基于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)改進的加權(quán)TOPSIS法及其應(yīng)用

王硯羽，張 卓，王正新

(南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，江蘇 南京 210016)

一、引 言

TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Solution)翻譯為逼近理想解的排序方法，是一種常用的有限方案多屬性決策分析法。基本原理為：通過構(gòu)造多目標(biāo)決策問題的“理想解”和“負理想解”對各可行方案進行排序，以確定其優(yōu)劣。因此TOPSIS法又稱雙基點法，該方法具有計算簡便、評估結(jié)果合理、便于理解、應(yīng)用較為靈活的特點，目前已廣泛應(yīng)用于社會經(jīng)濟和工程技術(shù)等領(lǐng)域［1-2］。

然而Topsis理論本身的不足之處不容忽視：經(jīng)典TOPSIS方法采用歐式距離公式計算備選方案與理想解屬性之間的差異，使得屬性與其效用之間呈現(xiàn)線性的變化關(guān)系。這種距離測度方法所得到的是一個剛性的解，現(xiàn)實中方案屬性值的效用及其邊界效用并不總是線性變化的。因此，經(jīng)典TOPSIS方法往往并不能給出滿意的解釋；另外傳統(tǒng)的TOPSIS方法不強調(diào)各決策指標(biāo)的偏好程度，因此在實際應(yīng)用該方法時權(quán)重或者事先給出，或者經(jīng)過各種決策矩陣計算，不同的賦權(quán)方法對評價結(jié)果的影響較大。

已有的研究中，對傳統(tǒng)TOPSIS方法的改進主要針對方法體系本身和賦權(quán)方法兩個方面展開。目前解決TOPSIS方法本身問題的主要思路有：(1)替換歐式距離，如文獻［3］將理想解點與負理想解點視為確定不確定系統(tǒng)中相互對立的集合，在考察目標(biāo)方案與理想解點或負理想解點的聯(lián)系度時，引入了聯(lián)系向量距離。但是這種方法當(dāng)負理想點中出現(xiàn)為零的指標(biāo)值時按照非負有理數(shù)的同一度將造成嚴重的信息丟失，此時需要重新定義，這反映出集對分析法的局限性。類似關(guān)于替換歐式距離的還有文獻［4-5］，分別從矩陣范數(shù)和立體幾何垂面距離的角度進行創(chuàng)新性的研究。(2)排序方法上改用偏序，如文獻［6］提出在解決某些實際問題時應(yīng)放棄全序而采用偏序能更合理地反映出方案的優(yōu)劣性。但這種方法往往導(dǎo)致無評價結(jié)果的情況。(3)定義新的貼近度，如文獻［7-8］將貼近度定義為目標(biāo)方案與理想解點和負理想解點的夾角余弦，從而尋找出新的評價依據(jù)；對權(quán)重確定方法的探討方面：有關(guān)權(quán)重確定方法的文獻很多，賦權(quán)方法大多注重科學(xué)性、系統(tǒng)性和集成性。如文獻［9］根據(jù)決策單元（DMU）模糊偏好來分別獲取TOPSIS方法下基于理想點和負理想點的偏好權(quán)重，構(gòu)造最優(yōu)化模型，使得現(xiàn)實偏好與名義模糊偏好pik方差最小，通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，解得權(quán)重。文獻［10］又對這一權(quán)重確定方法進行了改進，將權(quán)重確定為然而從研究的趨勢來看，對于權(quán)重計算的探討越來越依賴于數(shù)據(jù)的獲取和方法的集成，可操作性和簡化性受到了忽視。

鄧聚龍教授提出的灰色關(guān)聯(lián)分析［11］是衡量曲線形狀相似性的一種柔性測度方法，這種方法計算量小，不需要典型的分布規(guī)律［12］，可以較好地反應(yīng)序列之間的非線性關(guān)系，這恰好可以彌補TOPSIS法剛性解的不足。因而，將灰色關(guān)聯(lián)分析引進，能夠達到剛?cè)嵯酀男Ч?。綜上所述，本文利用灰色關(guān)聯(lián)分析和TOPSIS這兩種方法各自的優(yōu)勢，著眼于替換歐式距離的思路，將灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)引入TOPSIS法中，同時提出一種可操作性強并簡單易行的賦權(quán)方法——Group-AHP法，適用于根據(jù)大范圍問卷調(diào)查的結(jié)果進行賦權(quán)的情況。最后，將該方法運用到我國9大航空客運公司服務(wù)質(zhì)量的評價中。

