Matlab在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用初探

周小奮

（鎮(zhèn)江市第四中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212000）

目前，在中學(xué)物理教學(xué)與研究中常用到Powerpoint，Excel，幾何畫板等輔助教學(xué)軟件．這些軟件在教學(xué)中體現(xiàn)出直觀性、趣味性、大容量的優(yōu)點；其中的Excel軟件處理數(shù)據(jù)更具有快捷、簡易的優(yōu)點．但對于精度要求較高的作圖或是比較復(fù)雜的數(shù)據(jù)計算，上述軟件就不能滿足需要了．

Matlab是美國Mathworks公司開發(fā)的計算及分析軟件．這個軟件具有如下特點：（1）作圖功能強(qiáng)大，能夠準(zhǔn)確而科學(xué)地反應(yīng)物理問題的本質(zhì)．（2）運算功能強(qiáng)大，語句簡潔清晰．目前這個軟件在中學(xué)物理教學(xué)和研究中應(yīng)用較少，本文通過實例介紹矩陣實驗室（Matlab）在作圖和求解極值問題中的應(yīng)用．

1 利用Matlab畫出共線點電荷系統(tǒng)的電場線分布

【例1】如圖1所示為三個點電荷所構(gòu)成的系統(tǒng)，其中一個點電荷－2q位于坐標(biāo)原點，一個－q位于（0，a）點，一個＋3q位于（0，－a）點，畫出x Oy平面內(nèi)的電場線．

圖1

解析：在x Oy平面內(nèi)，電場強(qiáng)度應(yīng)滿足

解得

在上式中，常量C取不同數(shù)值時將得到不同的電場線方程．如果用常規(guī)方法解出y＝f（x）的表達(dá)式再去作圖難度很大．用Matlab語言即能輕松地做到這一點．依據(jù)上述表達(dá)式，編制的Matlab程序如下：

clc；clear； %清除內(nèi)存

syms x y ； % 定義符號變量x y

for C＝0：0．2：5； % 常數(shù)c取0，0．2，0．4，

0．6，…，5．0

h＝ezplot（3＊（y＋1）／sqrt（（y＋1）?2＋2）－2＊y／sqrt（2＋2）－（y－1）／sqrt（（y－1）?2＋2）－C，［－2，2，0．1］）； % 在規(guī)定的區(qū)間上畫出滿足方程的函數(shù)圖像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，1）%設(shè)置電場線的寬度為1，顏色為紅色

title（′＼fontname｛宋體 ｝＼fontsize｛11｝三個共線電荷周圍的電場線分布′）；%加標(biāo)題

hold on； %保持已經(jīng)畫出的電場線

end %循環(huán)結(jié)束

grid on； %加網(wǎng)格線

運行程序，得出的電場線分布如圖2所示，由于常數(shù)C的取值對所畫出的圖像影響較大，而程序中所設(shè)定的取值點覆蓋面有限，所以在圖2中有部分區(qū)域沒有畫出電場線．

圖2 三個共線電荷周圍的電場線分布

【例2】如圖3所示為兩個點電荷所構(gòu)成的系統(tǒng)．其中一個點電荷＋q位于（0，a）點，一個＋q位于（0，－a）點．畫出x Oy平面內(nèi)的電場線．

圖3 兩個點電荷系統(tǒng)

解析：根據(jù)例1中三個電荷的電場線方程，可以得到本題中的電場線方程為

根據(jù)方程編制的Matlab程序如下：

clc；clear； %清除內(nèi)存

syms x y ； % 定義符號變量x y

for C＝－3：0．1：3； % 常數(shù)c?。?，－2．9，

－2．8，－2．7…，3．0

h＝ezplot（（y＋1）／sqrt（（y＋1）?2＋x?2）＋（y－1）／sqrt（（y－1）?2＋x?2）－C，［－2，2，0．1］）；%畫出滿足方程的函數(shù)圖像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，1）%電場線的寬度為1．

title（′＼fontname｛宋體 ｝＼fontsize｛11｝兩個正點電荷周圍的電場線分布′）；%加標(biāo)題

hold on； %保持已經(jīng)畫出的電場線end %循環(huán)結(jié)束

運行程序，得出的電場線分布如圖4所示．此時可以發(fā)現(xiàn)，有一條電場線位于兩電荷連線的垂直平分線上（對應(yīng)的C的取值為零）．這與課本上的電場線分布圖（圖5）不同，課本上沒有這一直線，這是什么原因呢？

