETH，2004.

[7]Nelson R B.An introductions to copulas[M].New York:Springer，1999.

[8]Vostrikoval.Detecting distorder in multidimensional random processes[J].Soviet Mathematics，Doklady，1981.

[9]唐俊林，楊虎.深滬股市收益率分布特征的統(tǒng)計(jì)分析[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理:2004(5):1-4.