半連續(xù)函數(shù)的預(yù)不變凸性

王海英,武慧虹

(安順學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,貴州安順 561000)

0 前言

凸性理論(包括凸集理論和凸函數(shù)理論)在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、對策論、工程、管理科學(xué)和最優(yōu)化理論中起著非常重要的作用,這主要是因?yàn)橥购瘮?shù)在凸集上的局部極值也一定是其全局極值。事實(shí)上,具有凸性的函數(shù)相對來說是很少的。因此,人們一直在研究凸函數(shù)的各種推廣形式即廣義凸函數(shù),使其既能保持凸函數(shù)的一些良好性質(zhì)又具有比凸性更弱的條件。20世紀(jì) 80年代以來,國內(nèi)外學(xué)者對廣義凸函數(shù)的研究興趣與日俱增,他們多方位、多角度、多途徑地對廣義凸函數(shù)的條件、結(jié)論進(jìn)行廣泛地拓展,取得了一系列研究成果[1-9]。1988年,文獻(xiàn)[1-2]引入了不變凸集和預(yù)不變凸函數(shù)的定義,研究了它的性質(zhì)及其在優(yōu)化理論中的應(yīng)用。2001年,文獻(xiàn)[3]得到了預(yù)不變凸函數(shù)的若干性質(zhì)。文獻(xiàn)[4]根據(jù)條件 C得到了條件C′,并且討論了條件C與條件C′的關(guān)系。

本文在此基礎(chǔ)上對預(yù)不變凸函數(shù)作了進(jìn)一步研究,在排除文獻(xiàn)[3]中 X是開集及集合 A={λ∈[0, 1]:f(y+λη(x,y))≤λf(x)+(1-λ)f(y),?x,y∈X}在[0,1]中的稠密性條件下,而得到了相同的結(jié)論,從而簡化了一些預(yù)不變凸函數(shù)性質(zhì)定理的證明。

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)X?Rn,如果存在一個(gè)向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn,使得?x,y∈Rn;?λ∈[0,1]有y+λη(x,y)∈X,則稱集合X關(guān)于η是不變凸集。

定義2 設(shè)X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,實(shí)值函數(shù)f:X→R,若?x,y∈Rn;?λ∈[0,1]有f(y+λη(x,y))≤λf(x)+(1-λ)f(y),則稱f關(guān)于相同的η是預(yù)不變凸函數(shù)。

定義3 設(shè)X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,實(shí)值函數(shù)f:X→R,若?x,y∈Rn,?λ∈[0,1],當(dāng)x≠y時(shí),有f(y+λη(x,y))＜λf(x)+(1-λ)f(y),則稱f關(guān)于相同的η是嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù)。

條件C:稱向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn滿足條件C,如果?x,y∈Rn;?λ∈[0,1]有:

條件C′:稱向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn滿足條件C′,如果?x,y∈Rn;?λ1,λ2∈[0,1]有:

條件D:設(shè)X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,稱實(shí)值函數(shù)f:X→R滿足條件D,若?x,y∈X,有f(y+η(x,y))≤f(x)。

條件H:如果λn∈[0,1],且λn→λ,則對 ?ε＞0,?正整數(shù)N,當(dāng)n＞N時(shí),對?x,y∈X都有f(y+η(x,y))≤f(y+λnη(x,y))+ε。

由文獻(xiàn)[5]可知:f是關(guān)于η的預(yù)不變凸函數(shù)。

引理1 設(shè)X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,η滿足條件C,則η滿足條件C′。

引理2 設(shè)X?Rn是緊集,實(shí)值函數(shù)f:X→R上半連續(xù),則f在X上取得最大值。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,實(shí)值函數(shù)f:X→R,若f上半連續(xù)且滿足條件D,η滿足條件C′,則f關(guān)于相同的η是預(yù)不變凸函數(shù)??α∈(0,1)對?x,y∈X,有f(y +αη(x,y))≤αf(x)+(1-α)f(y)。

證明 必要性顯然。下證充分性。

令:

因f上半連續(xù),則g(λ)在[0,1]上也上半連續(xù),從而由引理 2知:g(λ)在[0,1]上存在最大值 M0。

令:

易知g(0)=0,由f滿足條件D可知:g(1)=f(y+η(x,y))-f(x)≤0,因而λ0∈[0,1]。

選取δ,使得

令:

則由η滿足條件C′得:

從而由題設(shè)條件有:

矛盾,故假設(shè)不成立,即 f關(guān)于相同的 η是預(yù)不變凸函數(shù)。

定理2 設(shè)X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,實(shí)值函數(shù)f:X→R,若f下半連續(xù),則f關(guān)于相同的η是預(yù)不變凸函數(shù)??α∈(0,1)對?x,y∈X,有f(y+αη(x,y))≤αf(x)+(1-α)f(y)。

證明 必要性顯然。下證充分性。令:

如果λn∈A,且λn→λ,則由A的定義,對?x,y∈X,有:

又f下半連續(xù),則f滿足條件H,則對?ε＞0,?正整數(shù)N,當(dāng)n＞N時(shí),對?x,y∈X都有:

由式(1)、式(2)可得:

由λn→λ和ε的任意性,有:

從而f關(guān)于相同的 η是預(yù)不變凸函數(shù)。

3 預(yù)不變凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中的應(yīng)用

設(shè)對于x∈X的求f(x)的最小值的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題為(P):

定理3 設(shè)X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,實(shí)值函數(shù)f:X→R關(guān)于相同的η是嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù),如果是關(guān)于規(guī)劃問題(P)的局部最優(yōu)點(diǎn),則一定是關(guān)于規(guī)劃問題(P)的全局唯一的最優(yōu)點(diǎn)。

假設(shè)x不 是規(guī)劃問題(P)的全局最優(yōu)點(diǎn),則必存在∧x∈X,使得:

因?yàn)閒:X→R關(guān)于相同的η是嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù),故對于?λ∈[0,1]有:

當(dāng)λ充分小時(shí),有:

(Ⅱ)唯一性。假設(shè)x0,x1∈X為規(guī)劃問題(P)的兩相異全局最優(yōu)點(diǎn),則f(x0)=f(x1)。由于X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,則對于?λ∈[0,1]有x0+λη(x1,x0)∈X。因?yàn)閒:X→R關(guān)于相同的 η是嚴(yán)格預(yù)不變凸函數(shù),故:

這與x0是關(guān)于規(guī)劃問題(P)的全局最優(yōu)點(diǎn)矛盾,故規(guī)劃問題(P)的全局最優(yōu)點(diǎn)唯一。

綜上可知:x0是關(guān)于規(guī)劃問題(P)的全局唯一的最優(yōu)點(diǎn)。

定理4 設(shè)X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,實(shí)值函數(shù)f:X→R關(guān)于相同的η是預(yù)不變凸函數(shù),則規(guī)劃問題(P)的最優(yōu)解集是不變凸集。

證明 設(shè)x,y是規(guī)劃問題(P)的解,由于X?Rn是關(guān)于向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn的不變凸集,則對于?λ∈[0,1],有z=y+λη(x,y)∈X。因?yàn)閒:X→R關(guān)于相同的η是預(yù)不變凸函數(shù),故:

即z=y+λη(x,y)也是規(guī)劃問題(P)的最優(yōu)解,因而規(guī)劃問題(P)的最優(yōu)解集是不變凸集。

注:定理3、定理4一方面可以看作是預(yù)不變凸函數(shù)的兩個(gè)很好的性質(zhì),同時(shí)也表明預(yù)不變凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著非常重要的意義和地位。

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