二、經(jīng)典TOPSIS方法和灰色關(guān)聯(lián)分析方法

(一)經(jīng)典TOPSIS方法

定義 1： 設(shè)有 m 個 方 案 A1,A2,???,Am,n個指 標(biāo)C1,C2,???,Cn； xij為方案 Ai在指標(biāo) Cj下的指標(biāo)值（i=1,2,???,m;j=1,2,???,n）； ωj為指標(biāo) Cj的權(quán)重，其中 ωj∈[0,1] 且；目標(biāo)決策問題初始矩陣為X=(xij)m×n。

在目標(biāo)決策中，不同量綱的指標(biāo)直接比較是沒有意義的，因此根據(jù)指標(biāo)的性質(zhì)［13］（效益型，成本型，中間型）選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽Τ跏季仃囘M行標(biāo)準化Z=(zij)m×n。計算加權(quán)矩陣： R=(rij)m×n，其中rij=ωjzij,i=1,2,???,m;j=1,2,???,n。之后確定理想解點S+與負理想解點S-：

對于效益型指標(biāo)：

對于成本型指標(biāo)：

計算各方案到正負理想解的歐式距離。方案Ai到理想解和負理想解的距離分別為：

各方案的相對貼近度為：

ci越小，方案越接近理想點。

(二)灰色關(guān)聯(lián)分析方法

灰色關(guān)聯(lián)分析法（GRA）是灰色系統(tǒng)理論的重要分支，是對系統(tǒng)發(fā)展變化事態(tài)的定量描述和比較的方法［14-15］。它的基本思想是通過確定參考數(shù)列和若干比較數(shù)列集合曲線的接近程度來判斷其聯(lián)系是否緊密，并用灰色關(guān)聯(lián)度來反映曲線間的這種相關(guān)程度，大者則關(guān)聯(lián)程度大。

定義2：設(shè)系統(tǒng)行為序列

對于ρ∈(0,1)，令

則ζ(X0,Xi)滿足灰色關(guān)聯(lián)四公理。ζ(X0,Xi)稱為X0與Xi的灰色關(guān)聯(lián)度，ζ（x0(k),xi(k)）稱為灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，其中ρ稱為分辨系數(shù)。

三、基于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)改進的加權(quán)TOPSIS方法

灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)改進的加權(quán)TOPSIS方法首先對規(guī)范化的決策矩陣進行加權(quán)，計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，之后求解理想解和負理想解，將貼近度作為評價的依據(jù)。具體計算步驟如下：

(1)確定比較數(shù)列（評價對象）和參考數(shù)列（評價標(biāo)準）。設(shè)評價對象為m個，評價指標(biāo)為n個，則比較數(shù)列為：xi={xik|i=1,2,…,m,k=1,2,…,n}，用矩陣表示為：

其中，xik為第i個評價對象第k個指標(biāo)的評價值。

(2)指標(biāo)值的規(guī)范化處理。為了消除不同指標(biāo)不同量綱的影響，方便各指標(biāo)之間的比較，需要針對不同類型的指標(biāo)采取不同的規(guī)范化方法，將其規(guī)范化為隸屬于區(qū)間[0,1]區(qū)間上的數(shù)。具體做法是：

對于效益型指標(biāo)，可采用如下公式：

對于成本型指標(biāo)，可采用如下公式：

(3)運用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ嬎銢Q策指標(biāo)的權(quán)重ωi。對y按公式zik=ωiyik加權(quán)，得到如下矩陣：

取每個指標(biāo)的最理想值為參考數(shù)列z0的實體，則有參考數(shù)列z0={z0k|i=1,2,…,n}，即z0=(z01,z02,…,z0n)。

(4)計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù) ζi(k)。利用公式 （4），設(shè)Δi(k)= |z0k-zik|，則

其中，Δi(k)表示z0與zi在第k項指標(biāo)處的絕對差，ζi(k)為關(guān)聯(lián)系數(shù)；ρ為分辨系數(shù)。ρ在公式中非常重要，它不僅僅可以調(diào)節(jié)ζ的大小，而且還可以控制關(guān)聯(lián)系數(shù)的變化區(qū)間。通常ρ的取值范圍在[0,1]區(qū)間，根據(jù)經(jīng)驗，在此ρ取0.5。關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣形式表示為：

