線性變換及其矩陣表示

張姍梅，劉耀軍

（1.太原師范學院數(shù)學系，山西太原030012；2.太原師范學院計算機系，山西太原030012）

我們知道,取定有限維線性空間V的一個基,則V中向量的運算及向量間的關系的討論可轉(zhuǎn)化為向量坐標的討論。同樣,取定V的一個基,則V的線性變換的討論可轉(zhuǎn)化為其矩陣的討論。本文通過一些實例說明,借助矩陣工具可方便解決有關線性變換的問題,反過來,利用線性變換解決某些矩陣問題往往變得比較容易。

設V是數(shù)域 P上 n維線性空間,α1，α2，…，αn是V的一個基,σ是V的一個線性變換,若（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））＝（α1，α2，…，αn）A，則稱 A 為線性變換 σ 在基 α1，α2，… αn下的矩陣。

定理1 設 α1，α2，…，αn是數(shù)域P上n維線性空間V的一個基,則 f：σ→A(A是 σ 在基 α1，α2，…，αn下的矩陣）是V的線性變換集L（V）到P上n階矩陣集Pn×n的一個雙射。并且如果σ,τ∈L（V），而σ→A，τ→B，那么

σ＋τ→A＋B，στ→AB，aσ→aA（a∈P）。

定理1告訴我們,研究數(shù)域P上n維線性空間V的線性變換與研究Pn×n的矩陣沒有什么本質(zhì)的不同。由于矩陣的運算很具體,容易實現(xiàn),因此將線性變換的討論歸結(jié)為矩陣的討論,常使問題容易得到解決。

例1 用P［x］n表示數(shù)域P上次數(shù)小于n的多項式的全體添上零多項式所成的線性空間,設P［x］n的全體線性變換所成的線性空間為M,D為 P［x］n的微商變換（即D（f（x））＝f′（x）,對?f（x）∈P［x］n，且記M中與D可交換的線性變換的集合為N,即

N＝｛T∈M｜DT＝TD｝，

則N構成M的子空間。求N的維數(shù)及其一個基。

解 D∈M,取 P［x］n的一個基 1,x，x2/2！，…，xn－1/（n－1）！，則 D 在此基下的矩陣為

設T∈M在所給基下矩陣為B＝（bij）,則

TD＝DT?AB＝BA

?bi＋1，j＝bi，j－1，bn，j－1＝0，bi＋1，1＝0（i＝1，2，…，n－1；j＝2，3，…，n）

由于

b11B1＋b12B2＋…＋b1nBn。

并且B1，B2，…，Bn線性無關。 因此若設Ti∈M在所給基下的矩陣為Bi,則T1，T2，…，Tn是N的一個基,N的維數(shù)為n。

例2設σ，τ是n（n?0）維線性空間V的線性變換,證明:στ－τσ≠ε，ε是V的單位變換。

證明 取 V 的一個基 α1,α2，…，αn，設 σ，τ 在這個基下的矩陣分別為A＝（aij），B＝（bij）。則στ－τσ在這個基下的矩陣為AB－BA,而單位變換ε在該基下的矩陣為單位矩陣E。由 tr（AB－BA）＝tr（AB）－tr

以及tr（E）＝n可知AB－BA≠E,所以στ－τσ≠ε。

例3設σ是n維線性空間V的一個線性變換,存在V的基,使σ在該基下的矩陣為對角形,λ1，…，λs是σ的所有不同的特征值。 證明存在V的線性變換σ1,…，σs，使為單位變換,且 i≠j時 σiσj＝0 而 σ2j＝σj，j＝1，2，…，s。

證明 由已知,可設 σ 在V的基 ε1，ε2，…，εn下的矩陣為對角陣

其中Ei為ni階單位矩陣,則

σ（ε1，ε2，…，εn1）＝（ε1，ε2，…，εn1）λ1E1

σ（εn1＋n2＋…＋ns－1＋1，…，εn）＝

并且 A1＋…＋As＝E,當 i≠j時 AiAj＝0 而 A2j＝Aj，j＝1，2，…，s。

所以作V的線性變換 σi,使 σi在基 ε1，ε2，…，εn下的矩陣為Ai,則為單位變換),且 i≠j時 σiσj＝0 而 σ2j＝σj，j＝1，2，…，s。

例4 設σ，τ是數(shù)域P上n維線性空間V的線性變換,則στ與τσ有相同的特征值。

證明 取V的一個基 α1，α2,…，αn，設 στ在這個基下的矩陣分別為A，B,則στ與τσ在同一基下的矩陣分別為AB與BA，由線性變換特征值的求法,要證στ與τσ有相同的特征值,只需證AB與BA有相同的特征多項式。由

