三維拋物型方程的緊交替方向差分格式

陳貞忠 ,馬小霞

(1.新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南新鄉(xiāng) 453000;2.焦作大學(xué)基礎(chǔ)部,河南焦作 454003)

0 前言

近期出現(xiàn)了許多求解拋物型偏微分方程的差分格式[1-8],但交替方向法仍然是求解二維和三維拋物型方程比較理想的數(shù)值方法。該法的最早提出者是Peaceman和Rachford,他們提出了二維問題的PR格式[9],此后,又產(chǎn)生了適用于二維和三維問題的 Douglas格式[10],所有這些格式的精度都較低,截?cái)嗾`差僅為O(τ2+h2)。

本文對(duì)三維常系數(shù)非齊次拋物型方程的初邊值問題

導(dǎo)出了一個(gè)高精度恒穩(wěn)定的緊交替方向差分格式,截?cái)嗾`差階達(dá)到O(τ2+h4)。然后,使用外推算法得到了O(τ3+h6)階精度的近似解,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析完全相符。

1 差分格式的建立與截?cái)嗾`差

將求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分。設(shè)τ=△t為時(shí)間步長;h=△x=△y=△z為空間方向步長;為在節(jié)點(diǎn)(jh,kh,lh,nτ)處的網(wǎng)函數(shù)值,方程(1)的解函數(shù)為u(x,y,z,t)。

記u(jh,kh,lh,nτ)=u(j,k,l,n),由Taylor展開可得:

由式(4)和式(5)得(1-▽t)-1=exp(τ),從而 τ=-ln(1-▽t),即:

在(j,k,l,n+1)處考慮方程(1)有:

構(gòu)造如下4個(gè)差分算子:

取η0=,則有:

故當(dāng)η0=時(shí),式(9)成立。取η1=,則有:

同理取η2=η3=2 ,則有:

式(16)左端可以化為:

式(16)右端可以化為:

由于:

則式(16)可化為:

可得方程(1)的差分格式:

可知格式的截?cái)嗾`差為ο(τ2+h4)。

2 緊交替方向算法

式(19)可分解為:

觀察交替方向算法(20)在每個(gè)時(shí)間層上只需用追趕法解 3個(gè)三對(duì)角的方程組,因此計(jì)算量較小。

3 差分格式的穩(wěn)定性與收斂性

利用Fourier穩(wěn)定性分析方法,令:

將上式代入格式(20)的誤差方程,即式(20)的齊次形式中,經(jīng)計(jì)算整理,并利用關(guān)系式

根據(jù)s1的取值范圍可知:

定理 緊差分格式(20)絕對(duì)穩(wěn)定且以ο(τ2+h4)的收斂階收斂。

4 外推算法

為了提高格式(20)的數(shù)值解的精度,使用Richardson外推法,根據(jù)前邊的論述知:

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在區(qū)域D:{0≤x,y,z≤1,t≥0}上對(duì)初邊值問題:

用本文格式(20)和三維問題的Douglas格式[11]求數(shù)值解,并與精確解u(x,y,z,t)=e-4tsin(x+y+z)相比較,取h=1/10;τ=rh2=r/100;r=1/2,1,計(jì)算到n=200時(shí)的結(jié)果見表1。

表1 各種算法計(jì)算結(jié)果與精確解數(shù)值比較表

由表1可以看出:本文格式(20)解與精確解均有較好的吻合,它較文獻(xiàn)[11]中的Douglas格式至少精確 2位有效數(shù)字,本文格式(20)外推一次所得數(shù)值結(jié)果與精確解至少有 9位有效數(shù)字吻合,這與理論分析一致。

[1] 曾文平.多維拋物型方程的分支絕對(duì)穩(wěn)定的顯格式[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,19(2):112-121.

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[10] Douglas JJ.Alternating Direction Methods for Three Space Variables[J].Numer Math,1961(4):41-63.

[11] 胡健偉,湯懷民.微分方程數(shù)值解[M].北京:科學(xué)出版社,1999:229-240.