黑河日徑流量混沌變化特性的研究—Ⅲ最大李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)的確定

陳引鋒,馬長鈴

(陜西能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西 咸陽 712000)

要將混沌分析法應(yīng)用于水文系統(tǒng)中,首先需要研究水文序列是否為混沌時間序列,即判別水文系統(tǒng)的運(yùn)動形式是否為混沌運(yùn)動,進(jìn)行混沌性識別或序列性質(zhì)鑒別。水文系統(tǒng)是一個遠(yuǎn)離平衡態(tài)的復(fù)雜的開放系統(tǒng),又是一個動態(tài)的非線性系統(tǒng)[1]。一方面,它是由許多因素相互作用相互影響而演化形成的一個整體,另一方面,它又受到外界自然力的作用及不同程度的人類活動的影響,從而形成了水文系統(tǒng)復(fù)雜的演化規(guī)律。因而水文系統(tǒng)中表現(xiàn)出混沌特征是可能的,且有關(guān)文獻(xiàn)研究已經(jīng)予以證明[2][3]。

1 水文系統(tǒng)混沌特性的識別

在實(shí)際的水文數(shù)據(jù)序列中,噪聲與混沌往往并存,既有確定性成分,也有隨機(jī)性成分。對于觀測資料有噪聲且長度有限的水文資料序列,進(jìn)行混沌性的識別,基于目前的混沌理論水平,大都是從某一個方面判別水文序列是否滿足混沌序列的某些必要條件[4],只能得出可能具有混沌特征的結(jié)論,而不能給出水文序列具有混沌特征的肯定答復(fù),因此需要采用盡可能多的方法來鑒別水文序列,水文時間序列的鑒別,可以從定性、定量以及將兩者結(jié)合起來的途徑進(jìn)行,方法眾中,具體包括有李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)、測度熵、分維數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、標(biāo)度指數(shù)、功率譜指數(shù)及關(guān)聯(lián)維數(shù)法等[5][6]。

利用這些方法進(jìn)行時間序列混沌性質(zhì)的判別,實(shí)際上需要利用時間序列,重構(gòu)相空間,計(jì)算混沌量水平,也就是吸引子的不變量?；煦缋碚撜J(rèn)為,決定系統(tǒng)長期演化的任一變量的時間演化,均包含了系統(tǒng)所有變量長期演化的信息。因此,通過決定系統(tǒng)長期演化的任一單量構(gòu)成的時間序列可以研究系統(tǒng)的混沌行為。大多數(shù)水文問題都是由許多變量組成的動力系統(tǒng),選用系統(tǒng)的單個或多個重要變量構(gòu)成單維或者多維時間序列,進(jìn)行水文系統(tǒng)的重構(gòu),在相空間中刻劃 N維水文系統(tǒng)的混沌吸引子,從而揭示出傳統(tǒng)坐標(biāo)系無法揭示的水文現(xiàn)象演化規(guī)律。吸引子的不變量(吸引子分維數(shù)、Lyapunov指數(shù)、測度熵等)表征了系統(tǒng)的混沌性質(zhì),是混沌系統(tǒng)的重要特征量[7]。

在《黑河日流量混沌特性的研究—Ⅰ》中[8],通過觀察自相關(guān)函數(shù)的圖像發(fā)現(xiàn),自相關(guān)函數(shù)隨嵌入滯時迅速衰減,且?guī)в幸粋€指數(shù)尾巴,表明該系統(tǒng)是混沌運(yùn)動。在《黑河日流量混沌特性的研究—Ⅱ》中指出[9],吸引子分維數(shù)為 2.1,可以認(rèn)為,該動力系統(tǒng)具有混沌特征,本論文就是在此基礎(chǔ)上,通過確定最大李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)的值,進(jìn)一步論證黑河日流量時間序列的混沌特性。

2 最大李雅譜諾夫(Lyapunov)指數(shù)

Lyapunov指數(shù)用于量化初始相近的軌道的指數(shù)發(fā)散和估計(jì)系統(tǒng)的混沌量,從整體上反映了動力系統(tǒng)的混沌量水平,表征了系統(tǒng)的混沌性質(zhì)?；煦邕\(yùn)動的基本特點(diǎn)是運(yùn)動對于初始條件極為敏感。兩個靠的很近的軌道線,隨時間的推移按指數(shù)方式分離。Lyapunov指數(shù)就是從整體上定量描述軌道的平均分離或者收縮的快慢。n維的動力系統(tǒng)具有 n個Lyapunov指數(shù),代表了 n個方向系統(tǒng)的軌道之間的分離程度。在 Lyapunov指數(shù)小于零的方向,軌道收縮,運(yùn)動穩(wěn)定,對初始條件不敏感;在Lyapunov指數(shù)大于零的方向,軌道分離,對初始條件敏感。所有 Lyapunov指數(shù)的和大體上表征了軌道總的平均發(fā)散快慢,而最大的 Lyapunov指數(shù)決定了軌道發(fā)散,覆蓋到整個吸引子的快慢。因此最大 Lyapunov指數(shù)為正,常常被作為判斷混沌性質(zhì)的重要條件,而最大 Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)可以作為最大可預(yù)測長度的估計(jì)值[10]。