得

根據(jù)相似矩陣有相同的特征多項式,有

即

定理2 設線性變換σ在基α1，α2,…，αn下的矩陣是A,向量ξ在基α1，α2,…，αn下的坐標是（x1，x2，…，xn）。若 σ（ξ）在基 α1，α2,…，αn下的坐標是（y1，y2，…，yn）,則

例5設σ是n維線性空間V的線性變換,則σ的秩+σ的零度＝n,即

dim（σ（V））＋dim（σ－1（0））＝n。

證明 設σ在V的基α1，α2,…，αn下的矩陣為A,則

（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））＝（α1，α2，…，αn）A于是向量組 σ（α1），σ（α2），…，σ（αn）的秩等于矩陣 A 的秩,而 σ（V） 作為 σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））所生成的子空間 L（σ（α1），σ（α2），…，σ（αn））,其維數(shù)等于向量組σ（α1），σ（α2），…，σ（αn）的秩,因此dim（σ（V））＝r（A）。

另一方面,由定理2,

因為齊次線性方程組AX＝0的解空間的維數(shù)n－r（A）,因此dim（σ－1（0））＝n－r（A）。所以dim（σ（V））＋dim（σ－1（0））＝r（A）＋（n－r（A））＝n。

由例5的證明及矩陣秩的性質(zhì),可得。

例6 設σ，τ是n維線性空間V的線性變換。證明στ的秩≥σ的秩＋τ的秩－n。

證明 設 σ，τ在 V 的基 α1，α2，…，αn下的矩陣分別為 A，B。則 στ在基 α1，α2，…，αn下的矩陣為AB,于是由例5知,στ的秩＝r（AB）,σ的秩＝r（A）,τ的秩＝r（B）。由于

r（AB）≥r（A）＋r（B）－n。

所以στ的秩≥σ的秩＋τ的秩－n。

例7 設σ，τ均為n維線性空間V的線性變換,若 dim（σ（V））＋dim（τ（V））＜n，則 σ 與 τ有公共的特征向量與特征值。

證明 設 σ，τ在 V 的基 α1，α2，… αn下的矩陣分別為A，B。則

dim（σ（V））＝r（A），dim（τ（V））＝r（B）由已知條件可得 r（A）＋r（B）＜n,而r（B）＜n,因而線性方程組有非零解,設為X0,則由此得 AX0＝0，BX0＝0。 令 α＝（α1，α2,…，αn）X0,則 α≠0,且由定理 2 知,σ（α）＝0＝0·α,τ（α）＝0＝0·α，因而 α 為 σ，τ公共的特征向量,0為公共的特征值。

上面的例子是將線性變換的問題轉(zhuǎn)化為矩陣問題,用矩陣理論予以解決。但有時也需要將矩陣問題轉(zhuǎn)化為線性變換來研究。

例8證明:n階矩陣

的最小多項式為

d（x）＝xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an。

證明 取一n維線性空間V以及V的一個基α1，α2,…，αn，作V的線性變換σ,使σ在V的基α1，α2,…，αn下的矩陣為 A。則

σ（α1）＝α2，σ（α2）＝α3，…，σ（αn－1）＝αn，σ（αn）＝－anα1－an－1α2－…－a1αn。

于是αi＝σi－1（α1），i＝2，3，…，n。這樣,對任意次數(shù)小于n的多項式

f（x）＝b0xm＋b1xm－1＋…＋bm－1x＋bm（b0≠0，m＜n）由 α1，α2,…，αn線性無關,得

f（σ）（α1）＝（b0σm＋b1σm－1＋…＋bm－1σ＋bmε）（α1）＝

b0αm＋1＋b1αm＋…＋bm－1α2＋bm（α1）≠0

因此f（σ）≠0,從而f（A）≠0。又d（σ）（α1）＝（αn＋a1σn－1＋…＋an－1σ＋anε）（a1）＝σ（αn）＋a1αn＋…＋an－1α2＋anα1＝（－anα1－an－1α2－…－a1αn）＋a1αn＋…＋an－1α2＋anα1＝0進一步有