(5)以灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣ζ為新的決策矩陣構(gòu)造理想解模型，確定正理想方案和負理想方案：

正理想方案：

負理想方案：

(6)計算第i個項目到正理想方案和負理想方案的距離，利用公式（1）計算到正理想方案的距離：

利用公式（2）計算到負理想方案的距離：

(7)利用公式（3）計算各項目的相對貼近度，之后進行優(yōu)劣的判斷。相對貼近度越小的指標(biāo)越優(yōu)。

四、權(quán)重的確定：群組——層次分析法

在求得矩陣（10）的過程中權(quán)重的確定是影響評價結(jié)果的另一個重要因素。通常有三種賦權(quán)法：主觀賦權(quán)（如層次分析法）、客觀賦權(quán)（如熵權(quán)）、組合賦權(quán)（主客觀方法加權(quán)）。其中層次分析法是一種定性定量相結(jié)合的方法，在實踐中廣為應(yīng)用。但是在判斷矩陣獲取的過程中容易出現(xiàn)如下問題：①由于判斷矩陣的建立是基于人的思維的邏輯推理，因而在實際應(yīng)用中容易受被調(diào)查者主觀原因的影響，造成判斷矩陣不一致，從而產(chǎn)生信息浪費；②對于收集到的判斷矩陣代表了不同的專家意見，判斷矩陣中的數(shù)值是相對數(shù)，而如何將不同的意見（即相對數(shù)）匯總為一個綜合的判斷矩陣，對于層次分析法來說也是一個難題。

群組決策特征根方法對被調(diào)查者的要求較低，能夠解決Satty判斷矩陣在實踐中的問題：各專家只需按習(xí)慣方式打分就可得到群體對目標(biāo)的最優(yōu)排序結(jié)果；它是一種綜合專家意見法，能夠利用所有的已知信息，避免信息的浪費，但是不可避免也會出現(xiàn)不一致的問題。將群組決策方法與層次分析法相結(jié)合，對所得權(quán)重進行一致性的檢驗，得到群組——層次分析法（G—AHP），具體實現(xiàn)步驟如下：

(1)建立原始矩陣。由S1,S2,S3,???,Sm組成的m個專家群組決策系統(tǒng)G，評價n個對象B1,B2,???,Bn，其中第i個專家Si對第 j個被評目標(biāo)B的評分值記為aij∈[I,J](i=1,2,???,m;j=i=1,2,???,n)。 aij的值越大，目標(biāo)Bj越重要。Si及其群G的評分組成n維列向量ai和m×n階矩陣A。

引理［16］1式中 λmax為矩陣F=ATA的最大特征根。

引理［16］2設(shè) A是m×n階矩陣， B是n×m階矩陣，則AB與BA有相同的(包括重數(shù))非零特征值。

(2)計算F=ATA。

(3)計算F的最大特征值λmax，可通過matlab等軟件直接算得。

(4)計算F的最大特征值所對應(yīng)的特征向量并進行單位化，記為B，B即為各因素之間的相對重要性權(quán)重。

五、我國航空客運服務(wù)質(zhì)量評價實證研究

航空客運是我國基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)中最引人關(guān)注的部分之一。一方面隨著航空公司激烈的價格戰(zhàn)使得航空客運從奢侈品逐漸平民化；另一方面航空客運業(yè)具有極大的復(fù)雜性，利潤鏈條涉及多個行業(yè)多個環(huán)節(jié)。我國的航空客運業(yè)目前存在服務(wù)項目雷同，帶有被動性、盲目性或功利性，產(chǎn)品缺乏活力和合力，缺乏核心競爭力的問題［17］。當(dāng)前我國乃至世界航空客運業(yè)面臨的最大壓力是盈利不足，這與內(nèi)部員工優(yōu)越感強，服務(wù)意識和危機意識淡薄形成鮮明的對比。