目前,計(jì)算 Lyapunov指數(shù)的方法很多,包括定義法、Wolf法、Jacobian法、P-范數(shù)法、Rosentstein小數(shù)據(jù)量法等等。其中 Wolf法對于噪聲和數(shù)據(jù)量要求較高,適用于無噪聲序列,切空間中小變量的演變高度非線性,只能較可靠地估計(jì)最大Lyapunov指數(shù)[11];Jacobian法可用于有噪聲的序列,切空間中小變量的演變接近線性。兩者對軌道分布不均勻的情況計(jì)算效果較差。而范數(shù)法避免了兩者的共同弱點(diǎn)[10],但是計(jì)算量大,Rosentstein小數(shù)據(jù)量法,具有計(jì)算量小,對小數(shù)據(jù)序列可靠,可用于有噪聲的情況等優(yōu)點(diǎn)。因此,本文選用Rosenstein小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大 Lyapunov指數(shù)。

2.1 計(jì)算原理與方法

我們認(rèn)為選擇讓相空間重構(gòu)的緊鄰的兩個點(diǎn)跨越整個軌道周期是合理的且是非常必要的,我們姑且稱這兩個點(diǎn)為“緊鄰點(diǎn)對”。最大 Lyapunov指數(shù)是大量緊鄰點(diǎn)對在軌道方向上指數(shù)發(fā)散率的平均[12]。

在大多數(shù)實(shí)際的耗散系統(tǒng)中,狀態(tài)變量不能趨于無窮,對非線性系統(tǒng)在給定狀態(tài)附近線性化,在局部得到類似最簡單的線性常微分方程

它的解可以寫為

如果 a＞0,則在初始時刻相鄰的兩條軌道,在下一時刻要按指數(shù)速率分離開。a＜0時,它們之間的距離按指數(shù)消失。a=0時,不同初值給出不同的平行線,它們之間的距離永不改變。一般說來,x是矢量,而 a是依賴于給定的線性化點(diǎn)的矩陣。這個矩陣的特征值決定相鄰兩點(diǎn)間的拉伸、壓縮或轉(zhuǎn)動,其速率可能在相空間中各點(diǎn)不同。對運(yùn)動軌道各點(diǎn)的拉伸或壓縮速率進(jìn)行長時間平均,就是刻劃這種整體效果的 Lyapunov指數(shù)。

定義[12]:對于一維動力系統(tǒng),xn+1=F(xn),初始兩點(diǎn)迭代后的分離與靠攏情況取決于導(dǎo)數(shù)︱dF/dx︳的值。若︱dF/dx︳＞1,則迭代使兩個初始點(diǎn)分離;若︱dF/dx︳＜1,則迭代使兩個初始點(diǎn)靠攏。在不斷迭代過程中,︱dF/dx︳的值也不斷改變。此改變量對迭代次數(shù)(即時間)取平均,從整體上看兩相鄰狀態(tài)的分離情況。每次迭代后所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)為 ,則原來相距為的兩點(diǎn)經(jīng)過n次迭代后相距為:

取極限得:

通過變形簡化為:

λ稱為原動力系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。

對于一般的 n維動力系統(tǒng),定義Lyapunov指數(shù)如下:設(shè)F是 Rn→Rn上的n維映射,決定一個維離散動力系統(tǒng) Xn+1=F(Xn)。設(shè)系統(tǒng)的初始條件用一個無窮小的 n維 的球表示,隨著時間的演變過程變?yōu)闄E球。將 n維橢球的 n個主軸按其長度順序排列,λ1≥λ2≥λ3≥…≥λn,那 么第 i個 Lyapunov指數(shù)根據(jù)第 i個主軸的長度 Pi(n)的增加速率定義為

n個Lyapunov指數(shù)表示了系統(tǒng)在相空間的n維方向的收縮或者擴(kuò)張的性質(zhì)。橢球的主軸長度按 ei增加,前 i個Lyapunov指數(shù)的和表示了前 i個主軸定義的 i維立體體積按指數(shù)增加的長期平均速率。最大的 Lyapunov指數(shù)決定了軌道發(fā)散覆蓋整個吸引子的快慢,最小的 Lyapunov指數(shù)決定了軌道收縮的快慢,而所有 Lyapunov指數(shù)大體上表征了軌道總的平均發(fā)散快慢[12][13]。

2.2 計(jì)算過程

Lyapunov指數(shù)的計(jì)算需要基于相空間重構(gòu)[12][13]。對于數(shù)據(jù)長度為 n的單變量時間序列 x1,x2,…,xn,在嵌入維數(shù)為 m,時間延遲為 τ的重構(gòu)相空間內(nèi),相點(diǎn) yi=(xi,xi-τ,xi-2τ,…,xi-(m-1)),選取所有的 N=n-(m-1)τ個相點(diǎn)為參考點(diǎn),以參考相點(diǎn) yi及其在相空間內(nèi)的最鄰近相點(diǎn) yir,作為相鄰軌道的起始點(diǎn),來考察相鄰軌道的指數(shù)分離情況。在時間下標(biāo)為 i的時刻,軌道的距離為初始距離(采用歐幾里德距離)。