圖4 兩個正點電荷周圍的電場線分布

在兩個等量正點電荷連線的中點上，場強(qiáng)為零，因此在中點處不能畫出電場線．而該點的鄰域有電場存在，只是越靠近中點場強(qiáng)越弱，所以畫出的電場線將在該中點處中斷，中點可以看作是一個使電場線不連續(xù)的奇點．文獻(xiàn)［1］建議，最好不要沿這兩個電荷的中垂線畫電場線，如果一定要畫，那這兩根電場線只能趨近于中點，而不能到達(dá)中點．因此，教材中沒有畫入這兩條惹麻煩的電場線，采用了圖5所示的畫法．

圖5 兩個正點電荷周圍的電場線分布

2 利用Matlab的作圖功能求解極值問題

【例3】如圖6所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3．0 m的墻外，從噴口算起，墻高為4．0 m．若不計空氣阻力，取g＝10 m／s2，求所需的最小初速及對應(yīng)的發(fā)射仰角．

圖6 水槍噴水高度與水平距離示意圖

解析：水流做斜上拋運動，以噴口O為原點建立如圖6所示的直角坐標(biāo)，本題的任務(wù)就是求出水流能通過點A（d，h）的最小初速度和發(fā)射仰角．根據(jù)平拋運動的規(guī)律，水流的運動方程為

把A點坐標(biāo)（d，h）代入以上兩式，消去t，得

依據(jù)上述表達(dá)式，編制的Matlab程序如下：clc；clear； % 清除內(nèi)存

syms p alpha q； %定義符號變量p alpha q q＝atan（4／3）＊180／pi； %發(fā)射仰角的最小值q p＝q：0．01：90； % 發(fā)射仰角從q開始每次增加0．01°

alpha＝p＊pi／180； %將發(fā)射仰角轉(zhuǎn)換為弧度v＝3＊（5）?0．5＊（（cos（alpha）．?2）．＊

（3＊tan（alpha）－4））．?（－1／2）；%算出每一個發(fā)射角對應(yīng)的速度

h＝plot（p，v）； % 畫出發(fā)射仰角 －速度圖像

set（h，′color′，′r′，′LineWidth′，2）%設(shè)置圖像曲線為紅色，寬度為2

xlabel（′發(fā)射仰角（°）′）； % 橫坐標(biāo)標(biāo)簽ylabel（′發(fā)射速度（m·s－1）′）； % 縱坐標(biāo)標(biāo)簽title（′＼fontname｛宋體 ｝＼fontsize｛11｝發(fā)射速度及對應(yīng)的發(fā)射仰角的關(guān)系′）；%加標(biāo)題

grid on； % 加網(wǎng)格線

圖7 發(fā)射速度與發(fā)射仰角關(guān)系

因為在Matlab的三角函數(shù)運算中，只能使用弧度，所以在上述程序中首先要將角度轉(zhuǎn)化成弧度．運行程序，得出的速度與發(fā)射仰角關(guān)系如圖7所示（橫坐標(biāo)為角度，縱坐標(biāo)為速度）．在圖像上取出的最小速度約為9．487 m／s，對應(yīng)的發(fā)射仰角約為71．6°，和理論計算的結(jié)果完全一致．

【例4】如圖8所示，水平地面上的物體m2質(zhì)量為2 kg，與水平地面右側(cè)邊緣間的距離為2 m，m2與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0．5，繩子末端懸掛著一個質(zhì)量為1 kg的物體m1，兩個物體之間通過一根繞在滑輪上的輕質(zhì)細(xì)繩相連．滑輪頂端距離地面1 m，滑輪的輪軸之間沒有摩擦．當(dāng)m2的速度最大時，m2向右移動了多遠(yuǎn)？