d＝（σ）（α1）＝d（σ）（σi－1）（α1）＝

σi－1（d（σ）α1）＝0，i＝2，3，…，n。

因此 d（σ）＝0,從而 d（A）＝0。這就證得 d（x）是 A 的最小多項式。

例9設A是一個n階矩陣，A2＝A。

證明 A與對角矩陣相似。

證 設n維線性空間V的線性變換σ在V的基α1，α2，…，αn下的矩陣為A。下證,σ在V的一個適當?shù)幕碌木仃囀菍蔷仃?。這樣,由同一線性變換在不同基下的矩陣相似,也就證明了所要的結(jié)論。

由 A2＝A,可知 σ2＝σ 于是,對任意 α∈V,有α＝σ（α）＋（α－σ（α））,其中 σ（α）∈σ（V）,而 α－σ（α）∈σ－1（0）（σ（α－σ（α））＝σ（α）－σ2（α）＝0,因此V＝σV＋σ－1（0）。又設β∈σV∩σ－1（0）,則存在ξ∈V使β＝σ（ξ）＝σ2（ξ）且σ（β）＝0，因而β＝σ（ξ）＝σ2（ξ）＝σ（β）＝0，所以V＝σV⊕σ－1（0）。取σV的一個基η1,…，ηn再取σ－1（0）的一個基ηr＋1,…，ηn，則η1，…，ηr，ηr＋1,…，ηn是V的一個基,且由σ（ηi）＝ηi，i＝1，2，…，r；σ（ηj）＝0，j＝r＋1，…，n。

知σ在這個基下的矩陣是對角矩陣。

例10設A，B是數(shù)域F上的n階矩陣,求證:方程組AX＝0與BX＝0同解的充分必要條件是存在 F上可逆矩陣P,使B＝PA。

證明 因P是可逆陣,充分性是顯然的。下證必要性。

令V＝Fn是數(shù)域F上的n維列向量空間。作V的線性變換 σ：X→AX與 τ：X→BX,則 σ，τ在V的基

e1＝（1 0 … 0）′

e2＝（1 0 … 0）′，…，en＝（0 0 … 1）′

下的矩陣分別為 A，B;且 σ－1（0）＝｛X∈V｜AX＝0｝，τ－1（0）＝｛X∈V｜BX＝0｝。

若方程組 AX＝0 與 BX＝0 同解,即 σ－1（0）＝τ－1（0）。由例 5,如果 r（A）＝r(這時 r（B）＝ r）,那么 dim（σ－1（0））＝n－r，dim（σ（V））＝r。取σ－1（0）的一個基αr＋1,…，αn。將它擴充為 V 的一個基:α1，…，αr，αr＋1，…，αn。由σ（αj）＝0，j＝r＋1，…，n知σ（αi），…，σ（αr）生成σ的值域σ（V）,但dim（σ（V））＝r,因此σ（α1），…，σ（αr）作成σ（V）的一個基。同理τ（α1），…，τ（αr）作成τ（V）的一個基?，F(xiàn)將σ（α1），…，σ（αr）擴充為V的基σ（α1），…，σ（αr），fr＋1，…，fn。再將τ（α1），…，τ（αr）擴充為V的基τ（α1），…，τ（αr），gr＋1，…，gn。作V的線性變換φ,使

φ（σ（αi））＝τ（αi），i＝1，…，r；

φ（fj）＝gj，j＝r＋1，…，n

則φ是V的可逆變換,且φσ（αi）＝τ（αi），i＝1，…，r;φσ（αj）＝0＝τ（αj）,j＝r＋1，…，n所以φσ＝τ。令φ在V的基e1，e2，…，en下的矩陣為P,則P是F上可逆矩陣且PA＝B。

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