由于混沌系統(tǒng)的軌道分離具有指數(shù)分離特點(diǎn),則

最大 Lyapunov指數(shù)可表示為

如果對 N個相點(diǎn)及其鄰近點(diǎn)經(jīng)過 s步演化后的分離距離取整體平均值

然后取其自然對數(shù),繪出的曲線圖,選取曲線圖中的線性部分進(jìn)行直線擬合,所得的斜率是全局最大 Lyapunov指數(shù)。

2.3 結(jié)果與分析

根據(jù)式(8)和式(10),采用 Matlab軟件計(jì)算最大 Lyapunov指數(shù)。

由《黑河日流量混沌變化特性的研究—Ⅰ》與《黑河日流量混沌特性的研究—Ⅱ》一文可知,時間延遲 τ=10,嵌入相空間維數(shù)m=9。為了考察計(jì)算方法對于嵌入維數(shù)和時間延遲的依賴性[14],分別對 τ=10,m=8,9,…,13和 m=9,τ=7,8,…,15的情況進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果 lnδS～S曲線見圖 1和圖 2所示。

圖1 R法計(jì)算最大 Lyapunov指數(shù)(τ=10)

由圖 1可以看出,當(dāng) m逐漸增大時,每個 m值的曲線上都出現(xiàn)了多個波峰跳躍,但是其跳躍階段的頂點(diǎn)明顯位于同一直線上,具有線性規(guī)律。對于 m=10,11,12,13時曲線的波峰包絡(luò)線,作直線擬和,斜率明顯是大于零的,并隨著 m的增大,斜率在減少。根據(jù)前述計(jì)算結(jié)果,取 m=9,τ=10,對應(yīng)圖中第三條曲線,為了進(jìn)一步計(jì)算方便期間,將圖 2的局部部分進(jìn)行放大如圖 3所示。

圖2 R法對時間延遲的依賴圖 (m=9)

圖3 計(jì)算 Lyapunov指數(shù)局部放大圖

其擬合直線斜率即最大Lyapunov指數(shù),結(jié)果為0.002 012。在此需要說明的是,圖 2與圖 3在計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)實(shí)質(zhì)上是一致的(此處計(jì)算選圖 2)[7]。

3 結(jié)語

(1)混沌序列預(yù)測方法,是根據(jù)日流量數(shù)據(jù)序列本身的客觀規(guī)律(如 Lyapunov指數(shù))來進(jìn)行預(yù)測,避免了人為的主觀性,從而可以提高精度和可信度。

(2)由 Rosenstein小數(shù)據(jù)量法計(jì)算得出其最大李雅普諾夫指數(shù)為 0.002 012,大于零,可以認(rèn)為黑河日徑流量時間序列具有混沌特性。可以判定,黑河日徑流量數(shù)據(jù)序列是由非線性的確定性系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列。

[1]馮國章,李佩成.論水文系統(tǒng)混沌特征的研究方向[J].西北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1997,8.

[2]博軍,丁晶,鄧育仁.洪水混沌特性初步研究[J].水科學(xué)進(jìn)展,1996,9.[3]丁晶,鄧育仁,博軍.洪水變化的混沌特性和相空間預(yù)測[J].水電站設(shè)計(jì),1996,12.

[4]溫權(quán),張勇傳,程時杰.辨別混沌時間序列中的確定性[J].水電能源科學(xué),2001,9.

[5]趙永龍,丁晶.混沌分析在水文預(yù)測中的應(yīng)用和展望[J].水科學(xué)進(jìn)展,1998,6.

[6]黃國如,芮孝芳.流域降雨徑流時間序列的混沌識別及其預(yù)測研究進(jìn)展[J].水科學(xué)進(jìn)展,2004,15(2)652-658.

[7]陳引鋒.混沌時間序列在水文預(yù)報(bào)中的應(yīng)用.長安大學(xué)碩士學(xué)位論文,2005

[8]陳引鋒,方迎輝,朱巧英.黑河日徑流量混沌變化特性研究 -Ⅰ相空間嵌入滯時的確定[J].地下水,2010,32(3)121-123.

[9]陳引鋒,李繼偉.黑河日徑流量混沌變化特性研究 -Ⅱ相空間嵌入維數(shù)的確定[J].地下水,2010,32(6)143-144.

[10]呂金虎等.混沌時間序列及其應(yīng)用[M].武漢大學(xué)出版社,2002,1.

[11]Wolf A.,Swift J.B..Determ ining Lyapunov exponents from a time series[J].Phy.D.,1985,16:285-317.

[12]王東生,曹磊,.混沌、分形及其應(yīng)用[M].北京:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1995.

[13]王文均,葉 敏,陳顯維.長江徑流時間序列的混沌特性的定量分析[J].水科學(xué)進(jìn)展,1994(6):21-25.

[14]RodriguezIturbeI,DePFB.,SharifiMB..Chaosinrainfall[J].Water-ResourcesResearch,1989,25(6):1667-1675.