民航客運是一種典型的服務(wù)產(chǎn)品，核心產(chǎn)品是時、空、位移。乘客是利潤價值鏈的核心環(huán)節(jié)，乘客所感知的服務(wù)質(zhì)量是核心競爭力的體現(xiàn)。貝里用一句非常簡潔的話給服務(wù)下了定義，認為服務(wù)是“一個行動，一次表演”和“一項努力”［18］。向服務(wù)要利潤已經(jīng)成為目前航空業(yè)發(fā)展的目標(biāo)，尤其是在當(dāng)前航空服務(wù)管理網(wǎng)絡(luò)化和乘客需求多樣化的市場趨勢下，航空企業(yè)競爭的根本是乘客滿意，只有乘客滿意才能創(chuàng)造出源源不斷的現(xiàn)實和潛在利潤，才能使企業(yè)價值最大化。

Parasuraman,Zeithaml and Berry（1988）對其在1985年提出的服務(wù)質(zhì)量評價工具SEVRQUAL中的十大評定因素作了修正，指出對服務(wù)質(zhì)量的評價可以從五個角度或標(biāo)準進行。即：可靠性、有形程度、回應(yīng)性、保證性和移情性，簡化了服務(wù)質(zhì)量的評價標(biāo)準與方法［19］。

Christopher H·Lovelock（2001）從顧客與服務(wù)企業(yè)之間相互作用的性質(zhì)和服務(wù)網(wǎng)點的數(shù)量兩個維度把服務(wù)劃分為六種類型［20］。航空公司的服務(wù)屬于多網(wǎng)點，由顧客到企業(yè)接受

從旅客創(chuàng)造價值角度出發(fā)，航空客運服務(wù)價值鏈如圖1［22］。服務(wù)的類型。

圖1 航空客運服務(wù)價值鏈

航空公司服務(wù)質(zhì)量是航空公司通過與民航其他單位協(xié)作而提供服務(wù)的使用價值是否滿足旅客安全、準時、方便、舒適地從始發(fā)地到目的地的旅行需要的程度［21］。對航空企業(yè)服務(wù)質(zhì)量的準確測度有利于提高乘客滿意度、忠誠度，對于提高企業(yè)核心競爭力具有重要的現(xiàn)實意義和理論意義。

此價值鏈從旅客開始接受航空客運服務(wù)的訂票服務(wù)開始一直到一次航行的結(jié)束，并延伸到后續(xù)的服務(wù)，較為全面地對航空客運服務(wù)的各個環(huán)節(jié)進行了分解。限于篇幅的限制，本文將空中服務(wù)這一環(huán)節(jié)作為算例，實踐基于灰色關(guān)聯(lián)改進的加權(quán)Topsis方法。價值鏈的其他環(huán)節(jié)的計算過程同理，最終形成對航空公司服務(wù)質(zhì)量完整的測度體系。

根據(jù)上文提到的服務(wù)業(yè)的特點，參考相關(guān)文獻，將航空公司客運服務(wù)按照可靠性、有形程度、回應(yīng)性、保證性和移情性，細化為乘務(wù)員的精神面貌等14個維度，以海航、南航、東航、國航、上航、深航、廈航、川航和山航九家航空公司的網(wǎng)上調(diào)查數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，調(diào)查結(jié)果見表1。

表1 航空公司服務(wù)質(zhì)量網(wǎng)上評價匯總

(一)權(quán)重的確定

利用上述計算權(quán)重的方法，首先組織專家調(diào)研，針對上述14個服務(wù)質(zhì)量評價指標(biāo)，對九家航空公司高管及高校相關(guān)研究專家進行問卷調(diào)查，以服務(wù)質(zhì)量中的第一項“乘務(wù)員的精神面貌”為例，設(shè)計五個等級，“很不合理、不合理、合理、很合理、非常合理”五個等級分別對應(yīng)1、2、3、4、5分。綜合14項指標(biāo)得分，得到F=ATA。之后應(yīng)用matlab軟件直接計算F的最大特征值λmax，以及其所對應(yīng)的特征向量并進行單位化，得到相對重要性權(quán)重。再對所得結(jié)果進行一致性檢驗，最后得到我國航空客運服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)的權(quán)重為：

(二)計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)

由于資料數(shù)據(jù)都是同一標(biāo)準的，因此不需要再進行標(biāo)準化，加權(quán)之后如下：

尋找參考數(shù)列：

由于對服務(wù)質(zhì)量的打分越高越好，因此所選的參考數(shù)列為 每 一 項 的 最 大 值 ， 之 后 通 過 Δi(k)=|z0k-zik|，計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，得到灰色關(guān)聯(lián)矩陣，結(jié)果見表2。