圖8 變力斜拉物體

圖9 解析圖

解析：這是變力斜拉物體問題．建立的坐標(biāo)系如圖9所示．圖中m1的速度等于繩子移動的速度，m1的加速度等于其中

根據(jù)牛頓第二定律可得

解得

因為

所以

將a1，a2代入（3）式得

上式是一個二階微分方程，由于Matlab只能處理一階微分方程，因此要進(jìn)行降次處理．令x（1）＝x，x（2）＝x·，則以上二階微分方程可以變?yōu)槿缦乱浑A微分方程組

根據(jù)這個方程組編制的Matlab程序如下：

clear，tt＝3； %清除內(nèi)存

qs＝inline（［′［x（2）；（x（2）?2＊

（1 － 2＊x（1））／（1 ＋ x（1）?2）＋ 9．8＊（1 －2＊x（1））＊（1 ＋ x（1）?2）?0．5 － 19．6＊（1 ＋x（1）?2））／（6＊x（1）?2－x（1）＋4）］′］，′t′，′x′）；%根據(jù)一階微分方程組定義內(nèi)聯(lián)函數(shù)和變量

［t，x］＝ode45（qs，［0，tt］，［－2，0］）；%在規(guī)定的時間和橫坐標(biāo)范圍內(nèi)積分

a＝ （x（：，2）．?2．＊（1－2＊x（：，1））．／（1＋x（：，1）．?2）＋9．8＊（1－2＊x（：，1））．＊（1＋x（：，1）．?2）．?0．5－19．6＊（1＋x（：，1）．?2））．／（6＊x（：，1）．?2－x（：，1）＋4）；

%利用已經(jīng)積分求出的橫坐標(biāo)、速度數(shù)組求出對應(yīng)的加速度數(shù)組

plot（t，x，t，a，′k．－′），

%畫出橫坐標(biāo)、速度、加速度圖像

title（′＼fontname｛宋體 ｝＼fontsize｛11｝m2的橫坐標(biāo)、速度、加速度圖像′）；% 加標(biāo)題

grid on， xlabel（′運動時間′）；

ylabel（′m 2的位置′）； % 加網(wǎng)格線，標(biāo)出坐標(biāo)標(biāo)簽

運行程序后，得到的結(jié)果如圖10所示，在這幅圖上可以顯示出物體m2的橫坐標(biāo)x，速度v，加速度a的變化規(guī)律．當(dāng)加速度a等于零時，m2的速度達(dá)到最大值，此時在圖中可以取出m2的橫坐標(biāo)x為－0．6，也就是說m2向右移動了－0．6 m－（－2）m＝1．4 m．

圖10 m2的橫坐標(biāo)、速度、加速度圖像

圖11 存儲的數(shù)組

當(dāng)然，也可以在數(shù)組編輯器中打開Matlab在運算過程中存儲的數(shù)組（圖11）第52行，也能得到當(dāng)m2的加速度接近零、速度達(dá)到最大值的橫坐標(biāo)為－0．595 45 m≈－0．6 m，答案為m2向右移動了

－0．6 m－（－2）m＝1．4 m

信息技術(shù)的發(fā)展，特別是簡單易學(xué)、功能強(qiáng)大的Matlab軟件的出現(xiàn)，使中學(xué)物理教師可以進(jìn)行類似畫電場線這樣的仿真分析或數(shù)值求解研究．如果教師應(yīng)用Matlab軟件并獲得成功時，就會建立信心，相信自己能在物理教學(xué)研究上做得更好！

1 張之翔．電磁學(xué)教學(xué)札記．北京：高等教育出版社，1988

2 李川．兩等量、同號點電荷間電力線畫法的改進(jìn)．物理教學(xué)，2005（9）

3 王沫然．MATLAB與科學(xué)計算．北京：電子工業(yè)出版社，2003