表2 灰色關(guān)聯(lián)矩陣

(三)Topsis法進行最終測度

首先挑選出正理想解和負理想解，計算到正理想解的距離：

到負理想解的距離：

得到我國航空客運服務(wù)質(zhì)量的綜合排序，按服務(wù)質(zhì)量由好到差的順序為：海航、國航、東航、南航、山航、上航、廈航、深航、川航。用經(jīng)典TOPSIS方法對我國航空公司客運服務(wù)質(zhì)量的評價結(jié)果與本文所建立的方法結(jié)果對比如表3。

表3 兩種方法評價結(jié)果對比

本文所建立的方法測度結(jié)果同國際航空運輸服務(wù)質(zhì)量評級權(quán)威機構(gòu)SKYTRAX對世界航空公司的服務(wù)質(zhì)量的星級排名結(jié)果完全吻合。2009年，該機構(gòu)通過大規(guī)模顧客與專家評價的方法對于上述航空公司的星級評價是：海航和國航服務(wù)質(zhì)量為四星級，東航、南航、山航、上航、廈航、深航和川航服務(wù)質(zhì)量為三星級。從結(jié)果來看，基于灰色關(guān)聯(lián)改進的加權(quán)TOPSIS方法的測度結(jié)果更加準確，從方法來看，本文所建立的測度方法則更加明確地揭示了乘客對于航空公司服務(wù)質(zhì)量的偏好，以及航空公司服務(wù)質(zhì)量結(jié)果的成因。這對于航空公司提高服務(wù)質(zhì)量具有更加明確的指導(dǎo)意義。

首先，改進的方法為權(quán)重設(shè)置提供了切實可行的方案，致使評價的結(jié)果與簡單平均方法不同，關(guān)鍵指標(biāo)如安全性、正點情況、乘務(wù)員的精神面貌、飛機起降的感受等對于航空公司服務(wù)質(zhì)量的總體評價具有更重要的影響。例如海航、東航、南航在這些關(guān)鍵指標(biāo)中都具有相對的優(yōu)勢，因此奠定了其服務(wù)質(zhì)量排名的基礎(chǔ)。

第二，改進的方法具有TOPSIS法和灰色關(guān)聯(lián)分析法的優(yōu)點，又彌補了各自的不足，即既具有剛性的特征，又反映了柔性的需求，評價中體現(xiàn)為對指標(biāo)平穩(wěn)性的要求。乘客對航空公司服務(wù)質(zhì)量的感知往往是綜合性的，各項指標(biāo)的平穩(wěn)性在最終評價中起到重要作用。例如川航和深航，各項指標(biāo)得分的波動性較大，盡管兩者的平均得分并不低，但在綜合比較中卻失去了優(yōu)勢，其原因就是出現(xiàn)了個別指標(biāo)嚴重低于其平均值的情況。而排名較前的幾家航空公司得分相對平穩(wěn)或略高于平均分，這一點對于其最終排名起到了重要的作用。這對于航空公司的啟示是，一項令顧客感到不滿意的服務(wù)對企業(yè)的損失是巨大的。

六、結(jié)束語

現(xiàn)有的評價方法中傳統(tǒng)TOPSIS法只計算相對距離而忽視曲線趨勢，而傳統(tǒng)灰色關(guān)聯(lián)法只關(guān)注曲線形狀而忽視數(shù)據(jù)序列之間的相對關(guān)系。本文提出的基于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)改進的加權(quán)TOPSIS法針對以上兩種方法的各自的特點，優(yōu)勢互補，通過計算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的相對貼近度對方案進行綜合的評價研究。在評價過程中，提出了采用Group-AHP方法增加權(quán)重確定的可實施性，簡化了權(quán)重確定在實際操作中的難度。

本文對具體案例的研究表明基于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)改進的加權(quán)TOPSIS法與經(jīng)典TOPSIS方法相比對于評價我國航空客運服務(wù)質(zhì)量管理具有更好的適用性，評價的結(jié)果與實際情況基本吻合，該方法考慮了各項指標(biāo)的不同權(quán)重，同時以指標(biāo)得分的穩(wěn)定性作為衡量服務(wù)質(zhì)量的重要因素，符合服務(wù)業(yè)注重顧客感知質(zhì)量及顧客滿意度的特點。同時該方法為航空公司提高客運服務(wù)質(zhì)量和乘客滿意度提供了定量的依據(jù)。

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